Модернизация технических систем методология и технология выбора решений. Монография

Вид системной модели ТС зависит от характера функционирования ТС, который в общем случае характеризуется четырьмя структурными свойствами оцениваемой системы [31, c. 28]: непрерывностью (система может функционировать непрерывно или дискретно), линейностью (система может быть линейной или нелинейной с точки зрения реакции на управляющие сигналы и внешние возмущения), стационарностью (функционирование системы представляет собой процесс, свойства которого могут быть независимы от времени — система стационарна — или могут изменяться во времени — система

51

нестационарна) и, наконец, стохастичностью поведения системы — оно может быть детерминировано, а может иметь стохастический характер). Указанные свойства позволяют выделить шестнадцать классов различных системных моделей. Некоторые из них имеют хорошо развитый математический аппарат (например, модели непрерывных линейных стационарных детерминированных систем), другие же исследованы недостаточно и не имеют адекватного математического описания.

В исследованиях образцов ТС широко распространены модели линейных стационарных стохастических систем, поведение которых описывается в виде изменений во времени состояний системы. В практике исследования подобных систем в настоящее время используются математические модели, основанные либо на применении

теории регулярных однородных марковских процессов, либо теории полумарковских процессов.

Преимуществом описания функционирования образцов ТС посредством марковских процессов является простота аналитических методов, лежащих в основе определения характеристик процесса, и относительно небольшой объем исходных данных, требуемых для их задания.

Главными ограничениями моделей, основанных на применении регулярных однородных марковских процессов, являются требование постоянства интенсивностей перехода и отсутствия последствия. Указанные требования для большинства образцов ТС являются существенными, поскольку процесс функционирования в них не обладает отсутствием последствия, а времена пребывания системы в каждом состоянии в общем случае распределены произвольным образом. Поэтому — оценка функционирования таких образцов ТС с помощью марковских моделей может привести к значительным искажениям их реальных возможностей. Сравнительный анализ результатов оценки нескольких образцов ТС с помощью марковской и полумарковской модели показал, что марковская модель дает «чрезмерно оптимистичную» оценку воз-

52

можностей образцов ТС по решению возложенных на них задач.

В ряде работ предприняты попытки повысить адекватность марковских моделей реальным процессам функционирования образцов ТС с помощью введения «псевдосостояний» [30]. Вычисление показателей оценки функционирования образцов ТС производится с помощью достаточно простых аналитических выражений. Вместе с тем проведение исследований «псевдосостояний», не имеющих ясного физического истолкования, существенно снижает «прозрачность» модели для логического и аналитического исследования путей совершенствования образцов ТС. Кроме того, в моделях с «псевдосостояниями» сохраняется требование отсутствия последовательности.

Полумарковские процессы описывают функционирование сложной системы так же, как и марковский — в виде изменений во времени состояний системы, однако время пребывания системы в каждом состоянии может быть при этом распределено произвольным образом. Для таких процессов марковское свойство (требование отсутствия последействия) соблюдается только для некоторых моментов времени — для моментов изменений состояний системы.

Наличие в графе функциональной декомпозиции ТС вершин двух типов приводит к необходимости построения общей методики функционирования ТС с использованием метода вложенных моделей. В этом случае модели взаимодействия элементов нижележащих ярусов графа функциональной декомпозиции ТС представляют собой элементы моделей вышележащих ярусов графа.

Физическая сущность элементов различных ярусов графа и совместное его рассмотрение с графом отношений позволяет разделить и преобразовать исходный обобщенный граф функциональной декомпозиции ТС в подграфы взаимодействия элементов ТС трех видов:

· древовидные подграфы условий функционирования ТС;

53

· подграфы переходов ТС из состояния в состояние с ветвлением типа «ИЛИ»;

· подграфы переходов ТС из состояния в состояние

светвлением типа «И».

Вотличие от графа функциональной декомпозиции ТС в перечисленных подграфах элементы ТС связаны между собой не отношением включения, а отношением условия достижения цели, то есть подграфы характеризуют взаимодействие элементов ТС при решении огневых задач.

