Механика робота. Учебное пособие

Рис. 13: К выбору системы координат, связанной с первым звеном, при параллельности осей Oz0 è O1z1.

4.8 a).

00 0 1

4.9à). a1 = l2, α1 = 0, d1 = l1, ϑ1 = 900. b). a1 = l2, α1 = 1800, d1 = l3, ϑ1 = 900.

4.10Правильны первый и второй варианты. В третьем варианте ось O6z6 не совпадает с направлением движения губок. В четвертом вари-

àíòå îñü O6z6 не совпадает с осью O5z5.

5Занятие пятое. Контрольная работа •1

По заданной таблице кинематических параметров звеньев манипулятора изобразить связанные со звеньями системы координат и кинематиче- скую схему, полагая все сочленения звеньев вращательными.

31

32

33

34

35

36

5.21 Вариант •21

Варианты с номерами от 11 до 20 повторяют варианты с номерами от 1 до 10, соответственно, с одним изменением: кинематический параметр второго звена d2 равен нулю ( d2 = 0 ).

Варианты с номерами от 21 до 30 повторяют варианты с номерами от 1 до 10, соответственно, с одним изменением: кинематический параметр третьего звена a3, сохраняя модуль, меняет знак ( a3 = −0.02 ).

6Занятие шестое. Прямая и обратная задачи кинематики манипулятора

Расширенная матрица перехода A[i − 1, i] от системы Oi−1xi−1yi−1zi−1, скрепленной с (i − 1)-ым звеном, к системе Oixiyizi, скрепленной с i-ым звеном, может быть задана произведением трех матриц, рассмотренных на четвертом занятии

A[i − 1, i] = Rot(z, θi)T rans(ai, 0, di)Rot(x, αi)

Эти матрицы Rot(z, θi), T rans(ai, 0, di) è Rot(x, αi) однозначно определяются кинематическими параметрами θi, ai, di, αi i-ãî звена:

37

6.1

Составить расширенные матрицы перехода A[i − 1, i](i = 1, ..., 6) è T = A[0, 6] для шестизвенного манипулятора с параметрами варианта 7 из занятия 5.

6.2

Найти координаты начала и направляющие косинусы осей системы O6x6y6z6 в условиях задачи 6.1 при θ1 = 1350, θ2 = 450, θ3 = −450, θ4 = 450, θ5 = 450, θ6 = 450.

6.3

Найти координаты начала и направляющие косинусы осей системы O6x6y6z6 в условиях задачи 6.1 при θ1 = 1450, θ2 = 550, θ3 = −550, θ4 = 450, θ5 = 550, θ6 = 550.

6.4

Обозначим точки пространства, в которых находится центр схвата манипулятора в задачах 6.2 и 6.3, через M и N соответственно. Составить матрицу шестизвенного манипулятора, у которого центр схвата находится в середине отрезка, соединяющего точки M и N, а ориентация схвата такая же, как в задаче 6.3.

Обозначим столбец однородных координат точки, неподвижной в системе Oixiyizi, скрепленной с i-ым звеном, через

r[i, i] = (xi, yi, zi, 1)T .

Столбец однородных координат r[0, i] этой же точки в базовой системе Ox0y0z0 определяется с помощью расширенной матрицы A[0, i] перехода от базовой системы к системе координат i-го звена из равенства

r[0, i] = A[0, i]r[i, i].

Продифференцируем по времени обе части этого равенства и учтем, что столбец r[i, i] с течением времени не меняется:

v[0, i] = ∑j=i ∂A[0, i] q_jr[i, i].

j=1 ∂qj

Матрица перехода A[0, i] есть произведение матриц A[j − 1, j] äëÿ j = 1, 2...i

A[0, i] = A[0, 1]A[1, 2]...A[i − 1, i].

39

Åñëè j-ое сочленение звеньев вращательное, то с течением времени из-

меняется угол θj. В этом случае обозначим его qj. Матрица A[j − 1, j] запишется в виде

Åñëè j-ое сочленение звеньев поступательное, то с течением времени изменяется параметр dj. В этом случае обозначим его qj. Обычно для поступательного сочленения aj = 0. Матрица A[j−1, j] запишется в виде

Дифференцируя матрицу перехода от Oj−1xj−1yj−1zj−1 ê Ojxjyjzj ïî обобщенной координате qj, получим матрицу

у которой первая строка совпадает со второй строкой исходной матрицы, умноженной на -1, вторая строка совпадает с первой исходной матрицы, а третья и четвертая строки нулевые. Результат дифференцирования, таким образом, совпадает с результатом умножения исходной матрицы слева на матрицу

поэтому для вращательного j-го сочленения

∂A[j − 1, j] = QθA[j − 1, j]. ∂qj

Теперь продифференцируем по обобщенной координате qj матрицу пере- хода, соответствующую поступательному сочленению. Результатом бу-

дет матрица

40