Механика робота. Учебное пособие
.pdfМомент инерции звена относительно заданной оси вычисляется по формуле
( |
) |
7 |
−2 |
0 |
|
1 |
|
0 |
−2 |
5 |
0 |
||||
Je = 1 1 0 |
|
−2 6 |
−2 |
|
1 |
= 9. |
|
7.2 Главные моменты инерции звена в точке O будут собственными числами матрицы , а главные оси будут направлены вдоль собствен-
ных векторов, отвечающих соответственным собственным числам. Вы- числения проведем в пакете Mathcad. Сначала введем матрицу тензора инерции в точке O:
|
7 |
−2 |
0 |
|
0 |
−2 |
5 |
||
:= |
−2 |
6 |
−2 |
|
Эта матрица задает тензор инерции в исходной системе координат, кото-
рую обозначим O, i, j, k. Вычислим ее собственные числа и собственные
векторы:
S =
v := eigenvals( )
9
v = 6 3
S := eigenvecs( )
|
−0.667 |
−0.667 |
0.333 |
|
0.667 |
−0.333 |
0.667 |
||
|
−0.333 |
0.667 |
0.667 |
|
Координаты первого собственного вектора, отвечающего собственному числу 9, стоят в первом столбце матрицы S. Этот вектор имеет единич-
ную длину и задает направление главной оси в точке O, соответствую-
щей главному моменту инерции 9. Обозначим его ′. i
Главная ось, отвечающя главному моменту инерции 6, задается вто-′. Наконец, третий
рыи столбцом матрицы S. Обозначим орт этой оси j
столбец матрицы S определяет третье главное направление, соответству-
ющее главному моменту инерции 3. Обозначим орт этого направления
′. k
Все три столбца матрицы S ортонормированы. Следовательно, матрица S ортогональна. Ортогональность этой матрицы легко подтвердить, умножив ее на транспонированную матрицу:
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
||
SST = |
0 |
1 |
0 |
. |
Найдем матрицу ′ тензора инерции в точке O, задающую его в системе
′ ′ ′. Матрицей перехода от исходного базиса
координат O, i , j , k i, j, k ê
51
новому базису ′ ′ ′
i , j , k будет найденная нами ортогональная матрица S,
поэтому
′ := ST S |
|
||||
|
|
9 |
0 |
0 |
. |
′ = |
0 |
6 |
0 |
||
|
|
0 |
6 |
0 |
|
7.3 Ответ:
o = |
|
0.010 |
|
−0.005 |
−0.003 |
. |
|||
−0.005 |
0.090 |
−0.004 |
|||||||
7.4 Ответ: |
|
−0.003 |
−0.004 |
0.090 |
|
||||
|
0.085 |
0.005 |
0.003 |
0.7 |
. |
||||
|
|||||||||
J = |
0.005 |
0.005 |
0.004 |
0 |
|||||
|
|
0.003 |
0.004 |
0.005 |
0 |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
0.7 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
8Занятие восьмое. Кинетическая и потенциальная энергии манипулятора. Уравнения движения манипулятора. Задание к курсовой работе
Если известна матрица инерции Ji i-го звена и кинематические матрицы
Uik = ∂A[0, i] ∂qk
äëÿ k = 1, 2, . . . , i, то кинетическую энергию Ti i-го звена можно выразить через обобщенные скорости qk формулой
Ti = 12 Sp(∑i ∑i UikJiUilT qkqk),
k=1 l=1
ãäå SpB обозначает след матрицы B, то есть сумму ее диагональных элементов.
8.1
Выписать формулы для кинетических энергий первого и второго звеньев манипулятора.
Потециальную энергию i-го звена манипулятора, работающего в поле тяжести, можно записать в виде
Pi = −MigT A[0, i]r[i, i],
ãäå Mi масса i-го звена,
r[i, i] столбец однородных координат центра масс i-го звена,
gT = (0, 0, −9.8, 1) в случае, когда третья ось базовой системы координат направлена вертикально вверх.
