Сборник задач к выполнению индивидуальных домашних заданий для студентов очной формы обучения по курсу «Общая физика» (разделы «Механика», «Молекулярн
.pdf
c |
p |
|
Cp |
, |
(2) |
|
|||||
|
|
|
|
||
где – молярная масса газа; Ср , СV – молярные теплоемкости. |
|
||||
2. Выразим из (1) и (2) молярные теплоемкости: |
|
||||
Cp cp , |
|
|
|
|
(3) |
CV cV . |
|
|
|
|
(4) |
3. Связь между молярными теплоемкостями (уравнение Майера)
|
|
|
|
|
Cp CV |
R , |
|
|
|
(5) |
|||||||||||
где R – универсальная газовая постоянная. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4. Подставим (3), (4) в (5) и учтем, что |
cp |
|
1,4 |
или c |
|
1,4c : |
|||||||||||||||
|
|
p |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cV |
|
|
|
V |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
cp cV R , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1, 4cV cV R , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,4cV R , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
R |
2,5 R , |
|
|
|
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
V |
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
c |
p |
1,4c |
|
1,4 2,5 |
R |
3,5 R . |
|
(7) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Подставим в (6) и (7) числовые значения: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
c 2,5 8,31 |
692,5 |
|
Дж |
, |
c |
р |
3,5 8,31 |
969,5 |
Дж |
. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
V |
0,03 |
|
|
|
кг К |
|
|
|
|
|
|
0,03 |
|
|
кг К |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: cV 692,5 кгДжК , cр 969,5 кгДжК.
Задача 2.10. Объем V1 = 7,5 л кислорода адиабатически сжимается до объема V2 = 1 л. В конце сжатия устанавливается давление р2 = 1,6 МПа. Под каким давлением находился газ до сжатия?
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1. Согласно уравнению Пуассона |
||||
V1 |
= 7,5 л |
|
7,5·10-3 |
м3 |
||
V2 |
= 1 л |
|
1,0·10-3 |
м3 |
p1V1 p2V2 . |
(1) |
р2 |
= 1,6 МПа |
|
1,6·106 Па |
где – показатель адиабаты. |
|
|
р1 |
= ? |
|
|
|
Поскольку кислород – двухатом- |
|
|
|
|
|
|
ный газ, то для кислорода = 1,4. |
|
61
2. Выразим из (1) давление р1:
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
p2 |
|
|
(2) |
||
V2 |
. |
|||||
|
|
|
V1 |
|
|
|
3. Подставим в (2) числовые значения:
р1 1,6 10 |
6 |
|
1 10 3 |
1,4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
95,29 10 |
|
Па 95,29 кПа. |
|
|
7,5 10 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: р1 = 95,29 кПа.
Задача 2.11. Кислород массой 1 г нагревается от Т1 = 283 К до Т2 = 333 К различными способами: а) при р = const; б) при V = = const; в) при Q = 0. Определить изменение внутренней энергии кислорода при его нагревании от Т1 до Т2. Газ считать идеальным. Проверить для указанных процессов теоретическое положение о том, что изменение внутренней энергии идеального газа не зависит от процесса перехода, а зависит только от начальной и конечной температуры.
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. |
|
|
|
|
|||
|
|
1. Пусть процесс перехода газа из состоя- |
|||
Т1 = 283 К |
|
|
|
||
|
|
|
ния с температурой Т1 в состояние с темпера- |
||
Т2 = 333 К |
|
|
|
||
|
|
|
турой Т2 происходит изобарически (р = const). |
||
а) р = const |
|
|
|
||
|
|
|
2. Согласно первому началу термодина- |
||
б) V = const |
|
|
|
||
|
|
|
мики |
|
|
в) Q = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U р Q A . |
(1) |
|
U = ? |
|
|
|
||
|
|
|
|
3. Количество теплоты, необходимое для |
|
нагревания на |
Т при р = const количества вещества m |
, равно |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q Cр T |
(2) |
4. Работа газа: |
|
A P V . |
(3) |
||
|
|
|
|
||
5. Используем уравнение Менделеева–Клапейрона для определения изменения объема и температуры:
P V R T. |
(4) |
6. Подставив (4) в (3), а (3) и (2) в (1), а также используя уравне-
ние Майера, получим: |
|
U р CV T2 T1 . |
(5) |
62
7. Рассмотрим случай, когда нагревание газа ведется изохорически (V = const). В этом случае совершаемая газом работа А = 0 и UV = Q. Количество теплоты, необходимое для нагревания на Т
(при V = const) количества вещества = т/ , равно Q CV T . Отсюда получим:
UV CV T2 T1 . |
(6) |
8. Рассмотрим случай, когда нагревание газа от Т1 до Т2 |
произ- |
водится адиабатно. В этом случае Q = 0 и Uад = – А. В адиабат- |
|
ном процессе: |
|
Uад A CV T CV T2 T1 . |
(7) |
9. Хотя в адиабатном процессе система тепловой энергии не получает, увеличение температуры газа происходит за счет его сжатия внешними силами. Выражения (5), (6) и (7) идентичны, что подтверждает, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от процесса перехода, что и требовалось доказать.
