Метрология. Неопределённость и калибровка средств измерений. Учебное пособие

т. е. в этом частном случае относительная суммарная дисперсия оценки y просто равна сумме относительных дисперсий входных оценок xi.

Если какие-либо входные величины Xi зависимы (коррелированны), то эту корреляцию необходимо принимать в расчет. В этом случае формула для суммарной дисперсии результата измерения будет иметь вид

где xi и xj являются оценками, соответственно, Xi и Xj, a u(xi,xj) = u(xj,xi) – оценка ковариации xi и xj.

Степень корреляции между xi и xj характеризуется оценкой коэффициента корреляции

Примечание. В частном случае, когда все входные величины коррелированны с коэффициентами корреляции, равными +1, формула (3.15) упрощается до вида

При этом суммарная стандартная неопределенность uc(y) будет представлять собой просто сумму составляющих неопределенности выходной величины, каждое из которых обусловлено неопределенностью соответствующей входной оценки xi. (Эту сумму не следует путать с похожим по виду общим законом суммирования погрешностей – стандартные неопределенности не являются погрешностями).

52

Пример. Десять резисторов, номинальным сопротивлением (Ri) 1000 Ом каждый, калибруют методом сличения с эталоном того же номинального сопротивления (Rs) 1000 Ом (неопределенностью сличения в данном примере пренебрегают). Стандартная неопределенность эталона (u(Rs)) в 100 мОм указана в его свидетельстве о сертификации. Резисторы соединяют последовательно проводами с пренебрежимо малым сопротивлением для получения эталона сопротивления Rref номиналом 10 кОм. Таким образом

10

Rref = f (Ri )= ∑Ri . i =1

Поскольку для каждой пары резисторов r(xi,xj) = r(xj,xi) = +1, то для каждого резистора

Отсюда значение суммарной стандартной неопределенности

полученный с помощью формулы (3.10), будет неверен, поскольку он не учитывает корреляцию между сопротивлениями десяти резисторов, обусловленную процедурой калибровки эталона.

__ __

Обозначим через q и p средние арифметические значения, являющиеся

оценками математических ожиданий μq и μp двух случайных величин q и p, полученных из n независимых пар одновременных наблюдений в одинаковых

где qk и pk – отдельные наблюдения величин q и p.

Если в действительности величины q и p некоррелированны, то оценка, полученная по формуле (3.16), будет близка к нулю. Таким образом, оценку ко-

__ __

вариации двух коррелированных входных величин Xi и Xj с оценками X i и X j ,

полученными из независимых пар повторных одновременных наблюдений, рассчитывают по формуле

53

Дополнительной мерой неопределенности является расширенная неопределенность, обозначаемая символом U. Расширенную неопределенность получают умножением суммарной стандартной неопределенности (uc(y)) на коэффициент охвата (k)

При этом результат измерения удобно выражать в виде Y = y ± U, означающем, что лучшей оценкой значения, приписываемого измеряемой величине Y, является y и что интервал от y - U до y + U содержит, как можно ожидать, большую часть распределения значений, которые можно с достаточным основанием приписать Y. Другой формой записи такого интервала будет y - U ≤ y ≤ y + U.

Термины «доверительный интервал» и «доверительная вероятность», нашедшие применение в математической статистике и имеющие точную формулировку, могут быть применены к интервалу, определяемому через U, только при выполнении определенных условий. В частности, все составляющие неопределенности, входящие в uc(y), должны представлять собой оценки по типу А. Будем понимать доверительный интервал как параметр, характеризующий интервал, в который попадает результат измерения и который содержит большую часть распределения вероятностей (p), связанного с результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью. При этом p является вероятностью охвата или уровнем доверия для этого интервала.

Значение коэффициента охвата (k) выбирают на основе уровня доверия, требуемого для интервала от y - U до y + U. Обычно k принимает значения от 2 до 3, однако в особых случаях значение может находиться вне этих границ. Обоснованный выбор значения k требует большого опыта и четкого понимания,

вкаких целях будет использован результат измерения.

Видеале было бы желательно иметь возможность определить значение k

иинтервал y ± U = y ± k·uc(y), отвечающие выбранному уровню доверия, например, 95 % или 99 %, и, наоборот, для выбранного значения и связанного с ним интервала определить соответствующий уровень доверия. Однако это не всегда легко реализовать на практике, поскольку требует точного знания вида распределения вероятностей, характеризуемого результатом измерения y и его

суммарной стандартной неопределенностью uc(y). Хотя эти параметры очень значимы, знания их недостаточно для определения интервалов с заданными уровнями доверия.