52
8.2
Найти потенциальную энергию материальной точки массой в один килограмм, находящейся на высоте один метр над уровнем земли, принятым за нулевой уровень.
Выпишем функцию Лагранжа L n-звенного манипулятора, равную разности его кинетической T и потенциальной P энергий:
L = |
1 |
n i i |
Sp(UikJiUilT qkqk) + |
n |
MigT A[0, i]r[i, i]. |
|
∑∑∑l |
∑ |
|||
2 |
|
|
|||
i=1 k=1 =1 |
|
i=1 |
|
||
|
|
|
|
||
Уравнения Лагранжа второго рода
()
d |
|
∂L |
− |
∂L |
= Qi, |
dt |
|
∂qi |
∂qi |
i = 1, 2, . . . , n
äëÿ n-звенного манипулятора могут быть представлены в виде
n |
n n |
∑ |
∑∑ |
Dikq•k + |
hikjqkqj + ci = Qi, |
k=1 |
k=1 j=1 |
i = 1, 2, . . . , n,
где приняты следующие обозначения
|
|
σ= |
n |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
UT ), |
|
D |
ik |
= |
Sp(U |
J |
σ |
|
|
|
σk |
|
σi |
||
|
|
|
max(i,k) |
|
|
|
|
|
σ= |
n |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
hikj = |
Sp(UσkjJσUσiT ), |
|||||
max(i,k,j)
∑n
ci = − MσgT Uσir[σ, σ].
σ=i
8.3
Доказать справедливость равенства Dik = Dki.
Ответы и решения к занятию 8
8.1 Ответ:
2T1 = Sp(U11J1U11T q12),
2T2 = Sp(U21J2U21T q12) + Sp(U21J2U22T q22)
53
+Sp(U22J2U21T q2q1) + Sp(U22J2U22T q22).
8.2Ответ: 9.8Дж
8.3Указание: При транспонировании матрицы ее след не меняется.
Задание к курсовой работе Исходные данные
Масса и координаты центра масс q-го звена манипулятора в системе
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oq, iq, jq, kq, скрепленной с этим звеном, а также компоненты тензора |
|||||||||||||
инерции в системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Ocq, iq, jq, kq, имеющей начало с центре масс звена, |
||||||||
заданы в следующей таблице. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Jxxc |
Jyyc |
|
Jzzc |
|
Jxyc |
Jxzc |
Jyzc |
M |
(x, y, z) |
|
|
|
çâ. |
|
kgm2 |
kgm2 |
kgm2 |
|
kgm2 |
kgm2 |
kgm2 |
kg |
m |
|
|
|
1 |
|
0.05 |
0.12 |
0.15 |
|
0 |
0 |
0 |
20 |
(0, 0, 0) |
|
|
|
2 |
|
0.2 |
0.4 |
|
0.5 |
|
0 |
0 |
0 |
15 |
(-0.25,0,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0.1 |
0.2 |
|
0.25 |
|
0 |
0 |
0 |
10 |
(0,0,0.25) |
|
|
4 |
|
0.1 |
0.1 |
|
0.05 |
|
0 |
0 |
0 |
8 |
(0,0.25,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
0.03 |
0.03 |
0.02 |
|
0 |
0 |
0 |
5 |
(0,0,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
0.01 |
0.02 |
0.02 |
|
D |
E |
F |
2+5 |
(a,b,c) |
|
|
Параметры шестого звена определяются номером варианта задания и приведены в следующей таблице.
• варианта |
D |
E |
F |
a |
b |
c |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0.05 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0.1 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0.1 |
6 |
0.005 |
0.003 |
0.004 |
0.05 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0.005 |
0.003 |
0.004 |
0.1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0.005 |
0.003 |
0.004 |
0 |
0 |
0.05 |
9 |
0.005 |
0.003 |
0.004 |
0 |
0 |
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0.005 |
0.003 |
0.004 |
0 |
0 |
0 |
Кинематические параметры звеньев определяются номером варианта и приведены в пятом занятии.
