Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы технического творчества и научных исследований. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

892 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

5.15. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Уравнение линейной регрессии имеет вид

		p
	yi = β0 + ∑βj uij + εi ,		i =1,	2, ..., n.				(39)
		j =2
		1	x	L x
			11	1p
		1	x21	L x2p
Обозначим Y =(y1, y2, ...,		yn)T , X = L L L L				,	β = (β1	, β2 , ..., βp ) ,
			x	L x
		1	x	L x
			n1	np
ε = (ε1, ε2 , ..., εp ).	Тогда в матричной форме модель примет вид Y = Xβ+ ε .
Оценкой является	уравнение	Y = Xb +e .	Для	оценки	вектора			неизвестных

параметров β применяется МНК. Условие минимизации остаточной суммы может быть записано в виде

n	~	2	n	2	= e	T	e = (Y − Xb)	T	(Y − Xb) → min .	(40)
S = ∑( yi − yi )			= ∑ei		= e		e = (Y − Xb)		(Y − Xb) → min .	(40)
i =1			i =1

На основании необходимого условия экстремума функции нескольких переменных необходимо приравнять частные производные по этим переменным к нулю или в матричном виде

∂S		∂S		∂S			∂S
	=		,		, ...,				.	(41)
∂b	=	∂b	,	∂b	, ...,		∂b		.	(41)
∂b		∂b		∂b			∂b
		0		1				p
Для вектора частных производных получим формулу
∂S	= −2X TY + 2X T					Xb = 0.
∂b
Получаем систему уравнений в матричной форме
	X TY = 2X T Xb .									(42)

Решением системы (42) является вектор b = (X T X )−1 X T Y .

Как и в случае парной регрессии, в случае множественной регрессии общая вариация Q − сумма квадратов отклонений зависимой переменной

от средней может быть разложена на две составляющие

Q = QR +Qe ; QR −

сумма квадратов отклонений, обусловленных регрессией;

Qe − сумма квадра-

тов отклонений, характеризующая влияние неучтённых факторов:

Q = ∑( yi − y)

Y −ny ; Qe = ∑( yi − yi )

Y − X

Y ;

i=1

= Q −Q = X T bT Y − ny .

(43)

Уравнение множественной регрессии значимо (т.е. гипотеза о равенстве


нулю коэффициентов β1 = β2 =... = β3 = 0					отвергается), если
F	= QR (n − p −1) > F						n− p−1	.
		Qe p				α, p,

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной мо-
дели является коэффициент детерминации
R2 = QR	=	Q −Qe	=1−	Qe		=1−	eT e		.	(44)

Q		Q			Q		n
							∑( yi − y)2

i =1

Коэффициент является мерой качества модели, характеристикой её прогностической силы. Чем ближе R2 к единице, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими переменными и зависимой переменной.

Вместе с тем, использование только одного коэффициента детерминации для выбора наилучшего уравнения регрессии может оказаться недостаточным. На практике встречаются случаи, когда плохо определённая модель регрессии может дать сравнительно высокий коэффициент детерминации. Недостатком коэффициента детерминации является то, что он увеличивается при добавлении новых объясняющих переменных, хотя это и не обязательно улучшает качество регрессионной модели. В этом смысле предпочтительнее использовать скорректированный коэффициент детерминации

ˆ 2		n −1	(1− R	2			(n −1)eT e
R	=1−				) =1	−		.	(45)
R	=1−	n − p −1			) =1	−	n	.	(45)
							(n − p −1)∑( yi − y)2

i=1

В отличие от коэффициента детерминации скорректированный коэффициент детерминации может уменьшаться при введении в модель новых объясняющих переменных, не оказывающих существенного влияния на зависимую переменную. Однако даже увеличение скорректированного коэффициента детерминации при введении в модель новой объясняющей переменной не всегда означает, что её коэффициент регрессии значим.

5.16. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

Для оценки параметров нелинейных моделей используется два подхода. Первый основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую

зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяется, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удаётся. В этом случае применяют методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели нелинейные по переменным, так и нелинейные по параметрам.

Если модель нелинейна по переменным, то введением новых переменных её можно легко свести к линейной. Например, нелинейная модель

yi =β0 +β1xi1 +β2 xi2 путём преобразований z1 = x1 , z2 = x2 может быть

приведена к линейному виду yi =β0 +β1zi1 +β2 zi2 .

Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение МНК для их оценки невозможно.

Например, для модели y	i	= eβ0 +β1xi1 +β2 xi2	или y	i	=β	xβ1	+ xβ2	. В ряде случаев
	i			i		0 i1	i2

путём подходящих преобразований эти модели удаётся привести к линейному виду. Для приведённых в примере моделей это удаётся сделать логарифмиро-

ванием ( ln yi =β0 +β1xi1 +β2 xi2 и ln yi = lnβ0 +β1 ln xi1 +β2 ln xi2 ).

