Основы технического творчества и научных исследований. Учебное пособие

теризуя неслучайные свойства объекта, которые в полной мере могут проявиться лишь при многократном повторении опытов в неизменных условиях. Исследователь не может предсказать точное значение Y в каждом опыте, но с помощью соответствующей статистической модели может указать, вокруг какого центра будут группироваться значения Y при данном сочетании значений факторов X и Z, если для этого сочетания опыты повторять многократно; какова степень разброса Y и т.д.

Из различных статистических моделей, пожалуй, наибольший практический интерес представляют регрессионные модели (модели регрессионного анализа). Регрессионная модель выражается соотношением

Y = ϕ(x1, x2 , ..., xn; z1, z2 , ..., zk ; Θ0 , Θ1, Θ2 , ..., Θd ) +e = ϕ((X, Z); Θ) +e,

где Θi – вектор параметров модели, причём вид функции полагают заданным,

а параметры неизвестны и подлежат определению из эксперимента. Для про-

извольного опыта с номером g, очевидно, справедливо

r

Yg = ϕ((Xg , Zg ); Θ) + eg .

На практике наибольшее распространение получили регрессионные модели, линейные по параметрам, которые могут быть представлены в форме

β0 f0 (X, Z) +β1 f1(X, Z) +... +βd fd (X, Z) + e = FТβ+ e,

где βi – вектор-строка базисных функций факторов X, Z, функций, не зависи-

мых от параметров модели; е – вектор параметров модели. Подобные модели можно интерпретировать как разложение неизвестной функции отклика в ряд по некоторой системе базисных функций (в тригонометрический ряд Фурье, в ряд по различным системам ортогональных полиномов или функций, в ряд Тейлора и т.д.). В последнем случае имеют место полиномиальные регрессионные модели различного порядка (первого порядка, или линейная, задаваемая полиномом первого порядка по факторам; второго порядка, или квадратичная, задаваемая полиномом второго порядка по факторам, и т.д.).

Эксперимент – это система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях.

Опыт – это воспроизведение исследуемого явления в определённых условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов. Опыт – отдельная элементарная часть эксперимента.

План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям. В более общем смысле под планированием эксперимента понимают всю совокупность действий, направленных на разработку стратегии экспериментирования от начальных до заключительных этапов изучения объекта исследования (от получения априорной информации до создания работоспособной математической модели или определения опти-

31

мальных условий). Иными словами, планирование эксперимента – это целенаправленное управление, которое реализуется в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

Принято подразделять эксперимент на пассивный и активный. При пассивном эксперименте существуют только факторы группы Z и экспериментатор находится в положении пассивного наблюдателя, фиксирующего изменения факторов Z и отклика Y (в таком положении пребывает, например, астроном, наблюдающий процессы в далеких галактиках, вмешаться в ход которых он не в состоянии). Особенности планирования пассивного эксперимента достаточно подробно освещены в литературе. Однако основным предметом исследования теории планирования эксперимента является все-таки активный эксперимент, т.е. когда существуют лишь факторы группы X и экспериментатор в соответствии с планом эксперимента может их целенаправленно изменять. В дальнейшем будут обсуждаться только вопросы, связанные именно с активным экспериментом.

Для активного эксперимента область действия – область возможных значений факторов X при экспериментировании; область планирования – область значений факторов X, в которой находятся точки, отвечающие условиям проведения опытов используемого плана эксперимента. Область планирования составляет часть области действия или совпадает с ней. Если область планирования задаётся интервалами возможного изменения факторов Xi min ≤ Xi ≤ Xi max, i = 1, 2, …, п, то она представляет собой гиперпараллелепипед (при соответствующем масштабировании– гиперкуб). В ряде случаев область планирования удобнее задавать в виде гипершара. Тем не менее, задание этой области во многом произвольно (говорят о «планировании на кубе», «планировании на шаре» и т.д.). Сравнительно редко встречаются сложные области планирования (действия) произвольной формы.

Точка плана – упорядоченная совокупность численных значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта, точка факторного пространства, в которой проводится эксперимент. Точке плана с номером g отвечает вектор

XТg = X1g , X 2g , ..., X ng .

Общая совокупность таких векторов образует план эксперимента, а совокупность различных векторов (число их будем обозначать N) – спектр плана.

Фиксированное значение фактора называют уровнем фактора. Факторы могут различаться по числу уровней, на которых возможна их фиксация в данной задаче. Понятие уровня фактора часто используется при описании характерных точек из области действия (планирования) фактора. Основной уровень фактора указывает такие условия эксперимента, которые представляют наибольший интерес для исследователя в данный момент.

