1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ

1.1. Основы теории случайных ошибок

Техническая экспертиза объектов недвижимости предполагает использование инструментов для проведения замеров (прочности конструкций, линейных размеров при составлении обмерочных планов и измерении дефектов: толщины защитного слоя арматуры, ширины раскрытия трещин и т.п.).

Теория случайных ошибок позволяет оценить точность и надежность измерения при данном числе замеров случайной величины или определить минимальное число замеров, гарантирующее требуемую точность. Позволяет также исключить грубые ошибки измерений и оценить достоверность проведенных измерений. В управленческой экспертизе – оценить достоверность выводов по опросам и анкетированию потребителей.

Различают генеральную и выборочную совокупность измеряемой величины. Генеральная совокупность состоит из всего множества N значений измерений величины Х. Выборочная совокупность представляет собой ограниченное число n измерений. При измерениях исследователь получает информацию не о всей генеральной совокупности N случайной величины X, а лишь о некоторой ее части – выборке конечного объема.

Основу теории случайных ошибок составляют следующие предположения:

а) при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

б) большие погрешности встречаются реже, чем малые; в) при бесконечно большом числе измерений истинное значение из-

меряемой величины равно среднему арифметическому всех результатов измерений;

г) появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения.

Нормальный закон распределения является наиболее распространенным, но не универсальным законом распределения случайной величины, плотность его задается двумя параметрами и :

5

Кривая распределения F{X} имеет колоколообразную форму с максимумом в точке Х = и двумя точками перегиба Х = ± . Кривая

функции симметрична. Коэффициент ассиметрии = 0.

Основные показатели оценки случайной величины приведены в табл. 1.

При работе с выборочной совокупностью вводят понятие «степень свободы», учитывающее в статистических расчетах связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Число степеней свободы f определяется как число независимых измерений n минус число тех связей l, которые наложены на эти измерения при дальнейшей обработке информации. Так, при измерении дисперсии число степеней свободы f =

n –1, так как при вычислениях использовалась одна величина Х , связанная с независимыми измерениями.

Для данной выборки точечные оценки (среднее арифметическое, дисперсия, коэффициент вариации) – детерминированные числа, но для генеральной совокупности любая выборочная точечная оценка – величина случайная. Перенос наших знаний от выборочной совокупности к

6

генеральной может быть осуществлен лишь с некоторой вероятностью Р{ }. То есть суждения о свойствах генеральной совокупности носят вероятностный характер и содержат элемент риска (1– Р{ }).

Любые суждения о свойствах генеральной совокупности называют статистическими гипотезами Н. Их проверка осуществляется с помощью статистических критериев Cr. Если значение изучаемого параметра попадает в область принятия гипотезы, то это означает лишь то, что гипотеза не противоречит экспериментальным данным и ее с риском можно признать правомерной. Основная статистическая гипотеза Н0 – нуль-гипотеза формулируется следующим образом:

Если две оценки *1А и *2А, полученные из двух выборок, принадлежат к одной генеральной совокупности с истинным параметром 1, разница между ними равна нулю и возникла в силу случайности отбора элементов в выборку.

По выборке возможны две ошибки, связанные с ограниченной информацией:

1) может быть отвергнута правильная гипотеза. Вероятность допустить эту ошибку называют уровнем значимости . Область, отвечающая вероятности , называется критической, а дополняющая ее область, вероятность попадания в которую Р{Д} = 1 – , называется доверительным интервалом;

2) может быть допущена неправильная гипотеза. Вероятность допустить эту ошибку обозначается буквой .

В работах по управлению называется «риск производителя» (при контроле качества товара) – отвергая правильную гипотезу, он бракует качественную продукцию; – «риск потребителя» – допуская ложную

гипотезу, потребитель принимает и использует фактически некачественную продукцию.

В доверительный интервал значений Х попадает истинное (действительное) значение Хд измеряемой величины с заданной вероятностью а Хд в. Доверительную вероятность в исследованиях часто принимают равной 0,9; 0,95; Уровень значимости соответственно составляет 0,1;

где (в – Х ) и (а – Х ) – доверительный интервал, t отражает соотношение дисперсий. При числе измерение n менее 30, что обычно имеет место, гарантийный коэффициент описывается функцией Стьюдента (В.С. Госсет – английский математик, дата метода – 1908 г.).

7

Кривые распределения Стьюдента при n→ переходят в кривые нормального распределения. Гарантийный коэффициент описывается при этом функцией Лапласа:

При доверительной вероятности 0,6827 t = 1, при Рд = 0,9545 t = 2,

при Рд = 0,9973 t = 3.

Для малой выборки доверительный интервал может быть определен по формуле 0 ст , где ст – коэффициент Стьюдента, принимаемый

по табл. 2; 0 – средняя ошибка, определяемая выражением

i 1

Впроцессе обработки экспериментальных данных следует исключать грубые ошибки. Наиболее простым способом исключения из ряда резко отличающегося измерения является правило «трех сигм»: разброс случайных величин от среднего значения не должен превышать

= X±3 .

Второй метод исключения грубых ошибок основан на использовании доверительного интервала. Наличие грубых ошибок при этом выявляется с помощью формул:

где n – число измерений, Хmax, Хmin – наибольшее и наименьшее значения из n измерений. Критерий грубых ошибок Вmax в зависимости от доверительной вероятности принимается по табл. 3.

8