Основы механики контактного взаимодействия и разрушения. Учебное пособие

Рис. 6. Основные виды смещений поверхности трещины: I — нормальный отрыв; II — поперечный сдвиг; III — продольный сдвиг

Окончательное решение дает распределение напряжений и смещений вблизи края произвольной хрупкой трещины для указанных основных типов разрывов:

– нормальный разрыв

σz=v(σx+ σy), τxz= τyz= 0,

21

где KI , KII , KIII- коэффициенты интенсивности напряжений,

МПа м .

Эти формулы были получены для случая плоской деформации; в случае плоского напряженного состояния нужно взять в них σz=0 и заменить n/(1+n). Формулы справедливы в малой окрестности края трещины, т.е. r должно быть малым по сравнению

с характерным линейным размером тела, например, длиной трещины или расстоянием ее конца от свободной границы. Трем ти-

22

пам разрывов в теории дислокаций соответствуют клиновые, краевые и винтовые дислокации.

2.5. Пластическая зона у вершины трещины

23

Дж. Р. Ирвин показал, что наличие пластичности приводит к тому, что трещина ведёт себя так, будто её длина больше, чем на самом деле. В результате пластических деформаций в окрестности вершины трещины перемещения в этой области больше, а жёсткость меньше, чем в упругом случае. Размер зоны пластичности вдвое превышает первую оценку rp (рис. 8).

Размер пластической области и интенсивность пластических деформаций в ней зависят от свойств материала и оцениваются с помощью коэффициента интенсивности напряжений. При вычислении КИН длину трещины увеличивают на половину длины пластической зоны. Пластическая поправка Дж. Р. Ирвина расширяет область справедливости линейной механики разрушения: по разрушающим напряжениям в сторону их увеличения, по критическим длинам трещин– в сторону их уменьшения. При плоской деформации пластическую поправку (в силу её малости) можно не вводить.

Более точное представление о форме зоны пластичности можно получить, рассматривая условие текучести для угловθ, отличных от нуля. Для этого следует использовать условие теку-

чести Мизеса, представленное через главные напряжения: (σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=2σ2ys,

где σys - предел текучести в одноосных испытаниях.

Поле напряжений при вершине трещины в главных осях описывается уравнениями:

24

Можно определить форму границы, отделяющей упругую область от пластической. Для этого нужно подставить полученные формулы в условие Мизеса, воспользовавшись обозначениями пластической зоны. В таком случае получаемдля плоского напряженного состояния:

- для плоской деформации:

Если в этих зависимость положить r=rp(θ), то можно получить расстояние от вершины трещины до границы, отделяющей упругую область от пластической. Таким образом:

- для плоского напряженного состояния:

- для плоской деформации:

В результате решения уравнений получены графические зависимости для границы зоны, изображенные в безразмерном виде на рис. 9.

Рис. 9. Форма зон пластичности у вершины трещины: а - нормальный отрыв; б - поперечный сдвиг; 1-ПНС; 2-ПДС

25

Расчёты показывают, что зона пластичности для ПДС заметно меньше зоны пластичности в случае ПНС, при θ=0 и ν=1/3 их размеры отличаются друг от друга в 9 раз.

3. УСЛОВИЯ РОСТА ТЕЩИНЫ И СПОСОБЫ ОСТАНОВКИ ЕЁ ДВИЖЕНИЯ

3.1. Теория Гриффитса

Существующие представления о критериях разрушения (теориях прочности) часто не применимы для большого круга явлений хрупкого разрушения. Например, эффект увеличения прочности кристалла каменной соли при растворении егопо верхностных слоев, множество случаев разрушения металлических конструкций при напряжениях, меньших условного предела текучести и много других явлений разрушения конструкций.

Это привело к тому, что пришлось отказаться от представления о прочности как о некоторой константе материала. Данное направление в механике разрушения получило начало от работы Гриффитса (1920) и основано на изучении самого процесса разрушения.

Гриффитс доказал, что концентрация напряжений в дефекте, установленная Колосовым-Инглисом, позволяет превращать энергию деформирования в энергию разрушения и что разрушение возможно только при постоянном подводе энергии.

Учёный рассмотрел следующую задачу. Пусть тонкая хрупкая пластина равномерно растягивается в одном направлении напряжениями s в своей плоскости (рис. 10). В пластине существует сквозная трещина длиной 2l, расположенная перпендикулярно направлению растяжения. Длина трещины пренебрежимо мала по сравнению с размерами пластины. Опытами было доказано, что, начиная с некоторого значения σ, происходит развитие трещины, которое сопровождается увеличением свободной поверхности.

26

Нагрузка

О В Удлинение

Рис. 10. Критерий А.А. Гриффитса при неподвижных захватах: а - пластина с трещиной с неподвижными краями; б - энергия упругих деформаций пластины с трещиной длиной, а (1) и a+da (2)

Поэтому Гриффитс ввел понятие поверхностной энергии хрупкого тела и сформулировал принцип, согласно которому существующая трещина станет быстро распространяться, когда скорость освобождения энергии упругой деформации превзойдет прирост поверхностной энергии трещины, т.е. если:

G = ¶DU > 4g , ¶l

где U – изменение упругого потенциала пластины вследствие наличия трещины; g – поверхностная энергия единицы свободной поверхности.