Определение коэффициентов нелинейной регрессии в этом случае основано на решении системы линейных уравнений. Для этого можно применять универсальные пакеты численных методов или специализированные пакеты обработки статистических данных.

С ростом степени уравнения регрессии возрастает и степень моментов распределения параметров, используемых для определения коэффициентов. Так, для определения коэффициентов уравнения регрессии второй степени используются моменты распределения параметров до четвертой степени включительно. Известно, что точность и достоверность оценки моментов по ограниченной выборке экспериментальных данных резко снижается с ростом их порядка. Применение в уравнениях регрессии полиномов степени выше второй нецелесообразно.

Если модель нельзя привести к линейному виду, то для оценки параметров необходимо использовать специальные итеративные процедуры оценивания, например, многомерный метод Ньютона − Рафсона. Иногда решение, основанное на МНК, может быть найдено методом наискорейшего спуска. Очевидно, что для получения нелинейных регрессий необходимы помощь ЭВМ.

Качество полученного уравнения регрессии оценивают по степени близости между результатами наблюдений за показателем и предсказанными по уравнению регрессии значениями в заданных точках пространства параметров. Если результаты близки, то задачу регрессионного анализа можно считать решенной. В противном случае следует изменить уравнение регрессии (выбрать другую степень полинома или вообще другой тип уравнения) и повторить расчёты по оценке параметров.

5.17. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Пусть z = z(x) − обычная числовая функция, значения которой экспериментально установлены в точках x0 < x1 <... < xn : zi = z(xi ), i = 0, 1, ..., n . Имеется, кроме того, точка x , x0 < x < xn . Требуется найти число z(x) , пред-

полагая данную функцию бесконечно дифференцируемой всюду, где она рассматривается. Решение этой задачи называется интерполяцией. Если указанное число будет найдено не точно, а приближённо, то необходимо указать явно допущенную ошибку.

Существует несколько методик решения этой задачи. Одной из них является метод Лагранжа.

Введём функцию

πi (x) =	(x − x0 )(x	− x1)K(x − xi −1)(x − xi +1)K(x − xn )	, i = 0,1,K, n .
πi (x) =	(xi − x0 )(xi	− x1)K(xi − xi −1)(xi − xi +1)K(xi − xn )	, i = 0,1,K, n .
	(xi − x0 )(xi	− x1)K(xi − xi −1)(xi − xi +1)K(xi − xn )
Ясно, что πi (xi ) =1 , а во всех остальных точках πi (xk ) = 0,				k ≠ i . Поэтому
		n
многочлен п-й степени		L(x) = ∑ziπi (x) принимает в точках		x0 < x1 <... < xn

i =0

те же значения, что и функция z = z(x) . Этот многочлен называется много-

членом Лагранжа. Если вместо искомого числа

z(x)

взять L(x) , то ошибку

можно указать совершенно точно:

f (n+1)

(c)

z(x) = L(x) +

(x − x ) (x − x )...(x − x

) ,

(n +1)!

где с – некоторая точка из (x0 , xn ) .

Предложенную Лагранжем методику нетрудно распространить на любое число переменных. Ограничимся далее лишь двумя переменными; случай трёх и более переменных допускает точно такое же обобщение.

Пусть функция z = z(x, y) оказалась установленной в результате некоторого эксперимента в точках (xi , y j ) и имеются числа zij = z(xi , y j ) , i = 0, …, n, j = 0, …, m. Требуется установить значение данной функции в некоторой точке (x, y) , x0 < x < xn , y0 < y < ym . Если это значение будет найдено приближённо, то указать погрешность. О функции z = z(x, y) предполагается, что она

обладает непрерывными производными всех порядков. Введём функции

πi (x)

τj (y) =

(x − x0 ) (x − x1)...(x − xi −1)(x − xi +1)...(x − xn )

, i = 0, 1, ..., n;

− x ) (x

− x )...(x

− x

)(x

− x

)...(x

− x

)

0 i

i −1

i +1

( y − y0 ) (y − y1)...(y − yi−1)( y − yi+1)...(y − ym )

, j = 0, 1, ..., m.

( y

− y

) ( y

− y )...(y

− y

j −1

)( y − y

j +1

)...(y

− y

)

Ясно,

что

πi (xi ) =1, τj ( y j ) =1 ,

во

всех остальных точках

πi (xk ) = 0, k ≠ i , τj ( yl ) = 0, l ≠ j .