10. Подставим в (5) числовые значения
U |
|
10 3 |
|
|
5 |
8,31 50 32,5 Дж. |
|
|
|
|
|||
32 10 3 |
2 |
Ответ: U = 32,5 Дж.
Задача 2.12. В четырехтактном двигателе дизеля засосанный атмосферный воздух в объеме 10 л подвергается двенадцатикратному сжатию. Начальное давление – атмосферное, начальная температура 10 °С. Процесс сжатия адиабатный, газ идеальный. Определить конечное давление, конечную температуру и работу сжатия.
Дано: |
|
СИ |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1. |
|
Из уравнения |
|
адиабаты |
||||||
V1 = 10 л |
|
10 м3 м/с |
|
|
|
|
|
|||||||
V1/V2 = 12 |
|
105 Па |
|
|
р1V1 |
р2V2 |
определим |
конеч- |
||||||
p1 |
= 1 атм |
|
283 К |
|
ное давление р2: |
|
|
|
||||||
t1 |
= 10 °С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Q = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
р2 |
р1 |
V1 |
. |
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
µ= 2,9·10-2 кг/моль |
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
||
p2 = ? T2 = ? А = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Из уравнения адиабаты T V |
1 |
TV |
1 определим Т2: |
|
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
T1 |
V1 |
. |
|
|
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
63
3. Допуская, что воздух состоит в основном из кислорода (О2) и азота (N2), можно считать его двухатомным газом с теплоемкостью
СV = (5/2)R.
4. Работа при адиабатическом процессе равна
A U m C |
T . |
(3) |
V |
|
|
5. Подставив (2) в (3), и определив массу воздуха в двигателе из уравнения Менделеева–Клапейрона, получим выражение для работы при адиабатном сжатии:
|
5 |
|
|
V1 |
|
1 |
|
A |
р1V1 |
1 |
. |
||||
|
2 |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
6. Подставим в (1)–(3) числовые значения и получим:
р2 105 121,4 3,24 106 Па, T2 283 120,4 764,6 К,
A 52 105 10 2 1 120,4 4, 25 103 Дж.
Ответ: р2 = 3,24·106 Па; Т2 = 765 К; A 4,25 103 Дж .
Задача 2.13. Вычислите изменение энтропии одного моля идеального газа при расширении по политропе от объема V1 до объема V2. Рассмотрите процессы: а) изотермический; б) адиабатный; в) изобарный.
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1. Изменение энтропии 1 моля идеального |
||||
ν = 1 моль |
|
|
|
|||
|
|
|
газа при переходе из состояния 1 в состояние 2 |
|||
V1, V2 |
|
|
|
|||
|
|
|
можно вычислить по формуле: |
|
||
а) T = const |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p2 |
|
|
б) Q = 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
S1 2 S2 S1 СV ln |
Сp ln V2 . |
||
в) p = const |
|
|
|
|||
|
|
|
|
p1 |
V1 |
|
S = ? |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2. Из уравнения политропического процесса рVn = const можно
записать: p2 V2 n , поэтому p1 V1
64
S1 2 Сp nСV ln V2 ,
V1
где n C Cp .
C CV
3. При изотермическом процессе n = 1, тогда Ср – пСV = R и
ST R ln V2 .
V1
4. При адиабатном процессе n = γ: Ср – nCV = 0, тогда ( S)ад = 0.
5. При изобарном процессе n = 0: ( S)р Ср ln V2 .
V1
Ответ: а) ST R ln V2 |
; б) ( |
S)ад = 0; в) ( S ) р Ср ln V2 . |
V1 |
|
V1 |
Задача 2.14. Как изменится энтропия ( S) 2 г водорода, занимающего объем 40 л при температуре 270 К, если давление увеличить вдвое при постоянной температуре, а затем повысить температуру до 320 К при постоянном объеме.