Постановка задачи
1. Сформировать последовательность согласованных систем координат, связанных со звеньями, на основании таблицы кинематических параметров, полагая все сочленения звеньев вращательными. Изобразить их на чертеже вместе с кинематической схемой.
54
2.Составить расширенные матрицы перехода к системам координат, связанным со звениями, и матрицу манипулятора.
3.Найти координаты начала и направляющие косинусы осей системы
O6x6y6z6 ïðè θ1 = 135o, θ2 = 45o, θ3 − 45o, θ4 = 45o, θ5 = 45o, θ6 = 45o.
При заданных значениях обобщенных координат манипулятора столбец координат точки O6 обозначим p6(1), а ориентацию схвата R6(1).
4. Найти координаты начала и направляющие косинусы осей системы
O6x6y6z6 ïðè θ1 = 145o, θ2 = 55o, θ3 − 55o, θ4 = 55o, θ5 = 55o, θ6 = 55o.
При заданных значениях обобщенных координат манипулятора столбец координат точки O6 обозначим p6(2), а ориентацию схвата R6(2).
5.Найти в базовой системе координат O0x0y0z0 координаты p6(1.5) середины отрезка, соединяющего точки p6(1) è p6(2).
6.Решить обратную задачу кинематики для схвата, имеющего ориентацию R6(2) и координатный столбец своего центра p6(1.5). Решение
обозначим θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6.
7. Найти координаты начала и направляющие косинусы осей системы
O6x6y6z6 ïðè θ1 = θ1 − 10o, θ2 = θ2 − 10o, θ3 = θ3, θ4 = θ4, θ5 = θ5,
θ6 |
= θ6 для нечетных вариантов задания и при θ1 = θ1 − 10o, θ2 = θ2, |
θ3 |
= θ3 − 10o, θ4 = θ4, θ5 = θ5, θ6 = θ6 для четных вариантов задания. |
8. Спланировать сглаженную траекторию по следующим данным для
нечетных вариантов задания. Начальная точка (скорость равна нулю):
θ1(0) = θ1, θ2(0) = θ2. Точка ухода: θ1(0.5) = θ1 − 1o, θ2(0.5) = θ2 − 1o. Точка подхода:θ1(3.5) = θ1 −9o, θ2(3.5) = θ2 −9o. Конечная точка: θ1(4) = θ1 − 10o, θ2(4) = θ2 − 10o (скорость нулевая). Остальные координаты
заморожены.
Спланировать сглаженную траекторию по следующим данным для
четных вариантов задания. Начальная точка (скорость равна нулю):
θ1(0) = θ1, θ3(0) = θ3. Точка ухода: θ1(0.5) = θ1 − 1o, θ3(0.5) = θ3 − 1o. Точка подхода:θ1(3.5) = θ1 − 9o, θ3(3.5) = θ3 − 9o. Конечная точка: θ1(4) = θ1 − 10o, θ3(4) = θ3 − 10o (скорость нулевая). Остальные ко-
ординаты заморожены.
9. Составить уравнения Лагранжа и вычислить обобщенные силы в первом и втором (третьем) сочленениях, реализующие спланированную в пункте восемь траекторию.
55
Содержание
Занятие первое. Базовая система координат и система, скрепленная с объектом манипулирования. Преобразование координат. Ортогональные матрицы.
Занятие второе. Ортогональные преобразования и движения. Занятие третье. Матрицы элементарных поворотов. Матрица пово-
рота вокруг произвольной оси. Теорема Эйлера о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку. Матрица композиции поворотов.
Занятие четвертое. Расширенные матрицы преобразований. Кинематические параметры звеньев манипулятора и их сочленений. Системы координат Денавита-Хартенберга.
Занятие пятое. Контрольная работа •1.
Занятие шестое. Прямая и обратная задачи кинематики манипулятора.
Занятие седьмое. Основные динамические величины звена манипулятора как твердого тела. Матрица инерции звена манипулятора.
Занятие восьмое. Кинетическая и потенциалтная энергии манипулятора. Уравнения движения манипулятора. Задание к курсовой работе.
56