Методы решения задач газодинамики на неструктурированных сетках. В 3 частях. Ч. 2. Разностные схемы. Курс лекций

Для окончательного описания разностной схемы осталось только описать формулы для выбора временного шага.

Основным условием, ограничивающим временной шаг, является условие Куранта, которое в применении к приведенной разностной схеме может быть записано в виде:

ρnk+1

где Dk – радиус вписанной в треугольник окружности. Условие Куранта можно записать и как

ρnk+1

где Skn+1 – площадь ячейки k, а Pkn+1 – ее периметр.

2.5. Особенности построения разностной схемы газовой динамики в трехмерном случае на примере методики ТИМ-3D

Пусть ячейка счетной сетки в трехмерном случае представляет собой тело, ограниченное поверхностью многогранника, каждая грань которого является пространственным многоугольником (рис. 23). Такое определение соответствует действительности, несмотря на то, что в начальный момент времени каждая грань многогранника представлена плоским выпуклым многоугольником. В самом деле, нет никакой гарантии, что в процессе движения вещества в задаче хотя бы один из узлов грани не покинет плоскости расположения остальных ее узлов.

Рис. 23. Примеры ячеек трехмерной сетки

2.5.1. Вычисление объема ячейки

Для вычисления объема ячейки введем некоторое дополнительное понятие. Поскольку в общем случае грани ячеек неплоские, то необходимо определить поверхность грани. Например, если все грани ячейки представлены пространственными четырехугольниками, то существуют некие поверхности минимальной площади, натянутые на эти четырехугольники (гиперболоиды), которые можно считать поверхностями, разделяющими соседние ячейки.

В рассматриваемом случае, когда грани ячейки – произвольные пространственные многоугольники, не являющиеся фрагментами плоскостей, такой подход невозможен. Для того чтобы воспользоваться положениями теории многогранников, необходимо привести грани к плоскому виду. Единственный пространственный многоугольник с произвольно расположенными вершинами гарантированно является плоским – это треугольник. Поэтому грань надо представить в виде набора треугольников (триангуляция грани). Простейшей триангуляцией является выбор одной вершины и проведение диагоналей ко всем остальным вершинам грани (кроме двух «соседей»). Однако в этом случае получаемая триангуляционная поверхность будет разной в зависимости от выбора опорной вершины, что, в свою очередь, повлияет на вычисление объемов. Для устранения этого недостатка используется дополнительная точка, называемая центром грани. Соединим с центром грани все

вершины отрезками (рис. 24). Совокупность треугольников, полученных при таком разбиении грани, и будем считать триангуляцией грани и поверхностью, разделяющей две смежные ячейки.

Рис. 24. Триангуляция грани: 1, 2, …, n – вершины, с – центр грани

Проблема возникает в способе определения дополнительной точки – координат центра грани. Наиболее простым представляется операция определения координат центра n-угольной грани через

кой подход к определению центра грани позволяет ввести однозначную поверхность, одинаковую для любой из смежных ячеек, которые она разделяет. Также в этом случае поверхность не зависит от последовательности обхода узлов грани.

Однако данный подход к определению центра грани имеет недостаток: появление на одном из ребер многогранника нового узла приводит к смещению центров граней, прилегающих к данному ребру, а следовательно, и к изменению построенных на них поверхностей. Изменение поверхностей может привести к изменению объема, а значит, и к возникновению различных погрешностей в решении. Дополнительные узлы могут появляться в результате работы алгоритмов, изменяющих структуру сетки (например, из-за дробления соседней ячейки).

Для устранения этого недостатка необходимо исключить влияние положения отдельных вершин грани при определении ее центра и опираться только на форму многоугольника, т. е. перейти к интегральному усреднению. В этом случае центр грани определяется следующим образом:

74 Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

ходя к интегрированию по k, вычислим значение интеграла в числителе дроби (15):

Выполнив триангуляцию всех граней описанным выше способом, мы превращаем рассматриваемую ячейку в многогранник, состоящий исключительно из треугольных граней. Данный многогранник является ориентируемым, поэтому для него можно определить объем. Однако для произвольного многогранника прямое определение объема невозможно, его необходимо разбить на более простые тела, например на набор тетраэдров (треугольных пирамид). Опять-таки прямое разбиение на тетраэдры произвольного многогранника (хотя и состоящего из треугольных граней) затруднительно. Для упрощения данной задачи выбирается еще одна точка, находящаяся внутри многогранника и называемая центром ячейки. Таким образом, объем ячейки определяется как сумма объемов всех тетраэдров, вершинами каждого из которых являются центр ячейки, центр грани и две соседние вершины этой грани

(рис. 25), т. е.

