Метрология. Неопределённость и калибровка средств измерений. Учебное пособие

распространяется на косвенные измерения, когда уравнение (2.6) допускает линеаризацию

где x1, ... , хn – измеряемые величины.

2.3. Прослеживаемость результата измерений

Важным требованием к методам оценивания точности измерений, используемых в области законодательной и прикладной метрологии, является требование унификации. Это требование является необходимым условием обеспечения единства измерений. На рубеже XX и XXI вв. произошли существенные изменения в построении международной системы измерений, направленные на еще большую кооперацию и сближение в целях преодоления технических барьеров во многих областях международного сотрудничества. Можно сказать, что в настоящее время складывается международная система обеспечения единства измерений за счет прослеживаемости результатов измерений к единицам величин международной системы СИ. В 1993 г. было выпущено «Руководство по выражению неопределенности измерений (GUM)» [7], а в 1999 г. была подписана «Договоренность о взаимном признании национальных эталонов, сертификатов измерений и калибровок, выдаваемых национальными метрологическими институтами (CIPM MRA)» [18]. В основе взаимного признания результатов измерений лежат объективные результаты ключевых сличений национальных эталонов. РФ является одной из ведущих метрологических держав, активно участвующей в реализации CIPM MRA и международных ключевых сличениях национальных эталонов в целях установления их эквивалентности. В рамках региональной метрологической организации Евро-Азиатское сотрудничество государственных метрологических учреждений (КООМЕТ) национальными метрологическими институтами РФ обеспечивается связь региональных ключевых сличений со сличениями международного комитета по мерам и весам (МКМВ).

Обработка результатов сличений национальных эталонов опирается на руководство [7], которое, по сути, стало основным международным нормативным документом по оценке точности измерений. В процессе интеграции РФ в международное сообщество требуется единство стандартов и других нормативных документов в области метрологии, калибровки средств измерений, сертификации продукции в целях устранения барьеров в торговом, промышленном, научном сотрудничестве. Следует отметить принятие стандарта [19], работы по реализации договоренности [18], возрастание доли проведения калибровок эталонов и средств измерений при передаче единиц величин. Все перечисленное привело к созданию новых государственных стандартов РФ [36]–[39], а затем и межгосударственных стандартов [8]–[10], [20].

Заявленными целями руководства [7] является следующее:

• обеспечить полную информацию о том, как составлять отчёты о неопределенностях измерений;

31

•предоставить основу для международного сличения результатов изме-

рений;

•предоставить универсальный метод для выражения и оценивания неопределенности результата измерения, применимый ко всем видам измерений и всем типам данных, используемых при измерениях.

Руководство [7] дает правила выражения и оценивания неопределенности измерения для использования службами метрологии, стандартизации, калибровки и аккредитации лабораторий. Принципы этого руководства предназначены для использования в широком спектре измерений, включая те, которые требуются для обеспечения качества в процессе производства; согласованности законов и регулирующих актов; проведения фундаментальных и прикладных исследований в науке и технике; эталонов и приборов при калибровке и проведении испытаний по всей национальной системе измерений для обеспечения единства измерений и прослеживаемости к национальным эталонам; разработки, поддержания и сличения международных и национальных эталонов единиц величин, включая стандартные образцы состава и свойств веществ и материалов.

Основным понятием, используемым в руководстве, является понятие «неопределенность измерения» (разд. 1.2). Неопределенность измерения есть параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует разброс значений и который можно было бы обоснованно приписать измеряемой величине. В качестве этого параметра в руководстве используется стандартная неопределенность, суммарная неопределенность и расширенная неопределенность. В основе вычисления неопределенности измерения лежат те же методы теории вероятностей и математической статистики, которые используются при оценке характеристик погрешности. При вычислении неопределенности измеряемая величина сопоставляется случайной величине и описывается вероятность её возможных значений исходя из всей доступной информации об измерении как априорной, так и содержащейся в экспериментальных данных, полученных при измерении [21]. Такой подход соответствует выражению точности каждого конкретного измерения. Поэтому он легко и гармонично нашел применение в задачах ключевых сличений национальных эталонов и калибровки эталонов [21], [22]. Подход на основе оценивания характеристик погрешностей, наоборот, имеет весомое обоснование при выполнении технических измерений.

