Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчёт ферм методом конечных элементов. Учебное пособие по дисциплине Строительная механика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

нагрузок F (который, как было отмечено ранее, включает в себя реакции опор), необходимо удалить все внешние активные нагрузки. Сделать это можно путем умножения выражения (11) на матрицу S01 , которая получается из единичной матрицы порядка 2m удалением всех строк, за исключением строк, соответствующих опорным реакциям:

или

N ;

(31)

;

S01 Sc

(32)

S01

(33)

где R - матрица-столбец опорных реакций фермы.

Из приведенного алгоритма решения видно, что определение перемещений и усилий, в данном случае, никак не связано с выбором какой-либо основной системы. Достоинством такого подхода в исследовании напряженно-деформированного состояния системы является единый алгоритм расчета как статически определимых, так и статически неопределимых ферм, что крайне удобно с точки зрения использования программ для ЭВМ.

§4. Пример применения МКЭ к расчету статически неопределимой фермы.

Для фермы, изображенной на рис.13 требуется определить перемещения всех узлов и внутренние усилия в стержнях. Материал, их длины и площади поперечных сечений всех стержней принять соответственно одинаковыми.

Y	2F	2	F
	2	2	3
	2		3
	1		3

6		7
1		4
5	5	4
5		4

Рис.13. Нумерация узлов и стержней

1. Построим матрицы:

3 2

						1	0	0		0	1	0	0
						1	1	0		0	0	1	0
					C	0	1 1 0 0 0 1								;
			S		C	0	1 1 0 0 0 1								;
						0	0	1		1	0	0	0
						0 0 0 1					1	1	1
						0	1	0	0		0	0	0	0		0
				0		0	1	0	0		0	0	0	0		0
				0		0	0	1	0		0	0	0	0		0
				0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
	S	0		0 0 0 0 1 0 0 0 0 0													.
		0		0		0	0	0	0		1	0	0	0		0
				0		0	0	0	0		1	0	0	0		0
				0		0	0	0	0		0	1	0	0		0
				0		0	0	0	0		0	0	0	1		0

2. Запишем матрицу-столбец									С	координат					узлов			фермы (для

удобства записи представим СT ):
																			.
СT	0 0 0,5					0,866			1,5		0,866		2	0		1		0	.

3. Составим матрицу проекций стержней

									0,5
									0,866
							0				1
		1	0	0	0		0				0
	1						0				0
	1							0,5
	0	1	1	0	0	0,5		0,5
	0	1	1	0	0			0,866
	0	0	1	1	0	0,866		0,866
						1,5				1		.


ScT C	0 0 0			1	1	0,866				0
	1	0	0	0	1	0,866				0
							2				1

					1
	0	1	0	0	1		0				0
					1		0				0
	0	0	1	0			1	0,5
	0	0	1	0

							0	0,866
									0,5
									0,5
								0,866

4.Определим направляющие косинусы стержней.

n n ;

							1					0,5				1
	0,5						1					0,5				1
1	0,866	;			2		0	;		3		0,866	;		4	0	;
	0,866						0					0,866				0
			1							0,5				0,5
			1							0,5				0,5
	5		0	;		6			0,866		;	7		0,866	.
			0						0,866					0,866

5. Сформулируем матрицу направляющих косинусов для всего ансамбля стержней:

0,5
0,866

	1
	0

		0,5
		0,866
			1				.
			1
			0
			0

				1
				0

					0,5
					0,866
						0,5
						0,5
						0,866

6. Сформулируем матрицу податливости стержней фермы:

