Механика робота. Учебное пособие

ÓÄÊ 681.511

Родин, Б.П.

Механика робота: Учеб. пособие к практическим занятиям/ Б.П.Родин;

Саратов: Издательство «Вузовское образование», 2013.— (Высшее образование).

—56с. — Док. опубл. не был. — Доступ с сайта ЭБС IPRbooks.

Учебное пособие охватывает темы практических занятий, предусмотренных учебным планом и программой по курсу механика робота. По теме каждого практического занятия приведены задачи, необходимые для их решения определения и теоретические результаты, указания и ответы. В пособии систематически рассматривается применение программы Mathcad для решения задач по теме каждого практического занятия. Предназначено для студентов третьего и четвертого курсов, специализирующихся по мехатронике и робототехнике.

Б.П. Родин, 2013

2

1Занятие первое. Базовая система координат и система, скрепленная с объектом манипулирования. Преобразование координат. Ортогональные матрицы

Промышленый робот перепрограммируемый многофункциональный манипулятор, предназначенный для осуществления различных заранее заданных перемещений материалов, деталей, инструментов или специальных приспособлений с целью выполнения различных работ. Чтобы заранее задать перемещения объекта манипулирования, нужна система отсчета. Системой отсчета в механике называют геометрическую систему отсчета, дополненную часами. Геометрическая система отсчета это геометрическая твердая среда, то есть континуальное множество геометрических точек, расстояния между которыми фиксированы. Положение произвольной (не связанной со средой) геометрической точки будет характеризоваться той точкой среды, с которой рассматриваемая точка совпадает. Геометрическую твердую среду связывают с каким либо реальным телом, например, со стойкой манипулятора, со схватом. Каждая из таких сред абсолютно проницаема для точек другой среды, и в каждой может быть различным образом задана система координат как совокупность чисел, которые определяют положение каждой точки этой среды по отношению к некоторым специально выбранным точкам.

Мы будем рассматривать перемещения объекта манипулирования (материал, деталь, инструмент или специальное приспособление) относительно системы отсчета, которую будем называть базовой. Предположим, что в геометрической твердой среде, связанной со стойкой манипулятора, выбраны четыре не лежащие в одной плоскости точки такие, что любые три из них не лежат на одной прямой. Одну из этих точек O принимаем за начало координат. Радиусы векторы, проведенные из

начала к трем оставшимся выделенным точкам, обозначим e1, e2 è e3. Тогда радиус вектор r, проведенный из начала координат к любой точ- ке M, можно представить линейной комбинацией

r = x1e1 + x2e2 + x3e3.

Числа x1, x2, x3 суть координаты точки M в системе координат с нача-

лом в точке O и базисом e1, e2, e3.

Объект манипулирования считаем абсолютно твердым телом и скреп-

ляем с ним геометрическую твердую среду, в которой выбираем систему координат с началом в точке O′ и базисом e1′, e2′, e3′. Эту систему ко-

ординат называют скрепленной с объектом манипулирования или вмороженной в объект. Радиус вектор ρ, проведенный из начала координат O′ к любой точке M, можно представить линейной комбинацией

ρ = x′1e1′ + x′2e2′ + x′3e3′.

3

Числа x′1, x′2, x′3 суть координаты точки M в системе координат с нача- лом в точке O′ и базисом e1′, e2′, e3′.

Напомним определение матрицы перехода от одного базиса к дру-

гому. Матрицей перехода от "старого"базиса e1, e2, e3 к "новому"базису e1′, e2′, e3′ называется матрица C − 3 × 3, столбцы которой образованы

координатами новых базисных векторов в старом базисе.

1.1

Найти матрицу перехода от базиса e1, e2, e3 к базису e1′, e2′, e3′ ïî ðèñ. 1.

e1′, e2′, e3′ образованы координатами нового базиса в старом базисе, так что (e1′, e2′, e3′) = (e1, e2, e3)C.

1.2

Показать, что, если C матрица перехода от базиса e1, e2, e3 ê áàçè- ñó e1′, e2′, e3′, à C′ матрица перехода от базиса e1′, e2′, e3′ к базису e1′′, e2′′, e3′′, то матрица CC′ будет матрицей перехода от базиса e1, e2, e3 к базису e1′′, e2′′, e3′′.

1.3

Найти матрицу перехода от базиса e1, e2, e3 к тому же базису e1, e2, e3.

4

1.4

Показать, что если C матрица перехода от базиса e1, e2, e3 ê e1′, e2′, e3′, то обратная матрица C−1 есть матрица перехода от базиса e1′, e2′, e3′ ê

базису e1, e2, e3.

1.5

Найти матрицу перехода от базиса e1′, e2′, e3′ к базису e1, e2, e3 в задаче 1.1.