Поэтому многочлен от двух переменных

i=n

j =m

L(x, y) = ∑zij πi (x)τj ( y) ,

i=0

j =0

где zij = z(xi , y j ) , в каждой точке (xi ,

y j ) принимает то же самое значение,

что и данная функция, т.е.

L(xi , y j ) = zij

. Следуя идее Лагранжа, примем за

значение функции z = z(x, y) в точке (x,

y) число L(x, y) .

Оценим погрешность такого допущения, т.е. выясним, насколько велика

разница между z(

) и L(

) . Заметим, что

i=n

j =m

L(x, y) = ∑zij πi (x)τj ( y) = ∑πi (x)

∑zij τj ( y) ,

i=0

j =0

тогда выражение

Ti ( y) = ∑zijτj ( y) можно

рассматривать как многочлен

j =0

Лагранжа для системы точек y0 , ...,

ym с соответствующими значениями в них

функции zi = (zi0 , ..., zim ) . Поэтому

z(x , y) =T ( y) +

∂m+1z

( y − y

) ( y − y )...(y − y

) .

(m +1)! ∂ym+1

Частная

производная

∂m+1z

берётся

некоторой

точке интервала

∂ym+1

(xi , ci ) .

Выражение

) = ∑Ti (

) πi (

)

можно

воспринимать как значение

i=0

при x = x многочлена Лагранжа ∑Ti (

) πi (x) .

Поэтому

i=0

n+1

) = ∑z(xi ,

) πi (

) +

∂

n+z1 (

− x0 )...(

− xn ) ,

+1)! ∂x

i=0

где частная

производная

∂n+1z

вычислена

некоторой

точке. Учитывая

∂xn+1

вышесказанное, получаем

∂m+1z

π(x) +

m+1

z(x, y) = ∑ Ti ( y) +

(m +1)! ∂y

( y − y0 ) ( y − y1)...( y − ym )

i=0

i=n

j =m

∂

+z1 (

− x0 )...(

− xn ) ∑zij pi (

)t j (

) +

+1)! ∂x

i=0

j =0

m+1

∑

∂

pi (

)(

− y0 ) (

− y1)...(

− ym ) +

∂y

m+1

(m +1)! i=0

∂n+1z

(x − x0 )...(x − xn ).

+1)! ∂xn+1

Заметим, что в каждом слагаемом здесь частная производная считается

в своей, новой, точке. Поэтому, если считать, что частная производная ∂n+1z

∂xn+1

n+1

∂m+1z

ограничена по модулю константой Z x

, а частная производная

огра-

∂ym+1

ничена по модулю константой Z ym+1 , то нетрудно получить оценку

Z n+1

Z m+1

z(x, y) − L(x, y)

≤

x − x0

...

x − xn

y − y0

...

y − ym+1

(n +1)!

(m +1)!

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В учебном пособии представлен материал, содержащий сведения об основах технического творчества и научных исследований в области энерго- и ресурсосберегающих процессов и технологий.

Представлены исторические тенденции развития технического творчества, методов поиска и принятия решений творческих изобретательских задач.

Даны основные сведения об организации и осуществлении научноисследовательской работы. Приведена классификация научных исследований и организаций.

Рассматриваются методы планирования экспериментальных исследований. Приводятся основные понятия и определения теории планирования эксперимента.

Представлены способы анализа и обработки результатов исследований с помощью математического аппарата.

Изучение материала, изложенного в учебном пособии, будет способствовать более глубокому осмыслению вопросов технического творчества и научных исследований в области энерго- и ресурсосберегающих процессов и технологий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Рыжков, И. Б. Основы научных исследований и изобретательства [Электронный ресурс] / И. Б. Рыжков. – М. : «Изд-во Лань. Электронно-библио-

течная система». – 2012. – 224 с. – Загл. с экрана. – URL : http://e.lanbook.com/

2.Черный, А. А. Основы изобретательства и научных исследований [Электронный ресурс] : учебное пособие / А. А. Черный. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2010. – 253 с. – Загл. с. экрана. – URL : http://window.edu.ru/

3.Шустов, М. А. Методические основы инженерно-технического творчества [Электронный ресурс] / М. А. Шустов. – Томск : Изд-во Томск. поли-

техн. ун-та, 2010. – 78 с. – Загл. с. экрана. – URL : http://window.edu.ru/

4.Черный, А. А. Современные эффективные изобретательские разработки [Электронный ресурс] : учебное пособие / А. А. Черный. – Пенза : Пен-

зенский гос. ун-т, 2010. – 128 с. – Загл. с. экрана. – URL : http://window.edu.ru/

5.Черный, А. А. Интеллектуальная собственность и её защита (Патентные права) [Электронный ресурс] : учебное пособие / А. А. Черный. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2009. – 69 с. – Загл. с. экрана. – URL : http://window.edu.ru/

6.Глинкин, Е. И. Техника творчества [Электронный ресурс] : монография / Е. И. Глинкин. – Тамбов : Изд-во ТГТУ, 2010. – 168 с. – Загл. с. экра-

на. – URL : http://window.edu.ru/

7.История науки и техники: Курс Интернет-университета информационных технологий [Электронный ресурс]. – Загл. с. экрана. – URL : http://window.edu.ru/

8.Элам, К. Геометрия дизайна. Пропорции и композиция / К. Элам. –

СПб. : Питер, 2011. – 112 с.

