Механика робота. Учебное пособие

Пусть Oxyz правая прямоугольная система координат, связанная с геометрической твердой средой ("неподвижная"система), а O′x′y′z′

правая система, связанная с геометрической твердой средой, скрепленной с подвижным объектом ("подвижная"система).

X

Рис. 3: Преобразование точек пространства, сопоставляющее точке M точку M′.

В начальный момент неподвижная и подвижная системы совпадают.

Затем объект с "вмороженной"в его геометрическую твердую среду подвижной системой перемещается. После перемещения система O′x′y′z′

занимает вполне определенное положение относительно Oxyz (ðèñ. 3).

Точка, принадлежащая подвижному объекту, совпадавшая до перемещения с точкой M(x, y, z), после перемещения занимает новое положение M′. Пусть x′, y′, z′ координаты точки M′ относительно Oxyz. Найдем

зависимость между координатами x, y, z исходного положения точки и нового положения точки x′, y′, z′. Для этого применим формулы (7) к координатам точки M′ относительно старых осей Oxyz и новых осей O′x′y′z′. Старые координаты суть x′, y′, z′, а новые x, y, z, ибо точка M′ имеет те же координаты относительно O′x′y′z′, какие точка M имеет

Формула (9) приводит в соответствие каждой точке M пространства вполне определенную точку M′. Такие соответствия называются преобразованиями пространства.

11

В нашем случае это преобразование обратимо, так как det C ≠ 0.

В случае, когда матрица C ортогональна, преобразование называют ортогональным.

2.1

Показать, что ортогональное преобразование сохраняет расстояние между точками.

2.2

В прямоугольной системе координат Oxyz задано ортогональное преоб-

разование формулой (9). Найти координаты образов точек со следующими координатными столбцами

(0, 0, 0)T ; (1, 0, 0)T ; (0, 1, 0)T ; (0, 0, 1)T .

Если матрица C является собственной ортогональной det C = 1, то формула 9 определяет преобразование, называемое движением. Такое преобразование сохраняет не только расстояние, но и ориентацию.

2.3

Является преобразование (9) с матрицей

ортогональным?

2.4

Является ли движением преобразование из задачи (2.3)?

2.5

Какие из следующих матриц преобразования

определяют движение?

12

2.6

Задать ортогональное преобразование в системе координат Oxyz (ðèñ. 4),

′ и базисные векторы ′ ′ ′. переводящее точку O в точку O i, j, k â i , j , k

Z

k

Oj

Y

Рис. 4: Ортогональное преобразование переводит точку O â O′, векторы

â ′ ′ ′, соответственно. i, j, k i , j , k

Z

k

Oj

Y

Xj′O’

Рис. 5: К задаче 2.7.

13

2.7

Задать движение в системе координат Oxyz (рис. 5), переводящее точку

′ и базисные векторы ′ ′

O â O i, j, k â i , j , k.

2.8

Доказать, что два последовательно выполненных движения есть движение.

Пусть движение переводит начало координат в точку с кородинатным столбцом b, а точку с координатным столбцом x в точку с координатным столбцом x′

Формула (11) задает преобразование, обратное к преобразованию (10).

2.9

Доказать, что, если (10) движение, то и (11) движение. Преобразование с единичной матрицей

называется сдвигом или смещением.Преобразование, задаваемое формулой

оставляет неподвижным начало координат.

Рассмотрим рационализацию записи формулы (10), удобную при выполнении последовательности преобразований

14

()

Она имеет четыре строки и четыре столбца. Первый столбец образован

координатами образа первого базисного вектора

i, дополненными нулем. Второй столбец образован координатами образа второго базисного век-

òîðà

j, дополненными нулем. Третий столбец образован координатами

образа третьего базисного вектора

k, дополненными нулем. Четвертый

столбец образован координатами образа начала координат, дополненными единицей.

2.10

Выписать расширенную матрицу преобразования в задаче 2.7.

Ответы и решения к занятию 2

2.1 Квадрат расстояния между точками M1(x1, y1, z1) è M2(x2, y2, z2) равен

Точки M1 è M2 переводятся ортогональным преобразованием в точки

M1′ è M2′ c координатами, вычисляемыми по формулам (9). Квадрат расстояния между точками M1′ (x′1, y1′ , z1′ ) è M2′ (x′2, y2′ , z2′ ) равен

Выражая в правой части последнего равенства координаты точек M1′ è M2′ через координаты прообразов M1 è M2 по формуле (9), получим

В силу ортогональности матрицы C ортогонального преобразования CT C =

E, поэтому ρ2(M1′ , M2′ ) = ρ2(M1, M2).

2.2Искомыми координатными столбцами являются (X, Y, Z)T , (c11, c21, c31)T

(c12, c22, c32)T , (c13, c23, c33)T .

2.3Матрица преобразования, удовлетворяя условию CT C = E, îðòî-

гональна, следовательно ортогонально и преобназование.

2.4 Это преобразование меняет ориентацию, так как det C = −1. Îíî

не является движением.

2.5 Первые три матрицы определяют движение, вторые три меняют ориентацию пространства, сохраняя расстояние.

15

2.8 Пусть движение точке с координатным столбцом x ставит в соответствие точку с координатным столбцом x′ по формуле

x′ = C1x + b1.

Второе движение переводит точку с координатным столбцом x′ в точку с координатным столбцом x′′ òàê, ÷òî

x′′ = C2x′ + b2.

Последовательное выполнение этих преобразований ставит в соответвтвие точке с координатным столбцом x точку с координатным столбцом x′′

по формуле

x′′ = C2C1x + C2b1 + b2.

Нужно доказать, что матрица C = C2C1 является собственной и орто- гональной. Ортогональность следует из равенств

CCT = (C2C1)T C2C1 = C1T C2T C2C1 = E,

àравенcтво определителя единице следует из теоремы алгебры, согласно которой определитель произведения матриц равен произведению определителей

det C = det(C2C1) = det C2 det C1 = 1.

2.9 Èç òîãî, ÷òî C ортогональна и det C = 1, следует, что CT ортогональна и det CT = 1.

2.10

16

3Занятие третье. Матрицы элементарных поворотов. Матрица поворота вокруг произвольной оси. Теорема Эйлера о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку. Матрица композиции поворотов

Рассмотрим преобразования, оставляющие неподвижным начало координат

Формула (16) позволяет при заданной системе координат O, e1, e2, e3 äëÿ точки с координатным столбцом x найти координатный столбец ее образа x′.

Пусть наряду с исходной системой координат O, e1, e2, e3 имеется но-

вая система O, e~1, e~2, e~3 è S матрица перехода от старой системы к новой. Напомним, что столбцы матрицы S образованы координатами

новых базисных векторов в старом базисе. Старые координаты точки связаны с ее новыми координатами формулой

Аналогичная связь существует для старых и новых координат точки, являющейся образом при преобразовании (16)

Подставим (17) и (18) в (16)

~′

Sx = CSx~

и найдем представление преобразования (16) в новом базисе

Таким образом, при переходе к новому базису матрица преобразования умножается справа на матрицу перехода, а слева на матрицу обратную к матрице перехода

векторы ′ ′ ′, соответственно (рис. 6). Найти матрицы этого преоб- i , j , k

17

i (τR) j′

Рис. 6: Ортогональное преобразование отображает векторы

i, j, k â âåê-

òîðû ′ ′ ′ соответственно. Матрицы этого преобразования в базисе i , j , k

Z

Z′

α

Y′

α

Y

X(X′)

Рис. 7: Поворот вокруг оси Ox íà óãîë α.

3.2

Является ли преобразование, рассматриваемое в задаче (3.1), движением?

18

В декартовой системе координат Oxyz рассматривается преобразо-

вание, которое каждой точке пространства ставит в соответствие точку, в которую она переходит при повороте геометрической твердой среды, связанной с Oxyz, íà óãîë α вокруг оси Ox. Матрицу этого преобразова-

ния в системе координат Oxyz обозначим Rx,α. Так как точки, лежащие на оси вращения, неподвижны, образ первого базисного вектора совпадает с ним самим и первый столбец матрицы Rx,α совпадает с первым столбцом единичной матрицы. Координаты образов второго и третьего базисных векторов, заполняющие второй и третий столбец матрицы Rx,α, находим из рис. 7:

Легко проверить, что Rx,αRx,αT = E è det Rx,α = 1. Таким образом это преобразование является движением. Будем его называть повором вокруг оси Ox íà óãîë α.

Выясним, какой вид имеет матрица этого преобразования в системе координат Ox′y′z′(рис. 7). Матрица перехода от старой системы Oxyz ê

новой Ox′y′z′ совпадает с Rx,α

S = Rx,α.

По формуле (20) имеем

~ −1 T

C = S CS = Rx,αRx,αRx,α = ERx,α = Rx,α.

Таким образом матрица преобразования в исходной системе Oxyz и в повернутой Ox′y′z′ íà óãîë α вокруг оси Ox имеет один и тот же вид.

3.3

Найти матрицу поворота Ry,β вокруг оси Oy íà óãîë β.

3.4

Найти матрицу поворота Rz,γ вокруг оси Oz íà óãîë γ.

Будем называть матрицы Rx,α, Ry,β, Rz,γ матрицами элементарных поворотов.

Рассмотрим преобразование, заключающееся в повороте на угол φ вокруг оси, заданной в декартовой системе координат Oxyz компонентами орта rx, ry, rz (рис 8) Наряду с системой Oxyz рассмотрим систему осей Ox1y1z1, получающуюся из Ozyz поворотом ее вокруг оси Ox íà

19

Z

Z1

β

R

Y

O Y

RX

X(X1)

Ðèñ. 8: Îðò îñè Oz2 задан своими координатами rx, ry, rz в системе Oxyz.

óãîë α (рис. 8). Синус и косинус угла α, как видно из рисунка, соответственно равны

Введем в рассмотрение еще одну систему осей Ox2y2z2, получающу- þñÿ èç Ox1y1z1 поворотом последней на угол β вокруг оси Oy1. Èç ðèñ. 8

Матрица перехода от системы Ox1y1z1 к системе Ox2y2z2 имеет вид

Матрица перехода от системы Oxyz к системе Ox2y2z2 находится как произведение (23) и (25)

20