Упругая энергия U пластины с трещиной равна U0 – U, где U0 - упругий потенциал пластины без трещины. Величина U равна произведению средней площади области концентрации напряжений (пропорциональной а2 на среднее значение плотности

упругого потенциала (пропорциональной σ2/E):

U=λ0l2σ2/E.

Множитель λ0 может зависеть только от коэффициента Пуассона. Так как величина U0 не зависит от l, то в критическом состоянии 2Eγ=λ0lσ2. Таким образом, можно получить следующую зависимость нагрузки от длины трещины:

s = l1 El / l ,

27

где λ1 – множитель порядка единицы (для плоского напряженного состояния 2/l).

Данная формула представляет собой выражение для разрушающей нагрузки в зависимости от длины начальной трещины, является основным достижением теории Гриффитса.

Следующий значительный шаг в становлении механики разрушения связан с экспериментальными исследованиями Дж. Ирвина (1948) и Е. Орована (1950), предложившими использовать теорию Гриффитса для разрушения пластичных металлов с учетом понятия энергии, затрачиваемой на развитие пластических деформаций вблизи трещины.

Венгерский ученый Е.О. Орован, проводя эксперименты на плитах из малоуглеродистой стали с нанесёнными трещинами, отчётливо видел, как происходят такие деформации. Е.О. Орован заметил, что пластическая деформация сосредоточивается в тонком слое вблизи поверхности трещины. Подобное поведение было названо квазихрупким.

Учёные предложили учитывать пластическую работу в рамках той же схемы Гриффитса, приписывая поверхностной энергии более широкий смысл, и заменить γ суммой γ+γр, где γр - работа пластической деформации при образовании единицы поверхности. Вследствие необратимости работы γр можно говорить только о росте трещин, для металлов γр>>γ. Именно столь значительная пластическая работа и обеспечивает хорошее сопротивление металлов хрупкому разрушению.

Формулу Гриффитса можно переписать в виде:

Е. О. Орована и Дж.Р. Ирвина явилась крупным вкладом в механику разрушения и позволила перейти от идеального материала в схеме А.А. Гриффитса к реальным металлическим материалам.

28

3.2. Связь интенсивности высвобождения энергии с коэффициентом интенсивности напряжений

Поставим задачу определить количество высвобожденной энергии при росте трещины от длины l до (l+δl). При постоянной нагрузке высвобожденная потенциальная энергия равна высвобожденной δl→0. Вместо общего энергетического подхода Гриффитса сконцентрируем внимание на области вершины трещины, малой по сравнению с размерами тела в целом, но достаточно большой по отношению к межатомным расстояниям, что дает возможность применить линейно-упругую теорию.

Работа, необходимая на продвижение трещины на dl, должна быть равна изменению энергии деформации. Эта работа равна половине произведения поверхностных сил, необходимых для закрытия трещины и действующих на берегах трещины, на соответствующие перемещения. Множитель введен потому, что перемещение пропорционально поверхностным силам. Под перемещениями точек поверхности трещины следует понимать перемещения в области dl.

Согласно первоначальному предложению Ирвина интенсивность высвобождения энергии может быть представлена следующим образом:

Входящие в эту зависимость компоненты напряжений могут быть определены по асимптотическим формулам для напряжений, действующих в вершине трещины. После подстановки и взятия интеграла для плоской деформации получается следующая зависимость:

Итак, получили непосредственную связь между интенсивностью высвобождения энергии и коэффициентами интенсивности напряжений. Формула А.А. Гриффитса для критического напряжения при плоском напряжённом состоянии имеет вид:

29

s = 2gE / pl .

Величину G=πσ2l/E называют скоростью высвобождения упругой энергии, приходящейся на каждую вершину трещины. Величину G называют также трещинодвижущей силой; её размерность – энергия, делённая на единицу толщины пластины и на единицу изменения длины трещины. Увеличение длины трещины происходит тогда, когда величина G равна энергии, необходимой для роста трещины.

3.3. Предотвращение роста трещины, ремонт конструкций

Существуют различные способы для остановки развития трещин в деталях и конструкциях, однако они не всегда эффективны. В статическом случае можно подумать о ремонте конструкции (что иногда оказывается сложной в инженерном и в теоретическом плане задачей), а вот в динамическом случае проблема намного усложняется, ведь речь идёт о торможении (в течение микросекунд) рванувшейся с огромной скоростью трещины в условиях, быть может, ударных нагрузок. Сложилось представление о принципиальной невозможности торможения начавшегося быстрого лавинообразного распространения трещины.

Однако в некоторых случаях для развивающихся трещин можно устроить ловушки, которые поймают бегущую трещину. Также бороться с развитием трещины позволят современные электронные сенсорные системы, которые способны вовремя заметить трещину, включить вычислительные устройства прогнозирования её движения, а затем некоторый механизм торможения разрушения. Эти системы достаточно дорогостоящие, но их создание представляет собой жизненно важную задачу, особенно тогда, когда речь идет об уникальных сооружениях и (или) о безопасности людей.

В области ремонта одним из наиболее широко распространённых методов является установка дополнительных рёбер жесткости, называемых в ряде случаев стрингерами. Помимо повышения устойчивости, они могут обеспечить безопасность дефектной конструкции. Конечно же, стрингеры часто устанавли-

30