Методы решения задач газодинамики на неструктурированных сетках. В 3 частях. Ч. 2. Разностные схемы. Курс лекций

где mi – масса узла i0 в плоском случае. Аналогичным образом вы-

числяются скорость движения вещества и координаты узлов сетки на новый момент времени:

Согласованные (по временному шагу) операторы дивергенции напряжений и скоростей позволяют получить консервативную ко- нечно-разностную схему. Но стоит отметить, что в осесимметричном случае полученная таким образом конечно-разностная схема не дает сохранения одномерности движения при сферическом схождении оболочек. Для сохранения сферической симметрии в одномерном движении рассмотренная выше конечно-разностная схема была модифицирована (для осесимметричного случая):

ем ячейки ci . Тогда ускорение в узле будет определяться следующим образом:

Такая модификация конечно-разностной схемы для уравнения движения позволяет сохранять одномерность движения в сферически симметричных течениях и обладает хорошими консервативными свойствами. Расчеты осесимметричных движений могут проводиться как по консервативной схеме, так и модифицированной.

2.2.3. Аппроксимация уравнения энергии

Для вычисления компонент девиатора тензора напряжений на новый момент времени используются следующие конечноразностные формулы:

где Rxi x j – поправки компонент девиатора тензора напряжений за счет поворота среды в ячейке [6], ε xi x j – компоненты тензора ско-

ростей деформации; Gn – модуль сдвига. Если

J 2 = 32 (Sxni+x1j )уп (Sxni+x1j )уп > (Yn+1 )2 ,

то в соответствии с законом Мизеса осуществляем корректировку компонент девиатора тензора напряжений:

(Sxni+x1j )уп = (Sxni+x1j )уп Yn+1 J .

Здесь Yn+1 – предел текучести вещества в ячейке. Затем вычисляем значения компонент тензора вязких напряжений:

После этого находим значения компонент девиатора тензора напряжений на (n + 1)-й момент времени:

Sxni+x1j = (Sxni+x1j )уп + (Sxni+x1j )b .

Вычисляем приращение энергии сдвиговых деформаций:

и энергию упругих сдвиговых деформаций:

Eупрn = Sxупi x j Sxупi x j .

Для вычисления давления на (n + 1)− й момент времени не-

обходимо определить плотность и внутреннюю энергию на этот момент времени:

2.2.4.Аппроксимация уравнения теплопроводности

Врезультате расщепления уравнения энергии системы(12) процесс перераспределения внутренней энергии за счет теплопроводности описывается нелинейным дифференциальным уравнением

∂ε (T ) = 1 div κ gradT ,

∂t ρ

где κ = κ(T ) – коэффициент теплопроводности.

Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности осуществляется следующим образом. Предположим, что счетная об-

сетки Ω могут быть произвольные несамопересекающиеся многоугольники. Сетку Ω будем называть исходной. Наряду с исходной

сеткой Ω = {Ωi : i I}рассмотрим вспомогательную узловую сетку

ω = {ω j : j J} такую, что каждая ее ячейка ω j содержит только j -й узел сетки Ω . Для построения узловых ячеек сначала каждая ячейка Ωi разбивается на прилегающие к ее вершинам части, как

показано на рис. 15. Видно, что частью исходной ячейки, прилегающей к вершине A, является криволинейный четырехугольник BC1AC2, образованный линиями BC1, C1A, AC2 и C2B. Точка A – вершина ячейки; точка B – внутренняя точка ячейки (например, центр); точки C1 и C2 – внутренние точки (например, середины) прилегающих к вершине A ребер. Узловая ячейка ω j , содержащая

узел j , строится путем объединения всех примыкающих к данному

узлу четырехугольников, полученных описанным выше способом (рис. 16).

C1

A

B

C2

Рис. 15. Разбиение ячейки Ωi на прилегающие к ее вершинам части

2.2.4.1. Аппроксимация производных первого порядка.

Предполагается, что искомая функция является кусочнопостоянной на сетке Ω и принадлежит образу проектора П:

ция множества Ωi ; u,φ = ∫ u(x, y)φ(x, y)dxdy – функционал, порож-

R2

денный функцией u ; разностный градиент является кусочнопостоянной вектор-функцией на разбиении ω′ и принадлежит образу оператора:

grad Ω : u → π grad Πu .

Здесьgrad – дифференциальный оператор в пространстве обобщен-

ных функций, π – линейный оператор, переводящий обобщенные функции, сосредоточенные на ребрах исходной сетки, в кусочнопостоянные на ω′ функции.