													1
													1
																		1
																								.
					LS													1

										EA										1
										EA

																					1
																						1
7. Вычислим матрицу:														c			;
								S				S
								S				S
							0			0								0		1		0					0
				0.5			0			0								0		1		0					0
				0.866			0			0								0		0		0					0
				0.5			1			0								0		0		0.5					0
				0.866			0			0								0		0	0.866						0
				0		1				0.5								0		0		0					0.5			.
		S		0		1				0.5								0		0		0					0.5			.
				0			0				0.866							0		0		0					0.866
				0			0					0.5						1		0		0					0
				0			0			0.866								0		0		0					0
				0			0			0								0		1		0.5					0.5
				0			0			0								0		0		0.866					0.866
											0 (					c			) ;
8. Найдем матрицу: SP									S						S
8. Найдем матрицу: SP									S						S
		0,5			1					0								0		0		0,5								0
		0,5			1					0								0		0		0,5								0
	0,866				0					0								0		0			0,866							0
			0		1					0,5								0		0		0							,05
SP			0		1					0,5								0		0		0							,05
SP			0		0					0,866								0		0		0						0,866					.
			0		0					0,866								0		0		0						0,866					.
			0		0						0,5								1	0		0								0
			0		0					0								1		1				0,5						0,5
																										1						1			T

9. Составим матрицу жесткости фермы:																						K			L			S	P		L			S		;
9. Составим матрицу жесткости фермы:																													P		S			P		;

												0						1	0	0	0,25
							1,5					0						1	0	0	0,25
							0					1,5						0	0	0	0,433
								1				0					1,5		0	0,25	0,25	EA
			K					1				0					1,5		0	0,25	0,25	EA
							0					0						0	1,5	0,433	0,433			.
																	0,25				1			.
							0					0					0,25		0,433	1,25	1
							0,25					0,433					0,25		0,433	1	2,5
	10. Вычислим матрицу податливости всей фермы:
								1 (						1		T ) 1

		L				K			S		P		L		S			;
											P		S		P			;
				1,693							0,190						1,375		0,0459	0,818	0,659
				1,693							0,190						1,375		0,0459	0,818	0,659
					0,190							0,746					0,216		0,0038	0,262	0,276
				1,375							0,216						1,875		0,0722	1,000	0,750
L				1,375							0,216						1,875		0,0722	1,000	0,750
				0,0459						0,0038							0,0722		0,746	0,262	0,0131
				0,0459						0,0038							0,0722		0,746	0,262	0,0131		EA .
					0,818						0,262						1,000		0,262	1,818	0,909
				0,659							0,276						0,750		0,0131	0,909	0,955

Примечание. Следует обратить внимание на то, жесткости К и матрица податливости L , это всегда симметричные матрицы.

11. Составим вектор активных узловых нагрузок:


Q	S	0	F ;
															R1x
															R1x
															R1y
				0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
				0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	2F
				0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
				0	0	0	0	1	0	0	0	0	0		0
			Q	0 0 0 0 0 1 0 0 0									0		F
				0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
															0

				0	0	0	0	0	0	0	0	1	0		R4 y
															0
															R5 y

что матрица квадратные и

F .

12. Вычислим вектор ненулевых перемещений узлов: V L Q ;

					1,449 0,505								0,739															F
																												F
V T			0,426																0,787			0,538									.
V T			0,426																0,787			0,538						EA
																												EA

13. Запишем полный вектор перемещений узлов:																								U			S			0T V ;
							1,499								0,739																	F
U T		0 0 0,426									0,505								0,787			0 0,538								0		F	.
U T		0 0 0,426									0,505								0,787			0 0,538										EA
14. Вычислим вектор усилий в стержнях фермы:																																EA
14. Вычислим вектор усилий в стержнях фермы:
																S 1
											N			L		S 1	S	PT V ;
											0,5		0,866				0			0		0			0						0,426
				1
				1
				1							1		0				1			0		0			0
				1							1		0				1			0		0			0						1,488
				1							0		0				0,5		0,866			0,5			0						1,488
	EA			1							0		0				0,5		0,866			0,5			0						0,505			F
	EA																														0,505			F
N					1						0		0				0			0		1			1
N					1						0		0				0			0		1			1						0,739			EA .
					1						0		0				0			0		0				1					0,739			EA .
					1						0		0				0			0		0				1					0,787
							1				0,5		0,866				0			0		0			0,5						0,787
							1				0,5		0,866				0			0		0			0,5						0,538
									1		0		0				0,5		0,866			0			0,5						0,538
									1		0		0				0,5		0,866			0			0,5