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1. |
Изменение |
энтропии определяется |
||||||||||
m = 2 г |
|
2·10-3 кг |
|
|||||||||||
V = 40 л |
|
3 |
|
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
40 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
T1 = 270 К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S dQ , |
|
||
p2 = 2p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 T |
|
T2 = 320 К |
|
|
|
где dQ – количество теплоты, полученное |
||||||||||
V = const |
|
|
|
в данном процессе. |
|
|||||||||
S = ? |
|
|
|
2. Изменение энтропии согласно усло- |
||||||||||
вию происходит за счет двух процессов: изотермического и |
изохо- |
|||||||||||||
рического. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dQ |
|
2 |
dQ |
|
|
|
|
S S S |
2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
2 |
. |
(1) |
|||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
T |
|
T |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Количество теплоты dQ1 и dQ2 найдем из первого начала термодинамики для этих процессов:
dQ m Cv dT pdV . 4. Для изотермического процесса
dQ1 pdV . |
(2) |
65
5. Давление р найдем из уравнения Менделеева–Клапейрона
рV m RT , откуда |
|
|
|
|
m |
|
|
р |
RT . |
||
V |
|||
|
|
6. Подставим (3) в (2) и получим
dQ1 m RT dV
V
(так как dT = 0 для T = const).
7. В результате изменение энтропии составит
2 m R |
m |
2 |
dV |
m |
V |
|
m |
||||
S1 V dV |
R |
V |
|
|
R ln V |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
так как при T = const, |
р1V1 = р2V2 . |
|
|
|
|
|
|
||||
8. Для изохорического процесса имеем: |
|
|
|
||||||||
dQ m C dT , |
dQ |
2 |
m 5 |
RdT , |
|||||||
2 |
v |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
R ln p1 , p2
так как dV = 0 и dA = 0 при V = const. Тогда
2 |
m 5 |
dT |
|
m 5 |
|
T |
S2 2 R |
T |
|
2 |
R ln |
T2 . |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
9. Подставив (5) и (4) в (1), получим
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
S m R ln |
|
5 ln T2 |
|
= |
||||
p2 |
||||||||
|
|
|
2 |
T1 |
|
|
||
2 102 3 8,31 103 ( ln 2 52 ln 320270) 2,27 Дж/К.
(3)
(4)
(5)
Ответ: S = –2,27 Дж/К.
Задача 2.15. Паровая машина мощностью N = 14,7 кВт потребляет за время t = 1 ч работы массу m = 8,1 кг угля с удельной теплотой сгорания q = 3,3·107 Дж/кг. Температура котла Т1 = 200 °С, температура холодильника Т2 = 58 °С. Найти фактический КПД машины и сравнить его с КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно между теми же температурами.
66
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. |
|
|
|||
|
|
1. При известной мощ- |
||
N = 14,7 кВт |
|
14,7·103 Вт |
|
|
Т1 = 200 °С |
|
473 К |
|
ности N за 1 час машина |
|
|
совершит полезную работу: |
||
t2 = 58 °С |
|
331 К |
|
|
|
|
Aполезн N t , |
||
t = 1 ч |
|
3600 с |
|
|
m = 8,1 кг |
|
|
|
2. Полная работа экви- |
q = 3,3·107 Дж/кг |
|
|
|
валентна количеству тепло- |
η1 = ? η2 = ? (η2 – η1) = ? |
|
|
|
ты, потребленному от сго- |
|
|
|
|
ревшего угля: |
Aполн Q q m .
3. КПД реальной паровой машины вычислим по формуле
Aполезн Nt . 1 Aполн qm
4. КПД идеальной паровой машины:
2 T1 T2 .
T1
5. Подставим в (1) и (2) числовые значения:
1 14,7 1037 3600 100 % 19,8 % , 3,3 10 8,1
2 473 331 100 % 30 % . 473
(1)
(2)
6. Вычислим разницу между КПД реальной и идеальной тепловых машин
2 1 30 19,8 10,2 % .
Ответ: 1 19,8 %; 2 30 % , 2 1 10,2 % .
Задача 2.16. Найти критическое давление и критическую температуру неона. Поправки в уравнение Ван-дер-Ваальса для неона имеют значение: а = 0,0213 Н·м4/моль2, b = 16,97 см3/моль.
Дано: СИ
а = 0,0213 Н·м4/моль2
b = 16,97 см3/моль 16,97·10-6 м3/моль
Tкр = ? pкр = ?
67
Решение. Коэффициенты a и b в уравнении состояния Ван-дер- Ваальса связаны с критическими параметрами газа соотношениями:
p |
кр |
|
|
a |
|
0,0213 |
2,65 106 Па, |
||
|
27b2 |
27(16.97 10 6 )2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
T |
|
|
|
8a |
|
0,0213 8 |
|
44 |
К. |
|
27Rb |
27 8,31 (16.97 10 6 )2 |
|||||||
кр |
|
|
|
|
|||||
Ответ: pкр(Ne) = 2,65 МПа, Tкр(Ne) = 44 К.