Переход от графа функциональной декомпозиции к подграфам взаимодействия элементов ТС иллюстрирует рисунке 2.4.

…

i2 bim bik

…

Рисунок 2.4. Преобразование графа функциональной декомпозиции в граф взаимодействия ТС

Первый вид подграфов характеризует возможные типы протекания процессов ТС. Обобщенные показатели оценки функционирования ТС с помощью подграфов определяются по формуле полной вероятности [32,33].

i=1

Второй и третий виды подграфов характеризуют протекание во времени процессов функционирования ТС при

54

поражении целей, поэтому указанные подграфы является основой для построения полумарковскик моделей функционирования ТС.

Рассмотрим свойства полумарковских моделей и получим их наиболее важные характеристики, необходимые для вычисления показателя оценки функционирования ТС. Согласно [33,34] полумарковский процесс полностью определяется на множестве E= {eo…en} состояний системы матрицей вероятностей переходов //Pij//, 0≤ i; j≤ n, и матрицей функций распределения //Fij(t); 0≤ i; j≤ n, времени пребывания в состоянии ei при условии, что следующим состоянием системы будет ej. Очевидно, что время пребывания полумарковского процесса в состоянии ei, имеет функцию распределения вида

n

P{ti ≤ t} = Fi (t) = ∑pij · Fij (t); i = 0, 1, n (2.2)

j=0

Вработах [34,35] было показано, что полумарковский процесс можно задать с помощью матрицы //Pij(t//);

i,j=0,1,…,n вероятность перехода из состояния ei в состояние ej за время не больше, чем t. При этом условии

Для дальнейших, рассуждений введем обозначения:

j=0

55

Пусть Е0 — некоторое подмножество множества состояний E= {eo…en}; Е0 E. Обозначим через i время пребывания полумарковского процесса в множестве состояний Е0 с началом в состоянии ei (ei E) до первого выхода из Е0, а через Ti(t) функцию распределения величины τi.

Используя формулу полной вероятности, находим, что Ti(t) удовлетворяют системе интегро-дифференци- альных уравнений

Ti (t) =Σ∫t Tj (t-u) · d Pij (u) + Σ Pij (u) (2.8)

o

ei E0 ei E0

Переходя к преобразованиям Лапласа-Стильтьеса, получим

Учитывая соотношение (7), преобразуем систему уравнений (9) к виду

Ti (s) = fi (s) +Σ fij (s) · [Tj(s) – 1]; ei E0 (2.10) ej E0

Уравнение (2.10) впервые было получено В.С. Королюком в 1965 году [34]. Используя это уравнение, можно найти аналитические выражения для вычисления функции P(t), по которой определяется величина показателя W оценки системообразующих свойств (функционирования) ТС. Величина Ti(t) представляет собой функцию распределения времени решения задач технической системой

Решая систему уравнений (2.10), можно определить преобразование Лапласа-Стильтьеса Тi(s), а значит и пре-

56

образование Лапласа Рi (s), которое выражается через Ti

(s) в виде Ti (s)/s. Применяя формулу обращения, найдем функцию распределения времени решения задач ТС

При необходимости расчета математического ожидания величины τi формула (2.10) дает возможность определить систему линейных алгебраических; уравнений относительно математического ожидания. Для этого

Интеграл в правой части выражения (2.14) при s=0 представляет собой математическое ожидание MτI времени пребывания полумарковского процесса в множестве состояний Е° с началом в состоянии ei (ei E) до первого выхода из Е°

MτI = –T1i(0)

Так как

T1 i (s) = f1 i (s) +Σ fiJ (s) · [TJ (s) – 1] + Σ fiJ (s) · T1J (s), ei E0 ei E0

T1J (0) =1, а fiJ (0) = pij , то система линейных алгебраических уравнений относительно MτI имеет вид

Величина Mτ0 представляет собой математическое ожидание времени решения задач ТС.

