Методы решения задач газодинамики на неструктурированных сетках. В 3 частях. Ч. 2. Разностные схемы. Курс лекций

ны хранятся в узлах счетной сетки, термодинамические – в центрах ячеек. Для численного решения уравнения теплопроводности используется полностью неявная разностная схема. Аппроксимация пространственных производных осуществляется с использованием дифференцирования разрывных функций в обобщенном смысле. Получаемая при этом система разностных уравнений имеет симметричную и положительно определенную матрицу. Это позволяет применять для ее решения итерационный метод сопряженных градиентов с использованием различных предобуславливателей.

При рассмотрении газодинамических и упругопластических течений ограничимся классом задач в рамках сплошной сжимаемой нетеплопроводной среды. Уравнения, описывающие движения сплошной сжимаемой среды, отражают основные законы сохранения механики (сохранения массы, количества энергии, количества движения и его момента). Дифференциальные уравнения движения сплошной изотропной среды имеют вид:

ность вещества, ε – удельная внутренняя энергия, U (u,v) – вектор скорости, T – температура, κ = κ(T ) – коэффициент теплопроводности, rG(x, y) – радиус-вектор, gG(x, y) – ускорение силы тяжести, P = P(ρ,ε) – давление, t – время.

Для замыкания системы дифференциальных уравнений сплошной сжимаемой среды используются уравнение состояния среды и уравнения физических и кинематических соотношений между компонентами тензора напряжений, компонентами тензора деформаций и скоростей деформаций. Если для описания среды задается газодинамическая модель, то S = 0, если используется

упругопластическая модель, то S = S уп ( S уп – девиатор тензора упругопластических напряжений). Компоненты тензора скоростей деформации D в декартовой системе координат определяются как

Компоненты тензора скоростей вращения определяются как

ляющая тензора напряжений);

Sxx = σxx + p , Syy = σ yy + p ,

Sθθ = σθθ + p ;

Sp(Sε) = Sxxεxx + S yyεyy + Sθθεθθ + 2Sxyεxy .

Компоненты тензора скоростей деформаций для осесимметричных деформаций вычисляются следующим образом:

Компоненты тензора скоростей деформаций в случае плоских деформаций:

44 Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

Дифференциальная форма закона Гука записывается в виде [6]:

торные напряжения.

Для определения девиаторной составляющей тензора напряжения в области упругих деформаций используется закон Гука в дифференциальной форме:

где G – модуль сдвига, который может быть как константой (для идеально пластических сред), так и некоторой функцией (для сред

δ

с упрочнением и разупрочнением); δt – производная (Яумана) по

времени вдоль направления движения [6].

В области пластических деформаций используется условие текучести Мизеса для корректировки девиатора тензора напряжений:

23 (SijупSijуп ) = Y2 ,

где Y – предел текучести, который может быть как константой (для идеально пластических сред), так и некоторой функцией (для материалов с упрочнением и разупрочнением).

тор тензора вязких напряжений.

Для «размазывания» ударных волн используется комбинация квадратичной и линейной вязкости:

q =qл +qкв ,

квадратичной вязкости.

Область интегрирования разбивается на ячейки. Разностная схема, используемая в методике для аппроксимации дифференциальных уравнений механики сплошной (в газодинамическом и упругопластическом приближении) среды, строится аналогично схеме Неймана. Каждый узел разностной сетки относится к вершине многоугольника – ячейке, описывается координатами, имеет массу и скорость, которая считается постоянной в окрестности узла. Масса ячейки, удельная внутренняя энергия, плотность вещества, тензор напряжений, тензор скоростей деформаций, искусственная вязкость относятся к ячейкам сетки и считаются постоянными внутри.

Для построения разностной схемы в осесимметричной области L рассматривается сечение области интегрирования плоскостью

OXR (ось OX – ось вращения). Область L покрывается нерегулярной многоугольной лагранжевой сеткой. Вершины многоугольников являютсяG узлами сетки с координатами X, R. Векторные величины rG и u определены в узлах сетки. Элементами рассматриваемых сеток являются несамопересекающиеся многоугольники, называемые ячейками. Аппроксимация уравнений движения, энергии и уравнений для вычисления компонент тензора скоростей деформаций в цилиндрических координатах строится с помощью интегроинтерполяционного метода. Для получения пространственной аппроксимации этих уравнений производится интегрирование их по элементу пространства, полученного вращением плоской фигуры на один радиан вокруг оси симметрии. Для построения разностной схемы в случае плоских деформаций в области L рассматривается сечение области интегрирования плоскостью OXY. Область интегрирования L аналогично осесимметричному случаю покрывается многоугольной лагранжевой сеткой. Интегрирование проводится по плоской фигуре в плоскости OXY с использованием формул Гаусса – Остроградского. Для построения конечно-разностных соотношений считаем, что:

1.Давление, плотность, девиатор тензора напряжений, вязкость, тензор скоростей деформаций определены внутри многоугольников и постоянны внутри них.

2.Каждой ячейке соответствует масса вещества, заключенная

вее объеме.

3.Узлы характеризуются координатами и вектором скорости.

4.Каждому узлу приписывается некая масса, которая состоит из частей масс ячеек, примыкающих к данному узлу, и в процессе счета не меняется.

5.Ускорения постоянны внутри фигуры, ограничивающей объем узла.

6.При движении стороны ячеек остаются прямолинейными.

2.2.1. Конечно-разностные формулы для расчета компонент тензора скоростей деформаций

Для расчета компонент тензора скоростей деформаций рассмотрим Kc -угольную ячейку на рис. 13. В узлах ячейки (верши-

нах многоугольника) определены скорости.

Рис. 13. Многоугольная ячейка

Проинтегрируем уравнение (13) по объему ячейки:

натных осей; ε xi x j – компоненты тензора скоростей деформации. В результатеполучим дляосесимметричного случая:

(εnxx )α = 4V1 n ∑Kc (ui + ui+1 )α (ri2 − ri2+1 )n , i=1

48 Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

в ячейке; индексом n обозначен момент времени tn ; индекс α показывает, к какому моменту времени отнесены подынтегральные функции. Для получения консервативной конечно-разностной схе-

мы необходимо положить α = n + 12 .

В случае задачи с плоской деформацией компоненты тензора скоростей деформаций определяются следующим образом:

(εnzz )α = 0,

где xi , yi ,ui ,vi – координаты и компоненты вектора скорости вдоль

осей OX и OY.

По аналогии с вычислением компонент тензора скоростей деформации можно определить компоненты тензора скоростей вращения.

2.2.2. Аппроксимация уравнения движения

Для аппроксимации уравнения движения рассмотрим отдельно случаи плоской и осесимметричной деформации. Возьмем фрагмент разностной неструктурированной многоугольной сетки (рис. 14) в окрестности узла i0 , для которого будет определен век-

тор ускорения. Точки i0 ,i1,i2 ,...,ik являются вершинами многоугольных ячеек, прилегающих к узлу i0 . Точки a1, a2 ,..., ak являются серединами соответственно отрезков i0i1,i0i2 ,...,i0ik для слу-

чая плоской деформации и серединами поверхностей вращения для случая осесимметричных деформаций. Каждому узлу со сторон

прилегающих к нему ячеек приписывается масса вещества mLJ .

Kc

Рис. 14. Фрагмент нерегулярной многоугольной сетки

Проинтегрируем уравнение движения по объему, относящемуся к узлу i0 . В результате интегрирования получим следующие ко-

нечно-разностные уравнения для вычисления ускорения в узлах сетки: