Расчёт ферм методом конечных элементов. Учебное пособие по дисциплине Строительная механика

Введение.

В последние годы исключительно широкое использование в прочностных расчетах строительных, авиационных и судовых конструкций получил метод конечных элементов (МКЭ).

Этот метод нашел применение не только в задачах прочности, но и при решении задач прочности, теплопроводности, термоупругости и термопластичности, волновых процессов, гидромеханики, гидроупругости и многих других. В настоящее время МКЭ является одним из наиболее эффективных методов расчета, применяемых в строительной механике. Если сравнительно недавно в строительной механике стержневых статически неопределимых систем главное внимание уделялось поиску таких основных систем, которые бы позволили максимально упростить матрицу единичных коэффициентов, а в идеале свести ее к диагональной, то в настоящее время не число лишних неизвестных определяет трудоемкость расчетов, а трудности, связанные с общением человека с машиной, с созданием соответствующего математического обеспечения.

§1. Идея метода.

Название этого метода в какой-то степени определяет его сущность, так как рассчитываемая конструкция представляется в виде совокупности отдельных элементов, соединенных между собой в конечном числе узловых точек. Эти элементы могут представлять собой как отдельные стержни шарнирно-стержневой (Рис 1) или рамной конструкции (Рис 2), так и плоские элементы треугольной или прямоугольной формы, если речь идет о расчете плоской (Рис 3,4) или оболочечной конструкции (Рис 5). При расчете трехмерных тел их дискретизацию осуществляют с помощью объемных элементов различной формы (Рис 6).

.

3

Рис. 1. Плоская ферма

Рис. 2. Идеализация рамной конструкции совокупностью стержневых элементов

Рис. 3. Идеализация поперечной рамы супертанкера совокупностью плоских конечных элементов

4

Отсюда следует, что членение системы на элементы заданной конфигурации отнюдь не связано с получением отдельных частей, на которые разрезается конструкция. Фактически конечные элементы представляют собой упругие элементы особого типа, на деформации которых наложены связи, заставляющие их изменяться по определенной форме так, чтобы по возможности сохранилась непрерывность деформации расчетной модели.

Повысить точность расчета можно за счет увеличения в расчетной модели числа конечных элементов, что приводит к точному удовлетворению условий неразрывности перемещений в большем числе точек.

Каждому узловому перемещению (линейному или угловому) соответствует узловое усилие. Совокупность этих усилий определяет влияние смежных элементов конструкции на рассматриваемый элемент.

Упругие свойства отдельных элементов (или стержней), на которые разбивается конструкция, определяются их матрицей податливости или матрицей жесткости. Эти матрицы определяют связь между узловыми усилиями и узловыми перемещениями рассматриваемого конечного элемента.

При использовании МКЭ представляется возможным, как это сделано в теории упругости, сформулировать три группы уравнений:

1.Статические, описывающие равновесное состояние системы.

2.Геометрические, устанавливающие связь между деформациями

иперемещениями.

3.Физические, которые связывают между собой силы и деформации.

В соответствии с тем, какие величины принимаются за неизвестные, различают три классических метода решения: метод сил, метод перемещений и смешанный метод.

При рассмотрении стержневых систем, у которых в рамках допущений, принимаемых в сопротивлении материалов, всегда можно точно установить напряженно-деформированное состояние, МКЭ является точным методом.

Иное дело, когда рассматриваются пластинки, плиты, оболочки, или массивные тела трех измерений (см. рис. 4, 5, 6). Здесь, при рассмотрении самих конечных элементов, а также при составлении соответствующих условий неразрывности, не представляется возможным получить точные соотношения, в связи с чем МКЭ

5

Рис.6.Трехмерная задача о сосуде высокого давления (96 элементов, 707 узлов, 2121 степень свободы)

Сочленение элементов осуществляется только в узлах. В них полностью удовлетворяются условия равновесия и неразрывности перемещений. Разрезание рассматриваемой области проводится к кажущемуся нарушению условий неразрывности перемещений на участках между узлами, в значительной степени компенсируемому предположением о линейном законе изменения напряжений в любом сечении конечного элемента. Это обуславливает наложение на деформации элемента сильно ограничивающих их связей, которые, с одной стороны, улучшают условия соблюдения неразрывности деформаций, а с другой, - не вызывают концентрации напряжений в узловых точках.

В этих случаях к проблеме подходят следующим образом. 1.Рассматриваемый объект разбивают линиями или

поверхностями на некоторое количество конечных элементов.

2. Предполагают, что элементы связаны между собой только в узловых точках. Основными неизвестными являются перемещения этих узлов.

7