2.4. Неопределённость как показатель точности результата измерений

Оценки перечисленных неопределенностей получают на основе ряда экспериментальных данных (оценки неопределенностей по типу А) и на основе дополнительной, в том числе экспертной, информации (оценки неопределённостей по типу В). К описанию неопределенностей применяется статистический подход независимо от способа их оценивания (при этом считается, что все поправки на систематические погрешности уже введены). Однако в отличие от подхода к оцениванию характеристик погрешности измерения случайная величина сопоставляется не с погрешностью измерения, а с самой измеряемой ве-

32

личиной. Для такой интерпретации используется трактовка вероятности как субъективной оценки вероятности на основе доступной информации об измеряемой величине и средствах измерений, методики выполнения измерений и т. д.

В качестве неопределенности измерения обычно оценивают расширенную неопределенность, а для промежуточных величин, на основе которых получают результат измерения, вычисляют стандартные неопределенности.

Основные положения руководства [7] сводятся к следующему: понятие «неопределенность измерения» вводится для описания точности измерения как степени доверия к полученному результату; основным количественным выражением неопределенности измерения является стандартная неопределенность (u) и суммарная стандартная неопределенность (uc); в тех случаях, когда это необходимо, вычисляется расширенная неопределенность (U):

где k – коэффициент охвата (числовой коэффициент, используемый как множитель суммарной стандаpтной неопределенности для получения расширенной неопределенности).

где Y – измеряемая величина; x1, ... , xn – входные непосредственно измеряемые величины или другие величины, влияющие на результат измерения; n – число входных величин; F – вид функциональной зависимости.

Оценка измеряемой величины Y вычисляется как функция оценок входных величин x1, …, xn после внесения поправок на все известные систематические эффекты:

Y = F(х1, …, хn).

На следующем этапе вычисляются стандартные неопределенности входных величин u(xi) (i = 1, ..., n) и возможные коэффициенты корреляции r(xi, xj) оценок i-й и j-й входных величин (j = 1, ..., n).

Исходными данными для оценивания стандартной неопределенности по

значение повторных измерений.

Исходными данными для оценивания стандартной неопределенности по типу В является следующая априорная информация:

1.Данные предшествовавших измерений величин, входящих в уравнение измерения; сведения о виде распределения вероятностей.

2.Данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов.

3.Неопределенности констант и справочных данных.

33

4. Данные поверки, калибровки; сведения изготовителя о приборе и другие подобные данные.

Неопределенности данных для такой информации обычно представляются в виде границ отклонения входной величины от её оценки. В случае неизвестного закона распределения вероятностей наиболее распространенный способ формализации неполного знания о входной величине базируется на постулировании равномерного закона распределения в указанных границах (bi-, bi+) для i-й входной величины. При этом стандартная неопределенность, оцениваемая по типу В, определяется по формуле

В случае других законов распределения выражения для оценок неопределенности по типу В будут иными.

Для оценки коэффициента корреляции используются согласованные пары

измерений (xik, xjk), k = 1, …, m.

Далее можно вычислить суммарную стандартную неопределенность uc. В случае некоррелированных оценок x1, ..., xn суммарная стандартная неопределенность вычисляется по формуле

а при наличии корреляции

где r(xi, xj) – коэффициент корреляции; u(xi) – стандартная неопределенность i- й входной величины, оценённая по типу А или по типу В.

Вычисление расширенной неопределенности должно базироваться на законе распределений выходной величины в уравнении измерения, который в большинстве случаев неизвестен. Поэтому во многих практических случаях при вычислении неопределенностей измерений постулируется нормальный закон распределения выходной величины и принимается k, равным 2, при доверительной вероятности (pD), равной 0,95, и k, равным 3, при доверительной вероятности, равной 0,99. Альтернативным способом вычисления расширенной неопределенности является использование метода Монте-Карло для моделирования закона распределения выходной величины на основе совместного закона распределения входных величин. Аналитическое вычисление расширенной неопределенности возможно только в отдельных частных случаях.

Развитие и совершенствование подхода на основе концепции неопределенности идет через разработку дополнений к нему, которые распространили этот подход на вычисление неопределенностей измерений произвольного числа выходных величин [20], [39]. Общее представление о концепции неопределен-

34

ности и системе основополагающих документов по вычислению неопределенности измерений дано в ГОСТах [8], [36].

В РФ в настоящий момент используются оба подхода для оценивания точности измерений. Эта ситуация закреплена в последней редакции рекомендаций [11], где разные способы выражения точности измерений объединены понятием «показатели точности измерений».

3. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ

3.1. Общие сведения

Неопределенность результата измерения представлена в редакции межго-

сударственного стандарта ГОСТ 34100.3–2017/ISO/IEC Guide 98-3:2008 [9] и

национального стандарта РФ ГОСТ Р 54500.3–2011 [37].

Неопределенность результата измерения отражает отсутствие точного знания значения измеряемой величины. Результат измерения после внесения в него поправки на известные систематические эффекты остается только оценкой значения измеряемой величины, поскольку содержит неопределенности, связанные со случайными эффектами и неточностью поправки результата на систематические эффекты.

Разнообразие источников неопределенности измерений включает в себя следующее:

a) неполное определение измеряемой величины;

б) несовершенная реализация определения измеряемой величины; в) нерепрезентативность выборки (измерения проводят на образце, не

представляющем измеряемую величину); г) неточное знание влияния условий окружающей среды на результат из-

мерения или неточное измерение величин, характеризующих эти условия; д) субъективная систематическая погрешность (вносимая оператором при

снятии показаний аналоговых приборов); е) конечная разрешающая способность или порог чувствительности при-

бора;

ж) неточные значения, приписанные эталонам и стандартным образцам; з) неточные знания физических констант и других параметров, получен-

ных из сторонних источников и используемых при обработке данных; и) аппроксимации и предположения, используемые в методе и методике

измерений (измерительной процедуре); к) изменчивость в повторных наблюдениях при, казалось бы, неизменных

условиях измерений.

Эти источники необязательно являются независимыми, например, некоторые из источников, указанных в перечислениях а) – и), могут вносить вклад в источник, указанный в перечислении к). Если какой-либо систематический эффект не был выявлен, то он не может быть учтен в оценке неопределенности результата измерения, хотя и вносит вклад в погрешность измерения.

35

Рекомендация по неопределенности разделяет составляющие неопределенности на две категории в зависимости от метода оценивания: по типу А или В. Эта классификация применима только к неопределенности и не является заменой классификации погрешности на случайную и систематическую. Неопределенность поправки на известный систематический эффект может в некоторых случаях быть оценена по типу А, а в других случаях – по типу В. То же самое относится к неопределенности, обусловленной случайными эффектами.

Классификация по типам А и В введена только для указания на наличие двух разных способов оценивания составляющих неопределенности и для удобства обсуждения. Ее не следует интерпретировать как различие в природе составляющих неопределенности, полученных разными методами оценивания. Оба способа оценивания основаны на распределении вероятностей, и независимо от способа оценивания составляющие неопределенности количественно характеризуются одним и тем же параметром: дисперсией или стандартным отклонением (СКО).

Оценку дисперсии (u2) для составляющей неопределенности, оцениваемой по типу А, получают на основе ряда повторных наблюдений, и она совпадает с известной статистической характеристикой выборочной дисперсией (s2). Оценка стандартного отклонения (u), представляющая собой положительный квадратный корень из u2, совпадает таким образом с выборочным стандартным отклонением (u = s), и для удобства её иногда называют стандартной неопределенностью типа А. Оценку дисперсии u2 для составляющей неопределенности, оцениваемой по типу В, получают по имеющейся информации, а оценку стандартного отклонения (u) иногда называют стандартной неопределенностью типа В.

Таким образом, стандартную неопределенность типа А рассчитывают по плотности распределения, полученной из статистического ряда значений измерения, а стандартную неопределенность типа В – по предполагаемой плотности распределения, отражающей степень уверенности в появлении того или иного события (часто называемой субъективной вероятностью). Оценивание составляющей неопределенности по типу В обычно основывается на всей имеющейся в распоряжении надежной информации. Оба подхода являются общепринятой интерпретацией понятия вероятности.

Стандартную неопределенность результата измерения, полученного из значений ряда других величин, называют суммарной стандартной неопределенностью и обозначают uc. Она является оценкой стандартного отклонения результата измерения, равной положительному квадратному корню из суммарной дисперсии, т. е. суммы дисперсий и ковариаций всех составляющих неопределенности, и полученной по правилу, названному законом трансформирования неопределенностей.

Для удовлетворения потребностей в ряде областей промышленности и торговли, а также требований в областях здравоохранения и обеспечения безопасности используют расширенную неопределенность (U), получаемую умножением суммарной стандартной неопределенности (uc) на коэффициент охвата (k). Назначением U является построение интервала, охватывающего ре-

36

зультат измерения, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределения значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Выбор коэффициента k, обычно принимающего значения от 2 до 3, зависит от доверительной вероятности, соответствующей данному интервалу.

Если все величины, от которых зависит результат измерения, обладают вариативностью, то их неопределенности могут быть получены посредством статистических процедур. Однако на практике такой подход редко может быть реализован вследствие ограничений на временные и иные ресурсы, поэтому неопределенность результата измерения обычно оценивают, используя математическую модель измерения и закон трансформирования неопределенностей. Это объясняет допущение о том, что измерение можно моделировать математически с точностью, достаточной для обеспечения требуемой точности измерения.

Поскольку математическая модель может быть неполной, для оценивания неопределенности на основе данных наблюдений следует обеспечить диапазоны вариативности влияющих величин, соответствующие тем, что имеют место в практических условиях измерений. Для получения достоверных оценок неопределенности рекомендуется, по возможности, использовать эмпирические математические модели, основанные на долговременных измерениях количественных величин, а также эталоны сравнения и контрольные карты, позволяющие судить, находится ли измерение под статистическим контролем. Если данные наблюдений, включая результаты статистически независимых измерений одной и той же измеряемой величины, свидетельствуют о неполноте модели, то модель должна быть пересмотрена. Использование хорошо спланированных экспериментов позволяет существенно повысить достоверность оценок неопределенности, поэтому планирование эксперимента следует рассматривать как важную часть в технике проведения измерений.

Чтобы оценить правильность работы измерительной системы, часто сравнивают выборочное стандартное отклонение полученных с ее помощью результатов измерений с оценкой стандартного отклонения, полученной суммированием составляющих неопределенности от разных источников. В этом случае необходимо учитывать составляющие неопределенности (независимо от того, как получена их оценка – по типу А или В) только от тех источников, которые обусловливают вариативность измеряемой величины в ходе эксперимента. Для этих целей все источники неопределенности разбивают на две группы – на те, которые обусловливают вариативность измеряемой величины в ходе эксперимента, и на те, которые в ходе данного эксперимента на изменения значений измеряемой величины влияния не оказывают.

Если неопределенность поправки на систематический эффект незначительна по сравнению с суммарной стандартной неопределенностью результата измерения, то ее при оценивании неопределенности результата измерения можно не учитывать. Если сама поправка на систематический эффект незначительна по сравнению с суммарной стандартной неопределенностью результата измерения, то допускается не вносить эту поправку в результат измерения.

37

На практике, особенно в области законодательной метрологии, измерительный прибор часто поверяют сравнением с эталоном, и при этом неопределенности, связанные с эталоном и процедурой сравнения, пренебрежимо малы по сравнению с требуемой точностью поверки. Примером может служить использование эталонов массы при поверке весов. Если составляющими неопределенности вследствие их малости допустимо пренебречь, то разность между показанием прибора и эталоном можно рассматривать как погрешность поверяемого прибора.

Иногда результат измерения выражают в единицах эталона, а не в соответствующих единицах Международной системы единиц физических величин (СИ). Т. е. результат измерения выражают в виде отношения к принятому значению эталона. При этом неопределенность, приписанная результату измерения, может быть существенно меньше неопределенности, которая имела бы место при выражении результата измерения в единицах СИ.

Ошибки при регистрации или анализе данных могут вносить значительную неизвестную погрешность в результат измерения. Если ошибка велика, то ее можно выявить проверкой данных, но небольшие ошибки могут быть замаскированы случайными изменениями измеряемой величины или даже быть приняты за случайные изменения. Такие ошибки не имеют отношения к неопределенности измерения.

Оценивание неопределенности нельзя рассматривать как типовую задачу, требующую применения стандартных математических процедур. От пользователя требуется детальное знание природы измеряемой величины и процедуры измерения. Поэтому качество оценки неопределенности, приписанной результату измерения, зависит, в конечном счете, от понимания, критического анализа и профессиональной добросовестности всех лиц, принимающих участие в её получении.

3.2. Оценивание стандартной неопределенностирезультата измерения

В большинстве случаев измеряемую величину (Y) не измеряют непосредственно, а определяют через N других величин X1, X2, ..., XN посредством функциональной зависимости f:

Для упрощения записи один и тот же символ используется для обозначения как физической величины (измеряемой величины), так и случайной величины, представляющей возможные значения этой физической величины. Если указано, что величина Xi имеет некоторое распределение вероятностей, то она понимается как случайная переменная. При этом предполагается, что сама физическая величина характеризуется одним единственным значением.