Откуда N T					1,076				0,079		0,499				0,249 0,538					1,233				0,656					F .
15. Сформируем матрицу:
											0	0	0		0		0		0	0	0	0
										1	0	0	0		0		0		0	0	0	0
										0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
						S		1		0 1 0 0 0 0 0 0 0 0													.
							0			0	0	0	0		0		0		0	1	0	0
										0	0	0	0		0		0		0	1	0	0
										0	0	0	0		0		0		0	0	0	1

16. Вычислим матрицу: SP1 S01 Sc S01 S ;

		0,5	0	0	0	1	0	0
		0,866	0	0	0	0	0	0
S	1	0,866	0	0	0	0	0	0	.
P		0	0	0,866	0	0	0	0	.
P

		0	0	0	0	0	0,866	0,866
				25

17. Сформируем вектор реакций:


R	S	01 F ;

F T			R1x R1y	0 2F 0	F 0 R4 y 0 R5 y	.

После перемножения S01 на F , получим:

RT R1x R1y R4 y R5 y .

18. Вычислим вектор реакций: R S

1 p

N ;

									1,076
									1,076
	R1x	0,5	0	0	0	1	0	0	0,079		0
									0,079
									0,499
R	R1y	0,866	0	0	0	0	0	0	0,499	F	0,932	F
R	R1y	0,866	0	0	0	0	0	0	0,249	F	0,932	F

	R	0	0	0,866	0	0	0	0			0,433	.
	4 y								0,538
	R5 y	0	0	0	0	0	0,866	0,866	0,538		1,636
	R5 y	0	0	0	0	0	0,866	0,866	1,233		1,636
									1,233
									0,656

Здесь следует обратить внимание на то, что сумма проекций всех вертикальных реакций на ось Y, должна равняться сумме проекций внешних нагрузок, т.е.:

Y (0,932 0,433 1,636) F 3F .

Из приведенного примера видно, что при расчете фермы с помощью МКЭ, увеличение числа опор практически не приводит к возрастанию трудоемкости решения задачи (как это имело бы место при решении задачи методом сил).

Здесь мы привели алгоритм решения ферменных систем с помощью МКЭ и для большей наглядности проделали «вручную» (за

исключением вычисления формулы податливости L ) все операции. Численная реализация расчета ферм методом МКЭ на ЭВМ сводится (при наличии соответствующих программ) только к введению в

память машины исходных данных (ИД), таких как: координаты узлов, номера узлов и стержней, топология системы, значения внешних нагрузок и координаты точек их приложения, сведения о поперечных сечениях и упругих свойствах их материалов.

Литература

1.Дарков А.В., Клейн Г.К., Кузнецов В.И. и др. Строительная механика. – М.:»Высш. Школа», 1976.

2.Зенкевич О. «Метод конечных элементов в технике». – М.: «Мир», 1975.

3.Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. – Л.: «ЛГУ», 1976.

Рекомендуемая

1.Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.И. и др. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. – М.: «Стройиздат», 1976.

2.Пискунов В.Г., Бузин И.М., Городецкий А.С. и др. Расчет крановых конструкций методом конечных элементов. – М.:

«Машиностроение», 1991

Галабурда Михаил Александрович

Расчёт ферм методом конечных элементов Учебное пособие по дисциплине Строительная механика

Редактор М.П. Малахов

Подписано в печать ___.___.2006 Формат 60х90/16. Объем 1,8 п.л. Заказ №___ Тираж 50 экз

Альтаир - МГАВТ Московская государственная академия водного транспорта

117105, г. Москва, Новоданиловская наб., д.2, корп.1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]