Механика робота. Учебное пособие

которую можно получить умножением исходной матрицы на матрицу

поэтому для поступательного j-го сочленения

∂A[j − 1, j] = QdA[j − 1, j]. ∂qj

Введем в рассмотрение матрицу Qj, совпадающую с Qθ для вращатель- ного сочленения и совпадающую с Qd для поступательного сочленения. С помощью этой матрицы для любого j-го сочленения можно написать

∂A[j − 1, j]

∂qj

= QjA[j − 1, j].

Среди сомножителей в представлении расширенной матрицы перехода от базовой системы к системе, скрепленной с i-ым звеном,

A[0, i] = A[0, 1]A[1, 2]...A[i − 1, i],

Åñëè j > i, òî

∂A[0, i] = 0. ∂qj

Для частной производной расширенной матрицы перехода от базовой системы координат к системе, скрепленной с i-ым звеном, по j-îé îáîá-

щенной кординате введем специальное обозначение

∂A[0, i]

∂qj

= Uij,

которое позволяет скорость точки i-го звена записать в виде

∑j=i

v[0, i] = Uijq_jr[i, i].

j=1

41

6.5

∂U11

Вычислить для первого вращательного сочленения ∂q1 .

Сформулируем обратную задачу кинематики манипулятора. Для n-

звенного манипулятора с известными кинематическими параметрами звеньев по заданным в базовой системе Ox0y0z0 положению и ориен- тации схвата найти обобщенные координаты q1, q2, ..., qn, реализующие это положение и ориетацию.

Вообще говоря, разные наборы обобщенных координат могут реализовывать одну и ту же матрицу манипулятора, поэтому обратная задача кинематики может иметь несколько решений.

6.6

Решить обратную задачу кинематики для шестизвенного манипулятора с параметрами варианта 7 из занятия 5 по матрице манипулятора из задачи 6.4.

Ответы и решения к занятию 6

6.1 Обратимся к пакету Mathcad. Внутренней переменной ORIGIN, которая определяет начальное значение индексов массивов, присвоим значение единица: ORIGIN:=1.

Определим функциональные матрицы поворотов и трансляции:

Определим функциональную матрицу перехода от системы координат (i − 1)-го звена к системе координат i-го звена:

A(a, α, d, θ) = Rotz(θ) Trans(a, 0, d) Rotx(α).

42

Зададим параметры звеньев манипулятора:

Определим расширенные матрицы перехода между системами координат, скрепленными со звеньями манипулятора:

A01(ψ) := A(a1, α1, d1, ψ) A12(ψ) := A(a2, α2, d2, ψ)

A23(ψ) := A(a3, α3, d3, ψ) A34(ψ) := A(a4, α4, d4, ψ)

A45(ψ) := A(a5, α5, d5, ψ) A56(ψ) := A(a6, α6, d6, ψ)

В варианте 7 из занятия 5 заданы следующие обобщенные координаты в исходном положении

Найдем расширенную матрицу манипулятора в исходном положении:

T 0 := A01(θ01) A12(θ02) A23(θ03)

T 0 := T 0 A34(θ04) A45(θ05) A56(θ06)

Матрица манипулятора в его исходном положении имеет вид:

6.2 Нахождение координат начала и направляющих косинусов осей системы координат O6x6y6z6, связанной со схватом, при заданных значе- ниях обобщенных координат сводится к вычислению матрицы манипулятора. Проведем эти вычисления в Mathcad, продолжая лист, который содержит решение задачи 6.1.

Присвоим обобщенным координатам заданные значения, обозначая определяемое ими положение манипулятора цифрой один:

Найдем матрицу манипулятора в первом положении:

T 1 := A01(θ11) A12(θ12) A23(θ13)

43

T 1 := T 1 A34(θ14) A45(θ15) A56(θ16)

Матрица манипулятора в первом положении манипулятора имеет вид

Матрица T 1 содержит квадратнцю матрицу R6(1)−3×3 и столбец p6(1):

−0.39 p6(1) = 0.043 .

0.278

Столбцы матрицы R6(1) содержат направляющие косинусы осей O6x6y6z6,

àстолбец p6(1) координаты точки O6.

6.3Проведем вычисления в Mathcad, продолжая лист, который содержит решение задачи 6.1.

Присвоим обобщенным координатам заданные значения, обозначая определяемое ими положение манипулятора положением два:

Найдем матрицу манипулятора во втором заданном положении:

T 2 := A01(θ21) A12(θ22) A23(θ23)

T 2 := T 2 A34(θ24) A45(θ25) A56(θ26)

Матрица манипулятора во втором заданном положении имеет вид:

Из полученной матрицы манипулятора извлекаем матрицу R6(2),описывающую ориентацию схвата, и столбец p62 коорденат точки O6:

44

−0.341 p6(2) = −0.063 .

0.228

Направляющие косинусы осей системы O6x6z6 образуют столбцы мат- ðèöû R6(2).