Обычно вектор Хот = ‖X10, X20, …, Хn0‖ задаёт в факторном пространстве точку, являющуюся в каком-то смысле центром области планирования, центром эксперимента. В её окрестностях и располагаются все точки плана. Часто координаты Хi0. выбираются с помощью соотношения

32

Врядеслучаевполезнопонятие интервала(шага) варьированияфактораХi:

Операция нормализации сводится к изменению начала отсчёта координатных осей и масштаба в соответствии с соотношением

Таким образом, для переменной Xi в стандартизованном масштабе начало координат совмещено с центром эксперимента, а в качестве единицы измерения используется шаг варьирования фактора. Применение безразмерных переменных (факторов) хi часто существенно облегчает математические выкладки и запись конечных результатов, и поэтому такое представление факторов будет широко употребляться в дальнейшем.

Матрица плана – стандартная форма записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, строки которой отвечают опытам, а столбцы – факторам; размер матрицы плана (Lxn). Она может иметь совпадающиестроки; (i, j)-йэлементматрицы планаравен уровнюj-гофакторавi-мопыте.

Матрица спектра плана – матрица, составленная из всех строк матрицы плана, отличающихся уровнем хотя бы одного фактора; размер матрицы спектра (Nxn); все строки этой матрицы различны.

Матрица дублирования – квадратная диагональная матрица, диагональные элементы которой равны числам параллельных опытов в соответствующих точках спектра плана, т.е. матрица вида

Отметим, что план эксперимента может быть задан либо матрицей плана, либо матрицей спектра плана в совокупности с матрицей дублирования.

4.3. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Принципы, положенные в основу теории планирования эксперимента, направлены на повышение эффективности экспериментирования, т.е. на получение максимума информации при минимуме опытов.

Отказ от полного перебора возможных входных состояний. Для получения исчерпывающей информации о свойствах функции отклика в принципе необходимо проведение бесконечного числа опытов во всех точках области

33

планирования эксперимента. В противном случае всегда существует теоретическая возможность пропустить некоторую особенность поверхности отклика, близкую к δ-функции Дирака. Указанную разновидность эксперимента можно назвать экспериментом с полным перебором всех входных состояний. Ясно, что он носит чисто умозрительный, гипотетический характер и нереализуем на практике. Если для однофакторного объекта можно ещё представить себе некий эксперимент, в какой-то степени близкий к полному перебору, когда экспериментатор, постепенно увеличивая или уменьшая значение фактора, непрерывно следит за откликом Y*, то в случае, когда число факторов больше одного, подобный эксперимент уже становится принципиально нереализуемым. Экспериментатор просто вынужден задаться дискретной сеткой значений факторов, выбрать какое-то фиксированное число уровней каждого фактора.

В теории планирования эксперимента сознательно отказываются от полного перебора входных состояний или от эксперимента, близкого к нему по своей конструкции. Выбор числа уровней варьирования по каждому фактору непосредственно связывается с выбором вида функции отклика или, точнее, с выбором вида её аппроксимации (в частности, в наиболее распространенных полиномиальных регрессионных моделях – со степенью аппроксимирующего полинома). В свою очередь, сам этот выбор можно осуществить, используя «Принцип постепенного усложнения математической модели» (принцип последовательного планирования). Этот принцип очень прост: в отсутствие априорной информации о свойствах функции отклика нет смысла сразу строить сложную модель объекта. Получение сложной модели требует, естественно, большего числа опытов, чем модели простой, а может оказаться, что в сложной модели нет необходимости, что она вырождается в простую модель, поскольку таковы свойства объекта. С точки зрения конечного результата – это хорошо, но ведь напрасно затраченные время и средства на проведение лишних опытов уже не вернешь. Поэтому теория планирования эксперимента рекомендует, как правило, начинать с простейшей модели, соответствующей имеющейся априорной информации (например, с линейной модели, если нет никакой информации о свойствах объекта или есть информация, что объект не обладает ярко выраженными нелинейными свойствами, или с квадратичной модели, если известно, что функция отклика, по всей видимости, не линейна).

Логика экспериментирования здесь такова: постановка небольшого числа опытов для получения простейшей модели, проверка её пригодности; если модель удовлетворяет исследователя, эксперимент заканчивается. Если же модель непригодна, необходим следующий этап (цикл) экспериментирования: постановка новых (дополнительных) опытов, позволяющих получить более сложную модель, её проверка и т.д. до тех пор, пока не будет получена модель, которую исследователь признает достаточно хорошей.