Рекомендация международной организации мер и весов не устанавливает способ определения соотношения между k и p. Однако зачастую можно признать допустимым упрощенный подход, когда распределение вероятностей с

оценками его параметров y и uc(y) близко к нормальному, а число эффективных степеней свободы при оценивании uc(y) достаточно велико. В этом часто встречающемся на практике случае можно принять значение k = 2, что соответствует интервалу с уровнем доверия, близким к 95 %, и значение k = 3 – интервалу с уровнем доверия, близким к 99 %.

55

3.5.Представление формы оценивания неопределенности результата измерения

Как правило, по мере продвижения вверх по иерархии измерений требуется все больше информации о том, как были получены результат измерений и его неопределенность. Однако на любом уровне иерархии, будь то измерения в торговле или проверка выполнения нормативных требований, технические измерения в промышленности, измерения на низших ступенях поверочной схемы, в научно-технических и академических исследованиях, при создании промышленных первичных эталонов, в национальных метрологических институтах (лабораториях), должна быть доступна вся информация, необходимая для проверки качества выполненных измерений. Разница заключается в том, что на низших уровнях иерархии большую часть необходимой информации можно получить из отчетов о калибровке и испытаниях, методик испытаний, сертификатов калибровки, руководств по эксплуатации, международных и национальных стандартов, местных законодательных актов.

Когда информация об измерении, включая способ оценивания неопределенности, дается ссылкой на соответствующие документы (например, сертификат, составленный по результатам калибровки), крайне важно, чтобы эти документы поддерживались на современном уровне и соответствовали принятой на данный момент методологии измерений.

Впромышленности и торговле каждый день проводится огромное число измерений без подробных описаний неопределенности. Однако многие из них выполняют с применением приборов, подлежащих периодической поверке или калибровке. Если известно, что приборы удовлетворяют техническим условиям или распространяющимся на них нормативным документам, то за неопределенности их показаний можно принять ту, что указана в этих документах.

Хотя на практике объем информации, необходимый для представления результата измерения, зависит от его предполагаемого использования, общий принцип остается неизменным – лучше, чтобы объем информации был избыточным, чем недостаточным.

Вчастности, следует:

1) ясно описать методы, использованные для получения результата измерения и его неопределенности из экспериментальных наблюдений и иной доступной информации;

2) перечислить все составляющие неопределенности и подробно описать, как они были оценены;

3) представить анализ данных таким образом, чтобы можно было легко проследить все этапы вычислений и, при необходимости, их повторить;

4) указать все поправки и константы, использованные при анализе, и источники их получения.

При выполнении вышеуказанных требований следует задаваться вопросом, достаточен ли объем представляемой информации и достаточно ли ясно она изложена, чтобы приводимый результат впоследствии мог быть скорректирован в случае поступления новых данных.

56

Если мерой неопределенности результата измерения является суммарная стандартная неопределенность (uc(y)), то при представлении результата измерения следует:

1) дать подробное определение измеряемой величины Y;

2) привести оценку y измеряемой величины Y и суммарной стандартной неопределенности uc(y) с указанием единиц измерений;

3) при необходимости указать относительную суммарную стандартную неопределенность uc y(y), y ≠ 0;

4) дать подробную информацию о входных величинах и функциональной зависимости между ними и выходной величиной.

Если есть основания предполагать, что при использовании результатов измерения другими лицами им может потребоваться дополнительная информация об измерении, например, для расчета коэффициента охвата или лучшего понимания условий измерения, то дополнительно рекомендуется указывать:

– оценку числа эффективных степеней свободы (νef);

– суммарные стандартные неопределенности отдельно для оценок по типу А (ucA(y)) и по типу В (ucB(y)), а также число эффективных степеней свобо-

ды, соответственно, νefA и νefB.

При использовании uc(y) в качестве меры неопределенности измерения предпочтительно использовать одну из четырех форм записи результатов измерения. В нижеследующих примерах представления результата измерения предполагается, что измеряемой величиной является масса эталона (ms) с номинальным значением 100 г. Если в документе, где указывается результат, величина uc(y) уже была ранее определена, то слова «суммарная стандартная неопределенность», написанные в скобках, можно опустить.