6.4 Вектор-столбец однородных координат точки M это четвертый

cтолбец матрицы манипулятора в первом положении:

−0.39

p1 := T 1<4>p1 = 0.043

0.278

1

Вектор-столбец однородных координат точки N это четвертый столбец

матрицы манипулятора во втором положении:

−0.341

p1 := T 2<4>p2 = −0.063

0.228

1

Определим вектор-столбец однородных координат середины отрезка

Ориентация схвата по условию решаемой задачи определяется матрицей

Искомая матрица манипулятора имеет вид:

6.5

∂U11

∂q1 = QθQθA[0, 1]

6.6 Проведем вычисления в пакете Mathcad, продолжая лист, который содержит решение задач 6.1-6.4. Обратную задачу кинематики манипулятора будем решать для положения схвата, задаваемого матрицей

45

манипулятора

Определим матрицу манипулятора как функцию обобщенных координат

T v(q) := A01(q1) A12(q2) A23(q3) A34(q4) A45(q5) A56(q6)

Введем в рассмотрение матрицу Q, нужную для построения частных

производных матрицы манипулятора по обобщенным координатам. Для вращательного сочленения она имеет вид

U61(q) := Q A01(q1) A12(q2) A23(q3) A34(q4)

U61(q) := U61(q) A45(q5) A56(q6)

U62(q) := A01(q1) Q A12(q2) A23(q3) A34(q4)

U62(q) := U62(q) A45(q5) A56(q6)

U63(q) := A01(q1) A12(q2) Q A23(q3) A34(q4)

U63(q) := U63(q) A45(q5) A56(q6)

U64(q) := A01(q1) A12(q2) A23(q3) Q A34(q4)

U64(q) := U64(q) A45(q5) A56(q6)

U65(q) := A01(q1) A12(q2) A23(q3) A34(q4)

U65(q) := U65(q) Q A45(q5) A56(q6)

U66(q) := A01(q1) A12(q2) A23(q3) A34(q4)

U66(q) := U66(q) A45(q5) Q A56(q6)

46

Для решения обратной задачи кинематики сформируем матрицу AA и правую часть b линейной системы уравнений, которую будем решать, реализуя последовательные приближения к искомому результату:

AA(q) := augment(leftA(q), rightA(q))

Построим функцию F (n), реализующую приближение к решению обратной задачи кинематики манипулятора за счет n итераций, в процессе

которых решается система шести линейных уравнений с шестью неизвестными и с изменяющимися на каждом шаге матрицей и правой ча-

X<k> ← X<k> + X<k−1>

X

Ñпомощью построенной функции реализуем десять итераций

:= F (10)

Выделим последний столбец полученной таблицы :

:= <10>

47

Перейдем от радиан к угловым градусам:

Проверка показывает хорошее совпадение матриц T v( ) è T 3.

7Занятие седьмое. Основные динамические величины звена манипулятора как твердого тела. Матрица инерции звена манипулятора

К основным динамическим параметрам q-го звена манипулятора отно-

сятся масса и координаты центра масс звена в системе Oq, iq, jq, kq, скреп- ленной с этим звеном, а также компоненты тензора инерции в системе

Ocq, iq, jq, kq, имеющей начало в центре масс звена.

Тензор инерции звена в точке Ocq относительно системы координат

на главной диагонали которой стоят осевые моменты инерции, а вне ее расположены центробежные моменты инерции со знаком минус:

Пусть e единичный направляющий вектор прямой, проходящей через точку O è

e = exi + eyj + ezk.

Тогда осевой момент инерции Je для оси, задаваемой вектором e, равен значению квадратичной формы с симметричной матрицей на координатах ex, ey, ez îðòà e:

Je = Ae2x + Be2y + Ce2z − 2Deyez − 2Eezex − 2F exey.

48

7.1

Тензор инерции звена манипулятора в точке O в системе координат

Найти момент инерции этого звена относительно оси, проходящей через

точку O и имеющей направляющим вектор v = i + j.

Рассмотрим изменение матрицы тензора инерции в точке O ïðè

′ ′ ′. Заметим, переходе от старой системы O, i, j, k к новой системе O, i , j , k

что при этом переходе полюс O остается тем же. Обозначим через S

′ ′ ′, а через матрицу перехода от старой системы O, i, j, k к новой O, i , j , k

′ матрицу тензора инерции в новой системе. Тогда имеем

′ = ST S.

′ ′ ′ всегда можно Направление осей новой системы координат O, i , j , k

выбрать так, чтобы матрица инерции ′ стала диагональной:

Такие оси называют главными осями инерции в точке O, а диагональные элементы ′ называют главными моментами инерции в точке O.

7.2

В условиях задачи 7.1 найти главные моменты инерции в точке O и направление главных осей инерции.

Рассмотрим изменение тензора инерции твердого тела при смене полюса. При этом ограничимся частным случаем, в котором одним из по-

49

Звено манипулятора массой M = 7kg имеет координаты центра масс

Вычислить матрицу тензора инерции в точке O в системе координат

O, i, j, k.

Все динамические параметры звена манипулятора представлены в матрице инерции этого звена:

Матрица инерции звена манипулятора привязана к системе координат, скрепленной с этим звеном, и моменты инерции, присутствующие в элементах этой матрицы, относятся к осям этой системы также, как и координаты центра масс.

7.4

Найти матрицу инерции звена манипулятора в условиях задачи 7.3 в си-

стеме O, i, j, k.

50