где m – число граней ячейки; n j – количество вершин j-й грани; rGcj ,rGi j ,rGi+j1 – векторы, начала которых лежат в центре ячейки, а концы – в центре j-й грани и в двух последовательных ее вершинах соответственно; rGcj ,rGi j ,rGi+j1 – смешанное произведение векторов.

Направление обхода грани при последовательном выборе ее вершин – по часовой стрелке, если смотреть изнутри ячейки.

Рис. 25. Разбиение ячейки на тетраэдры со стороны одной грани

Здесь также возникает вопрос, каким образом определять координаты центра ячейки, который может быть выбран относительно произвольно (на самом деле даже нет требования о том, чтобы эта точка обязательно находилась внутри ячейки, так как объемы тетраэдров вычисляются ориентированными). Поэтому для уменьшения арифметических операций координаты центра ячейки вычисляются как среднее арифметическое от координат центров граней.

2.5.2. Построение узловой ячейки

Пусть внутри ячеек определены плотность, удельная энергия и давление, а в узлах сетки – скорость вещества.

Для определения изменения скорости узла в следующий момент времени интегрирования введем определение массы узла,

объем которой заключен внутри замкнутой поверхности, определяемой ниже.

Рассмотрим узел i. Пусть точка j является центром одной из

ячеек, соседних узлу i. Проведем три плоскости через центр многогранника j (рис. 26):

– первая проходит через рассматриваемый узел i и одно из трех ребер, исходящих из этого узла и принадлежащих ячейке

сцентром j , например ii1 ;

–вторая проходит через узел i и центр c1 одной из двух граней многогранника j , на которой лежит то же ребро ii1 ;

–третья проходит через середину i2 того же ребра ii1 и центр

c1 грани.

Трехгранная пирамида jii2c1 является частью объема массы, принадлежащей узлу i.

Рис. 26. Построение элемента узловой ячейки

Аналогичным образом построим вторую трехгранную пирамиду, используя другое ребро, которое принадлежит одновременно грани c1 , узлу i и рассматриваемой ячейке с центром j. Затем пе-

реходим к граням, принадлежащим ячейке j и узлу i одновремен-

но. Количество таких граней равно количеству граней многогранного узла, соответствующего узлу i и ячейке j: в большинстве случаев их три, однако может быть и большее (например, угол при вершине многогранной пирамиды). Рассмотрение всех остальных ячеек, расположенных вокруг узла i , заканчивается составлением объема и, соответственно, массы, принадлежащей этому узлу. По-

верхность полученного объема составлена из совокупности плоскостей, проведенных через центры ячеек и центры соответствующих граней и ребер.

2.5.3. Дискретизация уравнений газовой динамики

Будем считать, что внутри объема узловой ячейки изменение скорости – постоянная величина. Тогда первый интеграл уравнения

(3) запишем в виде mi dUdt , а второй – криволинейный – предста-

вим суммой интегралов по поверхностям, ограничивающим объем массы mi . Каждое слагаемое этой суммы является интегралом по

поверхности только со стороны одной из ячеек, окружающих данный узел i.

Рассмотрим совокупность объемов всех трехгранных пирамид, для каждой из которых вершиной является центр одной из сосед-

любая газодинамическая функция, постоянная внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью S.

Таким образом, равенство нулю интеграла (16) можно предста-

При этом нормали направлены из ячейки «Н» в ячейку «В»; Шi – шаблон-указатель связей узлов, ячеек и граней для узла i ; τ – шаг по времени; Skn1 nGk1 + Skn2 nGk2 – сумма площадей, умноженных на еди-

ничные нормали к этим площадям.