Если обратиться к наиболее распространённым полиномиальным моделям, то подобная логика означает, что исследователь обычно начинает с построения простейшей линейной модели, для чего достаточно варьировать каждый фактор всего на двух уровнях. Затем, в случае неудачи, он переходит к построению, квадратичных моделей; для этого нужно минимум три уровня варьирования по каждому фактору. Таким образом, если необходимо, посте-

34

пенно увеличивается степень аппроксимирующего полинома или, что часто делается, усложняется модель с помощью подходящего нелинейного преобразования факторов. В пределе, если функция отклика очень сложная, можно оказаться в ситуации, близкой к полному перебору возможных входных состояний, но так практически никогда не происходит. Обычно исследователь довольно быстро определяет подходящую модель и экономит значительное число опытов по сравнению с вариантом, когда сразу ищется модель максимальной сложности.

Приведённая здесь логика экспериментирования составляет часть общей концепции последовательного эксперимента. Согласно этой концепции при планировании эксперимента необходимо использовать последовательную, шаговую стратегию. После каждого шага производится анализ результатов, затем принимается решение о дальнейшей деятельности. Исследователь отказывается от попытки заранее задать строго фиксированную схему проведения эксперимента. Используемая им стратегия предусматривает возможность принятия решений в зависимости от результатов, полученных на отдельных этапах исследования. Подобная концепция накопит своё воплощение не только в упомянутых выше задачах построения математических моделей, но и при проверке статистических гипотез, контроле за спонтанно изменяющимся процессом (построение контрольных карт), в поисковых процедурах экспериментальной оптимизации, при построении последовательных планов эксперимента, когда каждый очередной опыт проводится после обработки ранее полученных данных в точке, дающей наибольшую информацию на этом шаге относительно интересующего исследователя свойства объекта, в различного рода последовательных процедурах обучения, распознавания образов, классификации и т.д.

В таких последовательных методах весьма важным пишется вопрос

опроверке качества результатов на каждом этапе исследования (например,

опроверке пригодности или адекватности найденной модели). В теории планирования эксперимента для проверки используются различные, математически строго обоснованные статистические процедуры, вытекающие из некоторых вероятностных свойств.

5.АНАЛИЗ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ

5.1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ

По отношению к интересующим величинам x1, x2, …, xk измерения могут носить прямой и косвенный характер. Измерения носят прямой характер, когда измеряются непосредственно величины x1, x2, …, xk, а косвенный, когда измеряются функции ξi (x1, x2, …, xk) от совокупности интересующих величин. Прямое измерение является частным случаем косвенного измерения.

Неопределённость экспериментальных данных может быть вызвана различными причинами. В простейшем случае неопределённость в наблюдениях обусловлена инструментальными ошибками и носит аддитивный характер. Для наблюдаемых величин y справедливо y = A(x) + ε, где А – оператор,

35

описывающий причинно-следственные связи; x – набор факторов (причин); ε – инструментальные искажения. По y определяется либо механизм процессов А, либо значения ненаблюдаемых факторов x. В более сложных случаях сама причинно-следственная модель является стохастичной, к тому же сохраняется неопределённость, вызванная ошибками измерений.

Ошибки могут носить как систематический, так и случайный характер. В первом случае ошибки возникают всегда, когда имеет место, вызвавшие их причины, и обычно приводят к характерным изменениям результатов. Действие же случайных ошибок имеет нерегулярный характер, и приводит как к завышению, так и к занижению измеряемых величин по сравнению с истинными значениями. При обработке результатов экспериментов необходим корректный учёт и систематических, и случайных ошибок.

5.2. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Для применения статистического анализа необходима вероятностная модель измеряемых величин. Получаемые выводы о природе измеряемых величин могут быть как общими (например, независимость измерений, аддитивный характер погрешностей), так и содержать детальную информацию (например, закон распределения). Проблема построения модели не является чисто математической, а требует детального знания изучаемого в эксперименте процесса, методики проведения эксперимента и измерений, и решается в сотрудничестве с экспериментатором. Даже самые убедительные доводы в пользу конкретной модели измеряемых величин являются неполными, могут приводить к ошибочным заключениям из-за наличия неучитываемых факторов, влияния друг на друга дополнительных величин и т.д. Поэтому модель обязательно должна быть проверена на экспериментальном материале. Такая проверка выполнима, если имеется достаточно большое число наблюдений, что позволяет выделить целесообразные методы дальнейшей обработки.

Полученная экспериментальная информация обычно неоднородна по качеству. Наряду с основной массой данных, измеренных с возможно малыми погрешностями, имеются грубые промахи в измерениях, вызванные экспериментальными ошибками или сбоями при фиксации результатов, а также при вводе их в ЭВМ. Без анализа данных на качественность, устранения грубых промахов или уменьшения их влияния на результаты последующей обработки можно прийти к ложным выводам об изучаемом объекте. Поскольку визуальный контроль большого объёма информации во многих экспериментах невозможен, корректировка осуществляется с помощью ЭВМ по статистическим критериям.

Для интерпретации, полученной экспериментальной информации, необходимо обработать её так, чтобы потери информации были минимальными. Это возможно при учёте закона распределения данных, при выборе соответствующих оптимизационных методов. Поэтому процесс обработки экспериментальной информации имеет в основе статистическую теорию оценок параметров.

Актуальной является проблема соответствия предлагаемой модели экспериментальным данным. Нередко модель является огрубленной, не вполне

36

адекватной изучаемому процессу. Эта приближённость обнаруживается как сопоставлением результатов интерпретации с фактами соответствующей конкретной области знаний, так и статистическими методами. Если результаты сравнения эксперимента и расчёта указывают на систематические расхождения между моделью и экспериментом, то модель нуждается в доработке, введении в неё дополнительных факторов или в полной замене.

После проведения обработки и интерпретации экспериментальной информации нередко целесообразно вернуться к постановке эксперимента. Обычно некоторые условия эксперимента поддаются контролю и управлению. В зависимости от их изменения меняются и величины случайных и систематических искажений. Эти проблемы решаются в математической теории планирования эксперимента, а также с помощью имитационного моделирования на основе метода Монте-Карло.

Часто, если запланированная серия опытов выполняется до конца, то получают весь набор экспериментальных данных, который подвергают обработке после проведения эксперимента. Если результаты требуют коррекции условий проведения эксперимента, то меняют значения регулируемых параметров и проводят новую серию наблюдений, которые затем обрабатывают.

Однако нередко обработка наблюдений проводится параллельно с их получением. Такая обработка проводится, если результаты обработки используются для непрерывного управления экспериментом.

В общем виде можно выделить следующие этапы обработки экспериментальных данных.

Сбор данных.

Регистрация. В некоторых практических приложениях можно выполнять всю необходимую обработку данных, используя непосредственно сигналы, поступающие в реальном масштабе времени. Однако в большинстве случаев такой подход непрактичен, и поэтому требуется запоминание в той ли иной форме или передача сигналов.

Подготовка. Исходные данные обычно представляют собой непрерывные изменения электрического напряжения, снимаемые с датчиков. На этой стадии необходимо произвести ряд операций, с помощью которых сигналы с датчиков переводятся в форму, удобную для дальнейшего анализа.

Редактирование – это последовательность операций, применяемых до начала анализа с целью выявить и исключить аномальные и искажённые сигналы, которые могли возникнуть при сборе и регистрации данных, например, за счёт высокого уровня помех, снижения уровня сигнала при плохой работе датчика.

Масштабирование или дискретизация – это процесс определения мо-

ментов времени, в которые должны быть произведены отсчёты. Перевод непрерывного сигнала (например, данные с термопары) в дискретную форму для численного анализа производится через равные интервалы времени.

Оценивание. Корректность методов анализа случайных процессов, а также интерпретация результатов анализа в значительной степени зависят от некоторых основных свойств анализируемого процесса. К их числу, в первую очередь, относятся стационарность, присутствие периодических составляю-

37

щих и нормальность процесса. Стационарность процесса играет важную роль потому, что методы анализа нестационарных процессов существенно более громоздки, чем в стационарном случае. Если установлено, что в процессе содержатся периодические составляющие, то это позволяет в дальнейшем избежать ошибок при интерпретации результатов анализа. Предположение о нормальности позволяет существенно упростить аналитическое исследование свойств случайного процесса, не содержащего периодических составляющих. Оценивание основных свойств процесса, т.е. этих трёх фундаментальных характеристик, рассматривается как отдельная операция, выполняемая до начала детального анализа. Однако на практике она зачастую осуществляется как составная часть общего анализа.

Анализ. Методы, при помощи которых изучаются свойства случайных процессов логично можно разделить на две группы: методы анализа отдельных реализаций и методы анализа ансамбля реализаций при известных статических свойствах каждой отдельной реализации.

Схема оценивания статистических свойств отдельных реализаций включает определение среднего значения, среднего квадрата, ковариационной функции, спектральной плотности, плотности вероятности, анализ нестационарных и переходных процессов, анализ реализаций периодического и почти периодического процесса, специальные методы анализа.

