Если В1,2 больше Вmax, то Хmax, min, необходимо исключать. После исключения грубых ошибок определяют новые значения Х, из n-1 или n-1.

1.2. Планирование эксперимента

Планирование эксперимента – прикладной раздел математической теории эксперимента. Математическая теория эксперимента определяет условия оптимального проведения исследования. Эксперт выбирает наиболее существенные факторы так, чтобы будущая математическая модель заранее обладала некоторым набором свойств. Математический план эксперимента должен быть оптимальным с точки зрения достижения цели. В плане обязателен минимум экспериментальных точек, необходимых для построения искомой зависимости. Алгоритм программы научного исследования должен основываться на принципах системного анализа, что предусматривает ряд основных концепций.

Концепция последовательного эксперимента: эксперименты ста-

вят небольшими сериями, этапами. На каждом этапе планируется эксперимент, построение модели, анализ модели, принятие решения о дальнейшем направлении исследования. Систематическое применение такой процедуры существенно сокращает объем исследований при технической экспертизе. Каждый последующий шаг, в силу накопления новой информации и появления новых идей о методах решения задачи, реализуется на более высоком качественном уровне. На поисковом этапе целесообразно включать как можно больше факторов Хi, гипотетически влияющих на параметр выхода Y. На данном этапе не рекомендуется проводить инструментальный анализ объекта обследования, как правило, требующих значительных временных и материальных затрат.

При переходе к последующему этапу четко обосновываются причины стабилизации на оптимальном уровне каждого из снимаемых с даль-

9

нейшего обследования факторов. На этапе уточнения оставляют для моделирования 2-3 основных фактора Хi. На этом этапе полезно использование инструментов при обследовании объекта во всех точках плана эксперимента. Степень достоверности выводов, характеризуемая уровнем значимости, должна возрастать по мере перехода от поискового у уточняющему этапу.

Концепция рандомизации. План обследования составляется так, чтобы те случайные факторы, которые трудно поддаются контролю, учитывались систематически и затем исключались из обследования как систематические. Например, температура, влажность, в разные дни бывают разные. Поэтому все обследование этапа следует выполнять в одно время. Планируемые обследования выписываются в логическом порядке, а затем последовательность их выполнения нарушается, и в таком случайном порядке их выполняют.

Концепция математического моделирования. В литературе встре-

чается большое количество математических планов. Планы обеспечивают успешное математическое моделирование в виде полиномов. Данные по обследованию для каждого из параметров выхода Y целесообразно представлять в виде информационной таблицы результатов, где можно фиксировать и проводить первичную статистическую обработку (табл. 4).

После обследования необходимо исключить из рассмотрения аномальные измерения – промахи, грубые погрешности. Критерий проверки:

10

n

Если Вmax(min) превышает Вкр, приведенное в табл. 3, оно исключается из дальнейшей статистической обработки.

На основании данных обследования рассчитывают среднее арифметическое параметра выхода, которые участвуют в расчете оценок коэффициентов модели. Обследование должно отвечать принципу эффективности, то есть минимума дисперсий. Наилучшими оценками параметров модели являются те, для которых сумма квадратов отклонений от опытных значений минимальна.

Концепция оптимального использования факторного про-

странства. Факторным пространством называется пространство, координаты которого соответствуют рассматриваемым факторам. При изучении однофакторной зависимости Y = F(X) на числовой шкале фактора Х можно наметить две точки, между которыми будет расположена исследуемая зона обследования фактора Х в виде отрезка прямой. Обычно эти точки размещают так, чтобы одна соответствовала минимальному, а другая максимальному значению Х. Выбор пределов варьирования фактора может быть мотивирован следующими доводами:

1)за этими границами фактор не существует;

2)значения Х за пределами выбранного интервала встречаются крайне редко;

3)за пределами выбранного интервала связь между параметром выхода и переменным параметром практически не существует;

4)методические и технико-экономические доводы.

При изучении зависимости параметра выхода от двух факторов Y = F(Х1, Х2) рассматриваемое факторное пространство будет ограничено прямоугольником. При исследовании влияния 3-х факторов факторное пространство функции будет представлять собой прямоугольный параллелепипед. Для упрощения реализации планов переходят от натуральных значений факторов к кодированным, используя приемы центрирования и масштабирования. Центрирование состоит в переносе начала координат системы кодированных факторов Хi в центр эксперимента. Координаты центра плана в натуральных переменных выражаются в виде:

11

Масштабирование состоит в изменении центрированных числовых значений факторов в Хi раз, где Хi – полудиапазон изменения фактора, который определяется выражением

Возврат от них к натуральным переменным осуществляется по формуле

В новой системе координат хi факторное пространство будет ограничено к-мерным кубом. Новая система координат обеспечивает оптимальное использование факторного пространства, так как вершины координатного пространства имеют координаты хi = [1], по любой оси факторы меняются симметрично по отношению к центру факторного пространства с координатами хi = 0.