Рассмотрим две системы координат систему с началом в точке O

и базисом e1, e2, e3 и систему с началом в точке O′ и базисом e1′, e2′, e3′. Матрицу перехода от старого базиса e1, e2, e3 к новому базису e1′, e2′, e3′

обозначим через C, òàê ÷òî

(e1′, e2′, e3′) = (e1, e2, e3)C. (1)

Координаты начала O′ новой системы координат обозначим b1, b2, b3, òàê

Координаты некоторой точки M в старой системе координат обозначим через x1, x2, x3, а в новой x1′ , x2′ , x3′ . В соответствии с этими обозна- чениями

Выразим в правой части последнего равенства новый базис через старый в соответствии с (1)

Òàê êàê

′ ′ OM = OO + O M,

5

то, учитывая единственность разложения вектора по базисным векто-

Введем обозначения для столбца старых координат x = (x1, x2, x3)T , столбца новых координат x′ = (x1′ , x2′ , x3′ )T точки M и столбца коор-

динат нового начала O′ b = (b1, b2, b3)T , которые позволяют представить

(2) â âèäå

Формула (3) преобразования координат точки M выражает старые

координаты через новые координаты, матрицу перехода к новому базису и координаты начала новой системы в старой.

Из (3) следует формула

выражающая новые координаты через старые.

1.6

Найти координаты точки M в системе координат O′, e1′, e2′, e3′ ïî ðèñ.1.

1.7

Найти координаты вектора e3 в базисе e1′, e2′, e3′ ïî ðèñ.1.

Матрица C называется ортогональной, если она обладает одним (а потому и любым другим) из следующих пяти свойств:

1.CT C = E

2.столбцы матрицы C ортонормированы, то есть c1ic1j + c2ic2j +

c3ic3j = δij

3.C−1 = CT

4.CCT = E

5.строки матрицы C ортонормированы, то есть ci1cj1+ci2cj2+ci3cj3 =

δij

1.8

Показать, что единичная матрица ортогональна.

6

1.9

ортогональной?

1.10

Показать, что абсолютная величина определителя ортогональной матрицы равна единице.

В случае, когда базис e1, e2, e3 является ортогональным, то есть eiej =

1.11

′. Показать, что c21 в (5), есть косинус угла между j è i

По столбцам матрицы перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному стоят направляющие косинусы векторов нового базиса в старом базисе. Ее называют также матрицей направляющих косинусов.

Координаты точек в ортонормированном базисе будем обозначать x, y, z. Формулу преобразования координат (2) при переходе от ортонор-

′ ′ ′ ′

мированной системы координат O, i, j, k к ортонормированной O , i , j , k

С учетом ортонормированности матрицы C имеет место формула

7

00 −1

На рис. 2 изображены две ортогональные координатные системы. По координатам x′ = y′ = z′ = 1 точки M найти ее координаты x, y, z.

другому ортонормированному базису ′ ′ ′ имеет определитель, рав- i , j , k

, если базисы ′ ′ ′ имеют одинаковую ный единице det C = 1 i, j, k è i , j , k

ориентацию, и определитель, равный минус единице det C = −1, åñëè

ориентации этих базисов различны.

Ортогональную матрицу C называют собственной, если det C = 1.

8

1.13

Показать, что единичная матрица и матрицы

являются ортогональными собственными, а матрицы

таковыми не являются.

1.14

Считая матрицами перехода от ортонормированной системы ′ ′ ′ i, j, k ê i , j , k

матрицы, рассмотренные в задаче 1.13, выполнить соответствующие рисунки.

1.3Матрицей перехода является единичная матрица E.

1.4Рассмотрим последовательные переходы от базиса e1, e2, e3 ê áà- çèñó e1′, e2′, e3′ и от базиса e1′, e2′, e3′ снова к базису e1, e2, e3. Матрица

результирующего перехода является единичной матрицей, и, если обозначить матрицу первого перехода C, а второго C′, òî E = CC′. Ýòî

равенство означает, что C′ = C−1.

1.5 При решении задачи 1.1 найдена матрица перехода от базиса e1, e2, e3 к базису e1′, e2′, e3′. Обращая эту матрицу, находим

9

1.6 Из рис.1 легко определяются старые координаты xT = (1, 2, 1) точки M и координаты нового начала bT = (1, 1, 0). Матрица C−1 íàé- дена при решении задачи 1.5. В соответствии с (4) находим

1.8ET E = E.

1.9Матрица ортогональна.

1.10 Переходя в равенстве CT C = E к определителям и учитывая, что det CT = det C, получим равенство (det C)2 = 1.

1.11 Умножим правую и левую части равенства (6) скалярно на j.

Тогда получим ′

ji = c21. Скалярное произведение единичных векторов совпадает с косинусом угла между ними.

1.12

2Занятие второе. Ортогональные преобразования и движения

Формулы (7) и (8) дают связь между прямоугольными координатами одной и той же точки относительно двух различных систем координат. Однако эти формулы могут быть истолкованы и иным образом. Их можно рассматривать как соотношения, связывающие координаты разных точек относительно одной и той же системы координат.

В геометрии существуют "активная"и "пассивная"интерпретация введения новых переменных

x′ = f1(x, y, z), y′ = f2(x, y, z), z′ = f3(x, y, z).

Пассивно оно представляет собой изменение системы координат, то есть точке с координатами x, y, z приписываются новые координаты x′, y′, z′.

В противоположность этому при активном понимании фиксируют систе-

му координат, а преобразовывают само пространство. С каждой точкой с координатами x, y, z сопоставляют точку с координатами x′, y′, z′.

10