Процедура определения наиболее важных характеристик совокупности реализаций включает анализ отдельных реализаций, проверку коррелированности реализаций, проверку эквивалентности некоррелированных реализаций, оценивание взаимных ковариационных функций, оценивание функций когерентности, оценивание частотных характеристик и др.

5.3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Любые данные, полученные в результате наблюдения реального физического явления, можно отнести к детерминированному или недетерминированному типу. Детерминированные процессы – это процессы, которые можно описать явными математическими формулами. На практике часто встречаются физические явления, которые с высокой степенью приближения могут быть описаны точными математическими соотношениями. Например, движение спутника по околоземной орбите, измерение температуры воды по мере её нагревания по сути своей являются детерминированными процессами.

Однако существует множество других физических явлений, имеющих недетерминированный характер. Например, высота волн на море, электрический сигнал на выходе генератора шума – это процессы, которые невозможно описать во всех деталях. Невозможно предсказать точное значение этих процессов в будущие моменты времени. Эти процессы случайны по своей сути и должны описываться не точными уравнениями, а при помощи осреднённых статистических характеристик.

Во многих случаях трудно решить, относится ли рассматриваемый физический процесс к детерминированным или случайным. Можно утверждать, что встречающиеся на практике физические процессы не могут быть в полной мере детерминированными, так как нельзя исключить возможности того, что

38

в будущем произойдёт какое-нибудь событие, которое повлияет на явление, порождающее процесс, непредсказуемым образом. Можно утверждать, что нет и истинно случайных процессов, так как может оказаться, что при достаточно полном знании основных механизмов явления порождаемый этим явлением процесс можно описать математическими формулами. Вообще говоря, ни один физический процесс нельзя считать строго детерминированным, так как всегда существует возможность того, что полученные в результате эксперимента данные будут носить иной характер, чем предполагалось, вследствие непредвиденного события, изменившего весь ход процесса. С другой стороны, ни один физический процесс не имеет строго случайной природы, так как при условии достаточно полного знания механизма изучаемого процесса его можно описать точными математическими соотношениями.

С практической точки зрения решение о случайности или детерминированности конкретного физического процесса основывается на способности воспроизвести процесс в ходе контролируемого эксперимента. Если многократное повторение эксперимента приводит к одним и тем же результатам, то этот процесс можно считать детерминированным. Если же повторение опыта в идентичных условиях приводит к разным исходам, то такой процесс можно считать случайным.

Процессы, описывающие детерминированные явления, могут быть периодическими или непериодическими. Примером периодического процесса является синусоидальный процесс, поведение которого во времени математически выражается формулой

где Х – амплитуда; f0 – циклическая частота, Гц; θ – начальный фазовый угол. Периодические процессы можно разделить на полигармонические и гармонические. Процесс, описанный формулой (1), является гармоническим. К полигармоническим процессам относятся периодические процессы, которые математически представляются функцией времени, точно повторяющей свои

значения через одинаковые интервалы времени:

39

или

Полигармонические процессы состоят из постоянной компоненты Х0 и бесконечного множества синусоидальных компонент, называемых гармониками с амплитудами Хn и начальными фазами θn . Частоты всех гармоник кратны основной частоте f1. В некоторых случаях компонента с основной частотой может отсутствовать.

Непериодические процессы делятся на почти периодические и переходные. Если процесс образован суммой двух и более гармонических процессов с соизмеримыми частотами, то такой процесс будет периодическим. Однако если процесс образован суммой двух и более гармонических процессов с произвольными частотами, то он, как правило, не будет периодическим, а именно, сумма двух и более гармонических процессов будет периодическим процессом тогда и только тогда, когда отношение двух любых частот есть рациональное число. Почти периодические процессы определяются математически как функция времени:

n=1

причём fn / fm не для всех значений индексов являются рациональными числами. На практике почти периодические процессы порождаются физическими явлениями, в которых одновременно действуют гармонические процессы,

не связанные между собой.

Например, процесс x(t) = X1 sin(2t +θ1) + X 2 sin(7t +θ2 ) + X3 sin(3t +θ3 ) −

По определению переходные процессы – это все непериодические процессы, за исключением почти периодических (затухающие колебания, линейные функции, ступенчатые и т.д.).

Процесс, описывающий случайное физическое явление, нельзя выразить математической формулой, поскольку каждое наблюдение данного явления даёт невоспроизводимый результат. Функция времени, описывающая случайное явление, называется выборочной функцией. Множество всех выборочных функций, которые могут быть получены при регистрации данного случайного явления, называется случайным или стохастическим процессом.

40