Механика робота. Учебное пособие

Рассматриваемый нами поворот на угол φ вокруг оси с ортом r в системе

координат Ox2y2z2 является элементарным поворотом вокруг оси Oz2 è его матрица в этой системе имеет вид

Матрицу этого поворота в системе Oxyz найдем по формуле (20)

Rr,φ = SRz2,φST .

При этом мы учли, что матрица перехода от системы координат Ox2y2z2 ê Oxyz получается транспонированием матрицы (26) в силу ортогональ-

ности последней. Перемножая матрицы и учитывая (22) и (24), получим матрицу Rr,φ

При записи (27) для краткости обозначено

1 − cos φ = vφ.

3.5

Найти матрицу преобразования в декартовой системе Oxyz, состоящего

íà óãîë φ = 23π . Поворот совершается против часовой стрелки при набюдении с конца орта.

Согласно теореме Эйлера о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, любое движение

является вращением на некоторый угол φ вокруг некоторой оси.

Для того, чтобы найти орт оси вращения, можно найти собственный вектор матрицы C, отвечающий собственному числу λ = 1, и нормиро-

Для нахождения угла поворота φ можно выбрать ортонормированный базис s1, s2, s3, в котором координаты орта s3 в исходном базисе задаются столбцом s~. Таким образом, орт s3 лежит на оси вращения.

21

Матрица перехода от исходного базиса

i, j, k, в котором задано отоб-

ражение (28), к ортонормированному базису s1, s2, s3 образована коор- динатными столбцами векторов нового базиса в старом

S = {s1, s2, s3}.

Матрица преобразования в новом базизе будет иметь вид

Çíàÿ cos φ è sin φ, находим φ.

Так как след матрицы не изменяется при пеобразовании подобия

Обратим внимание на то, что (31) не позволяет определить знак угла φ.

3.6

Для вращения x′ = Cx, задаваемого матрицей

0 0 1

C = 1 0 0 , 0 1 0

определить ось вращения и угол поворота φ.

3.7

Решить задачу (3.6) для собственной ортогальной матрицы

Если ортогональная матрица C1 в некоторой декартовой системе координат задает преобразование вращения и ортогональная матрица C2 в той же системе задает другое вращение, то матрица результирующего поворота, осуществляемого в результате последовательного выполнения сначала первого, а затем второго вращения, есть произведение

22

3.8

Показать, что результирующий поворот (32) зависит от порядка, в котором выполняются вращения, композицией которых он является.

3.9

Пусть C матрица вращения, переводящего систему осей Oxyz â Ox′y′z′.

Найти матрицу результирующего поворота при последовательном выполнении этого вращения и последующего поворота вокруг оси Ox′ íà

óãîë α.

Результат решения задачи (3.9) можно обобщить в следующем пра-

виле построения матрицы последовательности поворотов.

1. Если подвижная система Ox′y′z′ совершает поворот вокруг одной

из своих основных осей, матрицу предыдущего результирующего поворота нужно умножить справа на соответствующую матрицу элементарного

поворота.

2. Если подвижная система Ox′y′z′ совершает поворот вокруг одной из осей системы Oxyz, матрицу предыдущего результирующего поворо-

та нужно умножить слева на соответствующую матрицу элементарного поворота.

3.10

В исходном положении оси подвижной системы Ox′y′z′ совпадают с ося- ìè Oxyz. Сначала осуществляется поворот вокруг оси Ox íà óãîë α, а затем поворот на угол ϑ вокруг оси Oz′. Найти матрицу результирую-

щего поворота.

Ответы и решения к занятию 3

3.1 Столбцы матрицы преобразования в базисе e1, e2, e3 образованы координатами образов этих векторов e1′, e2′, e3′ в этом базисе. Из рис. 6

Матрица перехода S от старого базиса e1, e2, e3 к новому базису e~1, e~2, e~3 образована координатами векторов нового базиса в старом, расположенными по столбцам. Из рис. 6 находим

23

В соответствии с (20) матрица преобразования в новом базисе имеет вид

3.2 Это ортогональное преобразование сохраняет ориентацию, в чем можно убедиться по рис. 6 или вычислив det C, и, следовательно, явля-

ется движением. 3.3

3.6 В соответствии с (29) ищем собственный вектор матрицы C, лежащий на оси вращения, из системы трех уравнений

01 −1

Одним из ненулевых решений этой системы является столбец s = (1, 1, 1)T ,

му условию удовлетворяет ненулевой столбец h = (1, −1, 0)T . Вычислим

24

3.7φ = 900, s~ = (− 22 , 0, 22 )T .

3.8Умножение матриц некоммутативно C2C1 ≠ C1C2.

3.9Матрица поворота на угол α вокруг оси Ox′ в системе Ox′y′z′

имеет вид (21). Обозначим ее Rx′ ,α. Матрица этого преобразования в системе Oxyz в соответствии с (20) имеет вид R = CRx′ ,αCT , òàê êàê матрица перехода от Ox′y′z′ ê Oxyz равна CT . Матрицу результиру-

ющего поворота в соответствии с порядком выполнения составляющих вращений находим по (32):

RC = CRx′ ,αCT C = CRx′ ,α.

3.10

4Занятие четвертое. Расширенные матрицы преобразований. Кинематические параметры звеньев манипулятора и их сочленений. Системы координат Денавита-Хартенберга

На втором занятии рассматривалась расширенная матрица преобразования (15). Мы будем применять следующие обозначения для расширенных матриц элементарных поворотов вокруг координатных осей:

()

()

()

а для расширенной матрицы сдвига на вектор с координатами a, b, c обозначение:

Правило построения матрицы последовательности поворотов, рассмотренное на третьем занятии, можно следующим образом обобщить

25

на движения, задаваемые выше приведенными расширенными матрица-

ìè.