узловой ячейки ω j , составленных из областей разбиения ω′ , и оп-

ределим форму оператора π следующим образом:

π : uG → πuG = ∑ ∑ Akj uG,χ(ωkj ) χ(ωkj ) ,

j J k K j

где Akj – произвольные симметричные положительно определен-

ные матрицы размерности 2 × 2 . Построенный таким образом оператор π удовлетворяет следующим свойствам.

Свойство 1. Пусть K = ∑ K jχ (ω j ) – кусочно-постоянная на

j J

узловых ячейках функцияG . Тогда функция K и оператор π коммутируют, т. е. K πu = πK u .

Свойство 2. Оператор π – симметричный, т. е.

58 Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

∫ (π uG,vG)dxdy = ∫ ( uG,πvG)dxdy.

R2 R2

Свойство 3. Оператор π – неотрицательно определенный, т. е.

∫ (π uG,uG)dxdy ≥ 0 .

R2

2.2.4.2.Аппроксимация дифференциального оператора второго порядка. Аппроксимация дифференциального оператора второго порядка

осуществляется следующим образом:

– функция u заменяется кусочно-постоянной функцией

U = Πu = ∑Uiχ(Ωi ) ;

i I

– производные ∂u заменяются разностными производными

∂xα

DΩU = (πgradU )α ;

Dxα

– коэффициент диффузии k заменяется кусочно-постоянной функцией K = ∑ K jχ(ω j ) , где K j получаются при помощи полу-

j J

гармонического усреднения k в узлы счетной сетки. Дифференциальный оператор div заменяется разностным

Div = Π div . В результате получается разностный оператор второго порядка L(U ) = − Π div K π gradU = − Divω′ K GradΩ U , аппрок-

симирующий дифференциальный оператор (14).

Из свойств 1, 2 и 3 вытекают следующие свойства.

Свойство 4. Разностный оператор L = − Divω′ K GradΩ является симметричным оператором, т. е.

− Divω′ K GradΩ u,v = u, − Divω′ K GradΩ v .

Свойство 5. Разностный оператор L = − Divω′ K GradΩ является неотрицательно определенным оператором, т. е.

− Divω′ K GradΩ u, u ≥ 0.

2.3.Разностная схема для уравнений газовой динамики

вметодике МЕДУЗА

Вданном разделе рассматриваются аспекты вывода разностных уравнений для дискретизации уравнений газовой динамики

вметодике МЕДУЗА.

Для получения разностной схемы методика МЕДУЗА использует уравнения, записанные в дифференциальной форме:

уравнение движения

ρ dUdt = − grad p ,

закон сохранения массы

dmdt = 0,

закон сохранения внутренней энергии

d 1 ρ ddtε = − p dtρ .

Кроме того, используется

уравнение состояния

p = p(ε,ρ) или ε = ε (p,ρ).

Методика МЕДУЗА использует искусственные вязкости в качестве добавки к давлению. Это тем более важно отметить, так как для вывода разностных уравнений сразу используется дифференциальная форма записи уравнений сохранения. Вязкостей, как и в других методиках, в МЕДУЗЕ несколько. Основные – это квадратичная и линейная вязкости, уравнения для них были выписаны ранее при рассмотрении других методик.

Перейдем непосредственно к выводу разностных уравнений. В методике МЕДУЗА все газодинамические параметры отнесены к центрам ячеек, в частности плотность ρ , давление p , удельная

внутренняя энергия ε , вязкость q , вектор скорости U , а также

координаты rG . Как упоминалось ранее, при рассмотрении разностной сетки, используемой в методике МЕДУЗА, как таковые коор-

динаты узлов не хранятся, они вычисляются по необходимости в процессе счета.

Так как все параметры методики отнесены к центрам ячеек, то и все уравнения будут дискретизироваться вокруг центров ячеек, следовательно, в отличие от других методик, например ТИМ, нет необходимости вводить вспомогательную сетку, определяющую ячейки вокруг узлов сетки.

Для дальнейшей работы с уравнениями введем следующие обозначения для ячейки и ее соседей (рис. 18).

Рис. 18. Структура сетки вокруг j-й ячейки

Ячейку, для которой будет производиться дискретизация, обозначим через j, соседние с ней ячейки – через целый индекс i, узлы ячейки – через полуцелые индексы i.

Дискретизацию системы уравнений начнем с уравнения движения. В покомпонентной форме уравнение движения запишется в виде:

ρdudt = − ∂∂px ,

ρdvdt = − ∂∂py .

Разделим данные уравнения на y и проинтегрируем по объему ячеек в цилиндрической системе координат. Получим