9.Сайт Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам [Электронный ресурс]. – URL : http://www1. fips.ru/wps/wcm/connect/content_ru/ru

10.Сайт Всемирной организации интеллектуальной собственности

[Электронный ресурс]. – URL : http://www.wipo.int/portal/index.html.en

11.Сайт Европейской патентной организации (EP) [Электронный ресурс]. – URL : http://www.epo.org/

12.Сайт Евразийской патентной организации (EA) [Электронный ресурс]. – URL : http://www.eapo.org/rus/ea/index.html

13.Сайт Всероссийского института научной и технической информации

(ВИНИТИ) [Электронный ресурс]. – URL : http://www2.viniti.ru/

14.Сайт Международного центра научной и технической информации

(МЦНТИ) [Электронный ресурс]. – URL : http://www.icsti.su/portal/index.html

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………... 3 1. ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА …………………………… 4

1.1.О развитии технического творчества …………………………………. 4

1.2.Методы поиска решений ………………………………………………. 4

1.3.Процесс технического творчества …………………………………….. 6

1.4. Структура теории решения изобретательских задач ………………… 7

2.ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ……………………………….. 9

2.1.Основные сведения об организации и осуществлении научно-исследовательской работы …………………. 9

2.2.Организация научно-исследовательской работы.

Основные этапы научного исследования …………………………….. 10

2.3.Организация, виды и формы научной работы студентов ……………. 11

2.4.Классификация научных исследований и их организация ………….. 12

2.5.Организация научно-исследовательской работы студентов ………… 20

3.ПАТЕНТОВЕДЕНИЕ ……………………………………………………….. 22

3.1.Патентный закон Российской Федерации …………………………….. 22

3.2.3акон Российской Федерации «О товарных знаках, знаках обслуживания и наименованиях мест происхождения товаров» …… 26

4.ПЛАНИРОВАНИЕЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХИССЛЕДОВАНИЙ……... 26

4.1.Планирование эксперимента как наука ………………………………. 27

4.2.Основные понятия и определения теории планирования эксперимента ……………………………………………………………. 28

4.3.Основные принципы планирования эксперимента …………………... 33

5.АНАЛИЗ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ ………... 35

5.1.Измерения и их погрешности ………………………………………….. 35

5.2.Обработка экспериментальных данных ………………………………. 36

5.3.Детерминированные и случайные процессы …………………………. 38

5.4.Основные характеристики случайных процессов ……………………. 43

5.5.Эмпирическая функция распределения ………………………………. 44

5.6.Основные функции распределения …………………………………… 46

5.7.Оценки параметров распределения …………………………………… 48

5.8.Распределение выборочных характеристик ………………………….. 50

5.9.Точечная оценка экспериментальных данных ……………………….. 53

5.10.Интервальная оценка параметров распределения …………………... 55

5.11.Корреляционный анализ ……………………………………………… 59

5.12.Основные положения регрессионного анализа ……………………... 64

5.13.Коэффициенты уравнения регрессии.

Метод наименьших квадратов ……………………………………….. 67

5.14.Критерий значимости линии регрессии ……………………………... 69

5.15.Множественная линейная регрессия ………………………………… 71

5.16.Нелинейные модели регрессии ………………………………………. 72

5.17.Интерполяция экспериментальных данных ………………………… 74

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………… 76 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………………… 78

Учебное электронное издание

ПАХОМОВА Юлия Владимировна ОРЛОВА Наталия Вячеславовна ОРЛОВ Андрей Юрьевич ПАХОМОВ Андрей Николаевич

ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА И НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Учебное пособие

Редактор З. Г. Чернова Инженер по компьютерному макетированию Т. Ю. Зотова

ISBN 978-5-8265-1419-1	Подписано к изданию 28.05.2015.
	Тираж 100 шт. Заказ № 281
	Издательско-полиграфический центр
	ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
	392000, г. Тамбов, ул. Советская, д. 106, к. 14
	Тел. 8(4752) 63-81-08;
	E-mail: izdatelstvo@admin.tstu.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]