1. ms = 100,021 47 г (суммарная стандартная неопределенность), uc = 0,35

мг.

2.ms = 100,021 47(35) г, где число в скобках (суммарная стандартная неопределенность) uc двух младших разрядов результата измерения.

3.ms = 100,021 47(0,000 35) г, где число в скобках (суммарная стандартная неопределенность) uc в тех же единицах измерения (г).

4.ms = (100,021 47 ± 0,000 35) г, где число, стоящее после знака «±», (суммарная стандартная неопределенность) uc (а не доверительный интервал).

Примечание. Представления с использованием знака «±» следует, по воз-

можности, избегать, поскольку его традиционно используют для указания интервала, соответствующего некоторому высокому уровню доверия, и поэтому число, следующее за этим знаком, легко спутать с расширенной неопределенностью. Возможность неправильного истолкования не исключает даже пояснительный текст в скобках. По сути, в данном случае запись Y = y ± uc(y) может быть интерпретирована как указание расширенной неопределенности с коэффициентом охвата k = 1 или интервала y - uc(y) ≤ Y ≤ y + uc(y) с определенным уровнем доверия p (по умолчанию связанного с нормальным распределением). Однако употребление uc(y) в таком контексте (с малым значением уровня доверия) малооправдано.

57

Если мерой неопределенности результата измерения является расширенная неопределенность (U = k·uc(y)), то при представлении результата измерения следует:

1) дать подробное определение измеряемой величины Y;

2) указать результат измерения в виде Y = y ± U с указанием единиц измерений для y и U;

3) при необходимости указать относительную расширенную неопределенность Uy , y ≠ 0;

4) указать использованное для получения расширенной неопределенности значение k (или, для удобства пользователей результата измерения, привести и

k, и uc5(y)));указать приблизительный уровень доверия для интервала y ± U и пояснить, как он был определен;

6) дать подробную информацию о входных величинах и функциональной зависимости между ними и выходной величиной или сослаться на соответствующий опубликованный документ.

При использовании U в качестве меры неопределенности измерения предпочтительно для наибольшей ясности использовать следующую форму записи результата измерения (в нижеследующем примере слова в скобкахдля краткости можно опустить, если перед этим в документе, представляющем результаты измерения, U, uc, и k уже были определены): ms = (100,021 47 ± 0,000 79) г, где число, стоящее после знака «±» расширенная неопределенность U = k·uc(y), полученная для суммарной стандартной неопределенности uc = 35 мг и коэфф и- циента охвата k = 2,26, соответствующего уровню доверия 95 % для t-распре- деления с 9 степенями свободы (ν).

Если в процессе измерения определяют более одной измеряемой величины, т. е. получают две или более выходных оценок yi, то в дополнение к значениям yi и uc(yi) следует указывать элементы ковариационной матрицы (u(yi,yj)) или элементы матрицы коэффициентов корреляции r(yi,yj) (или и те, и другие).

Оценки y и стандартной неопределенности uc(y) или расширенной неопределенности U не следует приводить с избыточной точностью. Обычно для uc(y) и U, а также для стандартных неопределенностей u(xi) входных оценок xi достаточно указывать две значащие цифры, хотя в некоторых случаях может оказаться необходимым сохранить больше значащих цифр, чтобы избежать погрешностей округления в последующих расчетах. При сообщении окончательных результатов иногда может быть уместным округление к большему.

Например, uc(y) = 10,47 мОм можно округлить до 11 мОм. Однако и здесь следует руководствоваться, в первую очередь, здравым смыслом. Так, в случае расчетного значения u(xi) = 28,05 кГц следует указывать u(xi) = 28 кГц. Входные и выходные оценки следует округлять таким образом, чтобы они соответствовали представлениям соответствующих неопределенностей. Например, если

58

y = 10,057 62 Ом и uc(y) = 27 мОм, то результат измерения y следует указывать как 10,058 Ом. При представлении коэффициента корреляции, близкого по абсолютному значению к единице, следует указывать три значащие цифры.