57

Нужно сказать, что выражения (2.10) … (2.12) при решении задач вычисления функции распределения времени функционирования ТС в чистом виде пригодны лишь для подграфов второго вида — c ветвлением типа «ИЛИ» В подграфах третьего вида ветвление осуществляется по типу «И», то есть подграфы содержат одновременно протекающие процессы. Для подобных процессов формулы (2.10) … (2.12) непригодны, однако эта трудность может быть преодолена путем промежуточного получения результирующих функций распределения параллельно протекающих процессов с помощью специальной вычислительной процедуры.

Пусть в общем случае подграф третьего вида содержит n процессов, из которых m процессов составляют l параллельно выполняемых цепей процессов, причем каждая цепь представляет собой подграф второго вида (рисунок 2.4). Тогда определение функции распределения времени Pi(t) до первого выхода из множества состояний системы в подграфах третьего вида с учетом промежуточной вычислительной процедуры содержит следующие этапы.

1. Вычисление по формуле (2.12) изображения Tlj (s) Лапласа-Стильтьеса для каждой из l параллельно выполняемых цепей процессов,

2. Определение функций распределения Plj (t) времени протекания процессов каждой из 1 цепей посредством реализации обратного преобразования ЛапласаСтильтьеса.

3. Определение результирующей функции распределения Pl(t) всех l параллельно протекающих цепей процессов по полученным функциям отдельных цепей путем алгебраической операции их умножения.

l

Pl (t) = ∏ Pl (t)

j=1

4. Реализация прямого преобразования ЛапласаСтильтьеса полученной функции Pl (s), то есть

58

Pl (s) = L Pl (t)

5. Преобразование исходного подграфа третьего вида в подграф второго вида с заменой 1 параллельно протекающих цепей процессов одним результирующим процессом с функцией распределения Pl (t) и изображением Pl

(s) (см. рисунок 2.5).

6. Вычисление по формулам (2.10) …(2.12) функции распределения Pi (t) до первого выхода из множества состояний системы для подграфа второго вида.

параллельные

процессы

l lk+l

lp

а

результирующий процесс

lf б

Рисунок 2.5. Преобразование подграфа третьего вида

вподграф второго вида:

а— исходный подграф третьего вида;

б— подграф второго вида

Вприведенной последовательности вычисления Pi(t) определенные трудности возникают при получении изображений Лапласа-Стильтьеса функции и наоборот — оригиналов функций по их изображениям. Именно эти трудности привели в ряде работ к переходу от полумар-

59

ковских моделей к марковским моделям с «псевдосостояниями». Указанные трудности связаны прежде всего с ограниченным объемом функций, имеющих табличные значения изображений Лапласа-Стильтьеса, а также небольшим кругом алгебраических многочленов изображений Лапласа-Стильтьеса, по которым можно с помощью вычетов получить оригинал.

Однако эти трудности носят чисто вычислительный характер и при современном уровне развития вычислительной техники могут быть легко преодолены применением рациональных численных методов для решения интегродифференциальных уравнений полумарковских моделей.

2.4. Особенности моделей оценки обеспечивающих свойств образцов ТС

Обеспечивающие свойства системы проявляют себя

визменении уровня системообразующих свойств, поэтому

вотличие от системообразующих свойств обеспечивающие свойства ТС оцениваются показателями, имеющими не абсолютный, а относительный характер. Модели для их расчета целесообразно строить на основе методического аппарата индексной квалиметрии [36, c. 52–53]. Индекс представляет собой меру качества системы, построенную на применении операций нормировки по базе индексации. Такой базой при модернизации ТС для обеспечивающих свойств являются показатели системообразующих свойств и их составляющие, полученные с помощью как рассмотренных в предыдущем разделе, так и других классов математических моделей.

Единичным индексом называется результат нормировки по базе индексации без предшествующего или последующего разложения показателя. Единичные индексы в задаче модернизации ТС используются для оценки обеспечивающих свойств его элементов.

Агрегатный индекс — результат нормировки обобщенных показателей качества по базе индексации. При

60