1.3. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ предпринимается для исследования закономерностей связи между объектом обследования и окружающей средой, которая зависит от многих (иногда неизвестных) факторов. Регрессионный анализ необходим, когда между выходным параметром Y и входными параметрами существует не вполне однозначная (не детерминированная) связь: то есть когда одному значению Х соответствует несколько значений Y. Связь между Y и Х в этом случае называют регрессионной. Функция Y = F(Х) является регрессионной, если каждому значению аргумента Х соответствует статистический ряд распределения Y.

Таким образом, регрессионные зависимости характеризуются вероятностными – стохастическими связями. Установление регрессионных зависимостей возможно лишь тогда, когда выполнены статистические измерения. Суть регрессионного анализа сводится к установлению уравнения регрессии, то есть математической регрессионной модели связи между случайными величинами Х и Y, оценке тесноты связи между ними, достоверности результатов измерений, адекватности модели экспериментальным данным.

12

Чтобы предварительно выявить наличие связи между Y и Х, в координатах Х / Y строят корреляционное поле, нанося экспериментальные точки на график. По тесноте группировки точек можно визуально судить о наличии связи и типе зависимости (линейная, нелинейная). Если между изучаемыми свойствами есть связь, в расположении точек намечается некоторая правильность. Определив с помощью экспериментальных точек для каждого значения Х среднее значение Y, можно по-

лучить ломаную линию, называемую экспериментальной регрессионной зависимостью.

Различают одно- и многофакторные регрессионные зависимости. Однофакторная зависимость графически может быть изображена прямой, параболой, гиперболой, степенной функцией. Двухфакторная зависимость геометрически отображается в трехмерном пространстве плоскостью, гиперболоидом, параболоидом. Для n факторов связь может быть установлена с помощью n-мерного пространства.

Основной задачей регрессионного анализа является вычислением параметров и статистическое исследование математических моделей, полученных по экспериментальным данным. Математическая модель, построенная с помощью регрессионного анализа, называется уравнением регрессии. Параметры модели, найденные с помощью регрессионного анализа, называют коэффициентами регрессии. Графическое изображение модели называют поверхностью отклика.

Координатное пространство, на осях которого откладывают значения исследуемых факторов, называют факторным пространством. Для регрессионного анализа необходимо выполнение следующих требований:

1)точность, с которой задают значения переменных факторов, должна быть значительно выше точности измерения параметра выхода. В регрессионном анализе факторы не являются случайными величинами;

2)каждый фактор не должен быть связан с другими факторами (коэффициент корреляции меньше 0,8);

3)шаг варьирования факторов должен быть больше, чем ошибка фиксирования факторов;

4)число экспериментальных точек должно превосходить число коэффициентов регрессии.

Регрессионный анализ предполагает вычисление оценок методом наименьших квадратов и проверку статистических гипотез об однородности дисперсий во всех точках обследования, значимости коэффициентов регрессии, а также проверку адекватности математической модели экспериментальным данным.

Точность обмеров в различных частях факторного пространства может быть различной. Следует проверять статистическую гипотезу об

13

однородности оценок дисперсии, полученных в разных точках области обследования. Если в каждой точке, намеченной для обследования, выполняется одинаковое число параллельных измерений m, проверка однородности дисперсий проводится по G-критерию Кохрена.

Критерий Кохрена обеспечивает проверку воспроизводимости результатов, то есть их повторяемость в определенных пределах измерений с заданной доверительной вероятностью. Последовательность проверки статистической гипотезы включает следующие действия. Для каждой точки обследования вычисляют выборочное среднее Y и выборочную дисперсию S2. Выбирают максимальную по величине дисперсию и сумму дисперсий для всех точек объекта обследования. Вычисляют расчетный критерий Кохрена:

Критическое значение критерия Кохрена Gкр выбирают по таблице в зависимости от числа степеней свободы F = m –1, от числа обследованных точек по объекту с учетом выбранной доверительной вероятности Рд. Оценки дисперсий признаются однородными, если по G-критерию нуль-гипотеза подтвердится:

С риском, соответствующим принятой доверительной вероятности, можно допустить гипотезу об однородности дисперсий и рассчитать среднюю дисперсию измерения по всему проведенному обследованию:

Оценка Sэw= S 2 называется ошибкой эксперимента.

{Y }

При проверке гипотезы о значимости коэффициентов уравнения регрессии используется t – критерий Стьюдента при числе степеней свободы f = (m –1)N. Оценка дисперсии измерений в определении среднего рассчитывается по формуле