1. Если подвижная система O′x′y′z′

или сдвиг) относительно одной из своих осей, расширенную матрицу предыдущего результирующего преобразования нужно умножить справа на соответствующую расширенную матрицу элементарного поворота

или сдвига.

2. Если подвижная система O′x′y′z′

или сдвиг) относительно осей системы Oxyz, расширенную матрицу преды-

дущего результирующего преобразования нужно умножить слева на соответствующую расширенную матрицу поворота или сдвига.

4.1

Определить расширенную матрицу преобразования в Oxyz, если преобразование есть композиция следующих движений: поворот на угол α вокруг оси Ox, сдвиги на a единиц вдоль оси Ox è íà d единиц вдоль оси Oz, поворот на угол ϑ вокруг оси Oz.

4.2

Расширенная матрица, задающая движение в системе Oxyz, имеет вид

Найти расширенную матрицу обратного преобразования.

Звенья, из которых составлен механический манипулятор, будем счи- тать абсолютно твердыми телами. Звенья соединены вращательными или поступательными сочленениями. Нумерацию звеньев и сочленений будем вести по возрастанию от стойки к схвату. Звено нуль это стойка, с которой скреплена базовая система координат O0x0y0z0. Сочленение с номером один это сочленение первого звена и опорной стойки. Сочленение с номером i это сочленение i-ãî è i − 1-го звеньев.

Ñ i-ым звеном манипулятора свяжем четыре параметра ai, αi, di, ϑi, которые будем называть кинематическими параметрами i-го звена. Пер- вые два параметра ai, αi характеризуют конструкцию звена. Их называют длиной звена и углом скрутки звена. Вторые два параметра di, ϑi характеризуют положение i-го звена относительно (i − 1)-го звена. Их

называют расстоянием и углом между звеньями (рис. 9). Точное определение этих величин и правило приписывания им знаков связано с процедурой формирования последовательности согласованных систем координат, скрепленных со звеньями манипулятора.

26

Рис. 9: Кинематические параметры ai, αi, di, θi i-ãî звена манипулятора.

Системы координат Денавита-Хартенберга формируются в следующей последовательности.

1.Сформировать базовую систему координат O0x0y0z0, связанную со стойкой. Ось O0z0 направить вдоль оси первого сочленения. Выбор осей O0x0 è o0y0 произволен.

2.Направить Oizi вдоль оси движения (вращательного или поступательного) (i + 1)-го сочленения.

3.Расположить начало i-ой системы координат в точке третьей i-îé

6. Сформировать систему координат схвата. Начало On обычно по- мещают в центр схвата, ось Onzn вдоль оси On−1zn−1, îñü Onyn â направлении движения губок схвата. Ось Onxn дополняет систему осей до правой.

При таком построении согласованных систем координат кинематиче-

ские параметры звена определяются следующим образом: ai проекция вектора Oi−1Oi íà îñü Oixi,

27

чтобы совместить с xi.

4.3

Найти расширенную матрицу перехода от системы координат, связанной с (i − 1)-ым звеном, к системе, связанной с i-ым звеном, при заданных

ai, αi, di, ϑi.

4.4

На рис. 10 представлены четыре варианта выбора базовой системы координат. Какие из них являются правильными?

Рис. 10: К выбору базовой системы координат.

4.5

На рис. 11 представлены четыре варианта выбора системы координат, скрепленной с первым звеном. Какие из них являются правильными?

4.6

Какие из четырех вариантов выбора системы O1x1y1z1, представленных на рис. 12, являются правильными?

28

Рис. 11: К выбору системы 01x1y1z1 при заданной базовой системе

Ox0y0z0.

4.7

Определить кинематические параметры первого звена по рис. 11 для первого и второго вариантов.

4.8

Найти расширенную матрицу перехода от системы координат O0x0y0z0 к системе O1x1y1z1 по рис. 11 для первого и второго вариантов.

4.9

Определить кинематические параметры первого звена по рис. 11 для первого и третьего вариантов.

4.10

Какие из четырех вариантов формирования системы координат схвата, представленных на рис. 13, являются правильными?

Ответы и решения к занятию 4

4.1

29

Рис. 12: К выбору системы координат, связанной с первым звеном, при параллельности осей Oz0 è O1z1.

4.2 Если матрицу T представить блочной матрицей

то обратную матрицу с учетом ортогональности C можно записать в

4.3 См. условие и ответ задачи (4.1).

4.4 Требования к формированию базовой системы координат нарушены в третьем варианте. Здесь ось O0z0 не направлена вдоль оси первого сочленения. Остальные три варианта приемлемы.

4.5 В третьем варианте начало координат не расположено в точке оси O1z1, наименее удаленной от оси O0z0. В четвертом варианте ось O1x1 не является нормалью к плоскости, натянутой на векторы z0 è z1. Первые два варианта приемлемы.

4.6При параллельности осей O0z0 è O1z1 îñü O1x1 должна лежать с плоскости этих параллельных осей. Это условие нарушено в четвертом варианте. Первые три варианта приемлемы.

4.7à). a1 = 0, α1 = −900, d1 = l, ϑ1 = 0. b). a1 = 0, α1 = 900, d1 =

l, ϑ1 = 180.

30