Если имеется ряд наблюдений случайной величины, то k-е наблюдение случайной величины Xi обозначается Xi,k. Например, если сопротивление резистора обозначить R, то его k-е наблюдение обозначается Rk.

38

Оценка Xi (оценка математического ожидания Xi) обозначается xi. Пример. Если к клеммам терморезистора с линейной зависимостью со-

противления от температуры с температурным коэффициентом α, имеющего при температуре t0 сопротивление R0, приложена разность потенциалов V, то рассеиваемую на данном терморезисторе при температуре t мощность P (измеряемую величину) рассчитывают по формуле

Примечание. Другим методам измерения будут соответствовать другие математические модели.

Входные величины X1, X2, ..., XN, от которых зависит выходная величина Y, также можно рассматривать как измеряемые величины, и они тоже могут зависеть от других величин, включая поправки и поправочные коэффициенты на систематические эффекты, что усложняет вид функциональной зависимости f, которая, таким образом, никогда не может быть в явном виде определена полностью. Кроме того, функциональная зависимость f может быть определена экспериментально или существовать только в виде алгоритма численного расчета. Поэтому функциональная зависимость f понимается в более широком смысле, а именно, как функция, которая включает в себя все величины, в том числе поправки и поправочные коэффициенты, способные существенно влиять на неопределенность измерения Y.

Таким образом, если данные показывают, что функциональная зависимость f не моделирует измерение с требуемой точностью, то для устранения неадекватности модели в нее должны быть включены дополнительные входные величины. Включением дополнительной входной величины можно учесть неполноту знаний о явлении, влияющем на измеряемую величину. В рассмотренном примере дополнительные входные величины могут потребоваться, например, чтобы учесть известную неравномерность распределения температуры по резистору, нелинейную зависимость сопротивления резистора от температуры или зависимость сопротивления от атмосферного давления.

В то же время формула (3.1) может иметь самый простой вид, например,

Y = X1 – X2 .

Такая модель соответствует сравнению двух определений одной и той же величины.

Входные величины X1, X2, ..., XN могут быть разделены на две группы. Первая группа – это величины, значения и неопределенности которых определяют непосредственно в текущем измерении. Эти значения и неопределенности можно получить, например, в результате однократного наблюдения, повторных наблюдений или по основанным на опыте суждениям. Они могут включать определения поправок к показаниям приборов и поправок на влияющие величины, такие как окружающая температура, атмосферное давление и влажность.

39

Вторая группа – это величины, значения и неопределенности которых получены из сторонних источников. К ним относятся величины, связанные с аттестованными эталонами, стандартными образцами веществ и материалов, а также величины, значения которых указаны в справочниках.

Оценку измеряемой величины Y, обозначаемую y, получают из формулы (3.1), подставляя в нее входные оценки x1, x2, ..., xN для N входных величин X1, X2, ..., XN. Таким образом, выходная оценка y, являющаяся результатом измерения, имеет вид

В некоторых случаях оценку y получают как среднее арифметическое n независимых определений Yk величины Y по формуле

когда каждое определение имеет одну и ту же неопределенность и каждое основано на полном наборе наблюдаемых значений N входных величин Xi, полученных в одно и то же время. Этому способу усреднения следует отдать предпочтение перед расчетом по формуле

ях, когда функциональная зависимость нелинейна. Для линейной зависимости указанные два способа усреднения дают одинаковые результаты.

Оценку стандартного отклонения результата измерения (y) в виде суммарной стандартной неопределенности, обозначаемой uc(y), получают из оценок стандартного отклонения результатов измерений xi каждой входной величины в виде стандартных неопределенностей, обозначаемых u(xi).

Каждую входную оценку xi и связанную с ней стандартную неопределенность u(xi) получают из вероятностного распределения значений входной величины Xi. Это вероятностное распределение можно интерпретировать как частотную вероятность, основанную на серии наблюдений Xi,k величины Xi, или как априорное распределение. Оценки составляющих стандартной неопределенности по типу А основаны на плотности распределения, полученной из статистического ряда значений измерения, а по типу В – на априорных распределениях. Следует понимать, что в обоих случаях распределения отражают некоторое модельное представление знаний о случайной величине.

Рассмотрение стандартной неопределенности по типу А. В большинстве случаев наилучшей оценкой математического ожидания μq случайным образом изменяющейся величины q, для которой при постоянных условиях измерения

40