При подробном описании того, как был получен результат измерения и его неопределенность, необходимо указывать:

1) значение каждой входной оценки xi и ее стандартной неопределенности u(xi), а также то, как они были получены;

2) оценки ковариаций или коэффициентов корреляции для всех коррелированных входных величин, а также методы, использованные для получения этих оценок;

3) число степеней свободы для стандартной неопределенности каждой входной оценки, а также то, как это число степеней свободы было определено; 4) функциональную зависимость Y = f(X1,X2,…,XN). При необходимости могут быть приведены частные производные (коэффициенты чувствительно-

сти) ∂∂xfi . Рекомендуется всегда указывать значения коэффициентов чувстви-

тельности, полученные экспериментальным путем.

Примечание. Поскольку функциональная зависимость f может быть весьма сложной или не допускать представления в явном виде, а только в виде расчетного алгоритма, то не всегда возможно указать вид этой зависимости и значения ее производных. В таких случаях функциональную зависимость f следует описать в самых общих чертах или дать ссылку на компьютерную программу, реализующую алгоритм расчета. В любом случае приводимая информация должна быть достаточной, чтобы понять, каким образом были получены оценка y измеряемой величины Y и ее суммарная стандартная неопределенность uc(y).

3.6.Описание процедуры оценивания и представления неопределенности результата измерения

Процедуру оценивания и представления неопределенности измерения можно представить в виде последовательности следующих этапов:

1. Выражают связь между измеряемой величинойY и входными величинами Xi, от которых она зависит, в виде функциональной зависимости Y = f(X1,X2,…,XN). Функция f должна содержать все величины, включая поправки и поправочные коэффициенты, которые могут существенно повлиять на неопределенность результата измерения.

2.Получают оценку xi входной величины Xi либо на основе статистического анализа ряда наблюдений, либо другими способами.

3.Оценивают стандартную неопределенность u(xi) каждой входной оценки xi. Для входной оценки, полученной из статистического анализа ряда наблюдений, оценку стандартной неопределенности получают согласно оцениванию стандартной неопределенности типа А. Для входной оценки, полученной другими способами, оценку стандартной неопределенности получают согласно оцениванию стандартной неопределенности типа В.

59

4.Если среди входных величин есть коррелированные между собой, то оценивают их ковариации.

5.Рассчитывают результат измерения, т. е. находят оценку y измеряемой величины по функциональной зависимости f, используя в качестве аргументов Xi оценки xi, полученные на этапе 2.

6.Определяют суммарную стандартную неопределенность uc(y) результата измерения y по стандартным неопределенностям и ковариациям входных оценок. Если в результате измерения определяют оценки двух и более выходных величин, то рассчитывают их ковариации.

7.Если требуется знать расширенную неопределенность U для определения интервала от y - U до y + U, в пределах которого, предположительно, находится большая часть распределения значений, которые можно с достаточным основанием приписать измеряемой величине Y, то суммарную стандартную не-

определенность uc(y) умножают на коэффициент охвата k, обычно принимающий значения в диапазоне от 2 до 3, чтобы получить значение U по формуле

U = k·uc(y). Значение k выбирают исходя из желаемого уровня доверия для интервала от y - U до y + U.

8.Представляют результат измерения y вместе с его суммарной стандарт-

ной неопределенностью uc(y) или расширенной неопределенностью U с использованием одной из форм представления. Указывают способ получения y и uc(y) или U.

4. КАЛИБРОВКА СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Калибровка средств измерений – это операция, в ходе которой устанавливаются соотношения между значениями величин с неопределенностями измерений, которые обеспечивают эталоны, и соответствующими показаниями калибруемых средств измерений с присущими им неопределенностями. Операция выполняется при заданных условиях. Результат калибровки может быть выражен как функция калибровки, диаграмма калибровки; калибровочная кривая или таблица калибровки. В некоторых случаях результаты калибровки могут включать аддитивные или мультипликативные поправки к показаниям с соответствующей неопределенностью.

ВРФ в добровольном порядке могут подвергаться калибровке средства измерений, не предназначенные для применения в сфере государственного регулирования обеспечения единства измерений. Строго говоря, невозможно определить показатели точности результатов измерений, полученных с использованием средств измерений, не прошедших процедуру калибровки. Поэтому возможность использования таких результатов измерений вызывает сомнения.

Калибровка средств измерений выполняется с использованием эталонов единиц величин, прослеживаемых к государственным первичным эталонам соответствующих единиц величин.

Всоответствии с определением, приведенным в рекомендации по межгосударственной стандартизации, единство измерений – это состояние измере-

60