Задача 2.17. В стеклянном капилляре вода поднимается на высоту h = 30 см. Определить диаметр капилляра. Смачивание считать полным. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен
= 73,6 10-3 Н/м |
|
|
|
Решение. |
|
|
Дано: |
|
СИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1. Высота подъема жидкости в ка- |
||||
= 103 кг/м3 |
|
|
|
|||
= 73,6 10-3 Н/м |
|
0,3 м |
|
пиллярной трубке |
2 cos |
|
h = 30 см |
|
|
h |
, |
||
|
|
gR |
||||
d = ? |
|
|
|
|||
ла трубки, R = d/2; |
|
|
|
где – краевой угол, R - радиус кана- |
||
|
– плотность жидкости; – коэффициент по- |
|||||
верхностного натяжения жидкости; g – ускорение свободного падения, g = 9,8 м/с2.
2. При полном смачивании стенок трубки жидкостью = 0,
соs = 1 и, следовательно, h 4 , откуда
gd
d 4 .gh
3. Подставим числовые значения:
d4 73, 6 10 3 100 10 6 м 100 мкм. 103 9,8 0,3
Ответ: d =100 мкм.
Задача 2.18. Определить, какую работу следует совершить, чтобы увеличить размер мыльного пузыря с d1 = 6 мм до d2 = 60 мм. Процесс считать изотермическим. Поверхностное натяжение мыльного раствора принять равным 40 мН/м.
68
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. |
|
||
|
|
|
|||||
d1 = 6 мм |
|
|
-3 |
м |
|
1. Коэффициент |
поверхностного |
d2 = 60 мм |
|
6 10 |
|
|
|||
|
60 10-3 м |
|
натяжения жидкости равен |
||||
= 40 10-3 Н/м |
|
|
|
|
|
|
|
Т = сonst |
|
|
|
|
|
E / S, |
|
A = ? |
|
|
|
|
|
|
|
где E – изменение свободной поверхностной энергии пленки жидкости, связанное с изменением площади S поверхности этой пленки. Откуда
E = α S. |
(1) |
2. Величина E связана с работой по выдуванию мыльного пу- |
|
зыря соотношением |
|
E = А. |
(2) |
3. Изменение площади S поверхности пленки равно |
|
S = 2S2 – 2S1 = 2(S2 – S1), |
|
где S2 – площадь поверхности пузыря в конечном состоянии, S1 – площадь поверхности пузыря в исходном состоянии. Множитель два учитывает, что у мыльного пузыря две поверхности – внутренняя и внешняя.
4. Поскольку мыльный пузырь имеет сферическую поверхность,
то
S |
2 |
d 2 , |
S |
d 2 . |
(3) |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
5. Подставим (3) и (2) в (1) и получим |
|
|||||
А 2 (d |
2 |
d 2 ). |
(4) |
|||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
6.Подставим в (4) числовые значения:
А40 10 3 2 3,14 ((60 10 3 )2 (6 10 3 )2 )
895276,8 Дж 895, 28 кДж.
Ответ: А = 895,28 кДж.
2.3.Задачи для самостоятельного решения
2.1.Средняя энергия поступательного движения молекул газа в сосуде вместимостью V = 0,75 л равна 100 Дж. Определить давле-
ние газа.
2.2. Водород находится при температуре T = 300 К. Найти среднюю кинетическую энергию Wвр вращательного движения одной
69
молекулы, а также суммарную кинетическую энергию Eк всех мо-
лекул этого газа, если количество вещества водорода = 0,45 моль. 2.3. Определить среднюю квадратичную скорость υкв молекулы газа, заключенного в сосуде объемом V = 1,5 л под давлением p =
=210 кПа. Масса газа m = 0,25 г.
2.4.Кислород находится при температуре 27 °С. Определить: 1) кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы; 2) среднюю квадратичную скорость молекул.
2.5.В азоте взвешены мельчайшие пылинки массой 6·10-10 г. Газ
находится при температуре T = 410 К. Определить средние квадратичные скорости υкв, а также средние кинетические энергии посту-
пательного движения Wпост молекулы азота и пылинки.
2.6. Определить давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если его плотность равна 15 г/м3, а средняя квадратичная скорость молекул газа составляет 450 м/с.
2.7. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 485 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа?
2.8.Давление, оказываемое газом на стенки сосуда, составляет 1,1 атм. Плотность газа равна 0,01 кг/м3. Определить среднюю квадратичную скорость его молекул.
2.9.Определить плотность газа, оказывающего давление на стенки сосуда 105 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул составляет 480 м/с.
2.10.Азот массой m = 12 г находится при температуре Т =
=320 К. Определить: 1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул газа. Газ считать идеальным.
2.11.Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна 475 м/с2. Давление газа р = 75 кПа. Найти плотность газа при этих условиях.
2.12.Плотность некоторого газа = 0,078 кг/м3 при давлении р = 60 кПа и температуре t = 17 °С. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа. Какова молярная масса этого газа?
2.13.Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки массой 6·10-8 г, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха? Воздух считать однородным газом, молярная масса которого 29,5 г/моль.
70