Расчёт ферм методом конечных элементов. Учебное пособие по дисциплине Строительная механика

примыкает к узлу с меньшим номером. В каждой строке (а строка соответствует узлу, совпадающему с ней по номеру) значащие числа характеризуют номера элементов, соединяемых в узле, причем 1 указывает на то, что к узлу подходит начало стержня, а -1, - что к узлу примыкает его конец.

Построенная таким образом матрица, является первой матрицей инциденций ориентированного графа и определяет топологию стержневой системы.

В качестве иллюстрации приведем пример составления структурной матрицы для фермы, показанной на рис. 7.

С помощью структурной матрицы SC можно найти проекции длин стержней системы на координатные оси (рис. 8).

Y

Рис. 8. проекции длин стержней n системы на координатные оси

Для этого сформируем матрицу-столбец координат узлов фермы

10

элементами которой являются матрицы-столбцы, определяющие координаты X,Y узлов фермы:

Вектор проекции , элементы которого определяют проекции длины элемента на оси X,Y, можно представить как

Примечание. Здесь, и далее везде, индекс "Т" означает, что матрица является транспонированной.

Для n-го стержня фермы элемент матрицы-столбца:

11

стержня.

Длины отдельных элементов определяются выражением:

Заметим, что матрица направляющих косинусов - это всегда квадратная матрица размера S x S.

Перейдем к рассмотрению условий равновесия отдельного n- ного стержня системы, предполагая, что сосредоточенные силы приложены только в узлах. Начало координат совместим с началом стержня; глобальную систему координат - с горизонтальной и вертикальной осями (Х,У), а местную (x,y) - с осью стержня (рис. 9).

12

Рис. 9. Внутренние усилия в стержнях в локальных и глобальных координатах

По длине стержня нормальная сила постоянна, т.е.:

соответственно.

Связь между усилиями в краевых сечениях в местной ( Nнn , глобальной ( X нn ,Yнn , X Kn ,YKn ) системах координат устанавливается матричными отношениями:

Nn в начале и в конце n-го стержня, отнесенные к глобальной системе

координат, а матрица-столбец n осуществляет переход от местной системы координат к глобальной.

Рассмотрим условия равновесия узлов системы (рис. 10).

13

Рис. 10. Загружение стержней фермы примыкающих к узлу.

Внешние нагрузки, действующие в i- м узле характеризуются матрицей-столбцом:

координатные оси.

где знак суммы распространяется на все примыкающие к i-му узлу стержни.

Таких уравнений нужно составить столько, сколько в системе

имеется узлов.

Совокупность векторов Fi образует матрицу-столбец внешних нагрузок

14

Следует заметить, что каждая строка матрицы SC объединяет стержни, сходящиеся в соответствующем узле:

где X - матрица-столбец проекций внутренних сил в стержнях, сходящихся, соответственно, в узлах 1,2………..m.

Совместное рассмотрение выражений (8), (10) дает

15

Условия неразрывности требуют, чтобы перемещения всех концов элементов (стержней), примыкающих к i-му узлу, а также их проекции на координатные оси, были равны, т. е.:

Ui1 Ui 2 .... Ui

Vi1 Vi 2 .... Vi

где Ui1 и Vi1 - проекции перемещения соответствующего конца n -го стержня на координатные оси.

Установим связь между удлинениями отдельных элементов и

0 X

Рис.11. Перемещение и удлинение стержня на плоскости

Получение зависимости (17), для большей наглядности, можно подкрепить графическим решением (рис. 12).

Рис.12.Геометрическая интерпретация удлинения стержня

17

Представим выражение (17) в матричной форме:

В соответствии с выражениями типа (18), вектор стержневой системы, имеет вид:

Рассмотрим теперь физические уравнения, устанавливающие связь между удлинениями стержней n и продольными усилиями;

Для всей системы стержней эта связь имеет вид:

18

- матрица податливости стержней фермы.

Перейдем теперь к получению зависимостей, позволяющих определять внутренние усилия в стержнях узлов системы.

Совместное рассмотрение выражений (19) и (22), дает

где V - вектор содержащий только ненулевые перемещения. Подставим выражение (26) в уравнение (25) и выразим:

где L - называется матрицей податливости системы.

Каждый ее элемент определяет перемещения по направлению, определяемому соответствующей строкой матрицы от единичной силы, приложенной в точке, определяемой соответствующим столбцом матрицы.

Усилия в стержнях фермы могут быть определены из совместного рассмотрения выражений (24), (26) и (15):

И, наконец, рассмотрим алгоритм вычисления опорных реакций шарнирно-стержневой системы. Для этого из вектора внешних

19