Необходимость представления границы раздела двух ячеек в виде суммы двух составляющих обусловлена тем, что грань между двумя многогранниками может быть неплоской. Поэтому для первого приближения будем считать, что эта грань состоит из совокупности треугольников.

Для любых лагранжевых методик положение узлов в пространстве на следующий момент времени интегрирования определяется

по формуле

Rnj +1 = Rnj + U nj +1τ.

Разностный аналог уравнения неразрывности в данном случае практически не отличается от двумерного. Отличие состоит в определении и вычислении объема:

ρnj+1 = VMn+j1 . j

Определение энергии на следующий момент времени совсем не отличается от двумерного случая:

Список литературы к главе II

1.Самарский А. А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1989.

2.Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1–2. – М.: Наука,

1970.

3.Самарский А. А., Колдоба А. В., Повещенко Ю. А. и др. Разностные схемы на нерегулярных сетках. – Минск, 1996.

4.Круглякова Л. В., Неледова А. В., Тишкин В. Ф., Филатов А. Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор) // Матем. моделирование. 1998. Т. 10,

№3. С. 93–116.

5.Софронов И. Д., Рассказова В. В., Нестеренко Л. В. Нерегулярные сетки в методах расчета двумерных нестационарных задач газовой динамики // Вопросы математического моделирования, вычислительной математики и информатики. – М. – Арзамас-16, 1994.

С. 131–183.

6.Рассказова В. В., Мотлохов В. Н., Еременко А. Ю., Софронов И. Д. Методика решения задач трехмерной нестационарной газовой динамики на нерегулярных лагранжевых сетках // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физ. процес-

сов. 1998. Вып. 4. С. 44–57.

7.Соколов С. С., Воропинов А. А., Новиков И. Г. и др. Методика ТИМ-2D для расчета задач механики сплошной среды на нерегулярных многоугольных сетках с произвольным количеством связей в узлах // Там же. 2006. Вып. 4. С. 29–43.

8.Соколов С. С., Панов А. И., Воропинов А. А. и др. Методика ТИМ расчета трехмерных задач механики сплошных сред на неструктурированных многогранных лагранжевых сетках // Там же. 2005. Вып. 3. С. 37–52.

9.Соколов С. С., Софронов И. Д., Рассказова В. В. и др. Решение многомерных задач механики сплошных сред на неструктурированных лагранжевых сетках // Труды РФЯЦ-ВНИИЭФ. 2008.

Вып. 13. С. 70–85.

Источники

1.Соколов С. С., Панов А. И., Воропинов А. А. и др. Методика ТИМ расчета трехмерных задач механики сплошных сред на неструктурированных многогранных лагранжевых сетках // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физ. процес-

сов. 2005. Вып. 3. С. 37–52.

2.Соколов С. С., Воропинов А. А., Новиков И. Г. и др. Методика ТИМ-2D для расчета задач механики сплошной среды на нерегулярных многоугольных сетках с произвольным количеством связей в узлах // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделирование физ. процессов. 2006. Вып. 4. С. 29–43.

3. Sofronov I. D., Rasskazova V. V., Nesterenko L. V. The use of nonregular nets for solving twodimensional nonstationary problems in gas dynamics // Numerical methods in fluid dynamics / Eds. N. N. Yanenko, Ju. I. Shokin. – Moscow: Mir Publishers, 1984.

p.82 – 121.

4.Воропинов А. А. Методы решения задач газодинамики на неструктурированных сетках: курс лекций: в 3 ч. Часть I. Алгоритмы построения начальных сеток. – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2012.

5.Волгин А. В., Тарасов В. И., Красов А. В., Кузнецов М. Ю. Единый файловый разрез (ЕФР) для универсального представления расчетных данных // Прикладная геометрия, построение расчетных

сеток и высокопроизводительные вычисления. – М.: ВЦ им.

А. А. Дородницына РАН, 2004. Т. 2. С. 220 – 225.

6.Уилкинс М. Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. – М.: Мир, 1976. С. 212– 263.

7.Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. – М.:

Наука, 1977.