Методы решения задач газодинамики на неструктурированных сетках. В 3 частях. Ч. 2. Разностные схемы. Курс лекций

Так как мы имеем дело с осесимметричным случаем, то все наши величины не зависят от угла θ и интегрирование по нему даст просто коэффициент 2π перед интегралом, на который мы сократим обе части уравнения. Кроме того, мы сократим в подынтегральных

плоской массой ячейки. Аналогичные выкладки можно проделать

идля второго уравнения. В итоге получим:

∫∫ρ dudt dxdy = miS dudti ,

Si

Распишем интегралы от производных по давлению. Для начала определим давление в узле i + 12 по формуле

pi+12 = p j + p3i + pi+1 .

62 Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

Иными словами, давление в узле есть среднее арифметическое давлений в окружающих ячейках.

Интегралы производных от давления по площади при помощи теоремы Грина переведем в интегралы по контуру ячеек:

Заменяя интегралы на их приближенные аналоги, получим

Теперь у нас есть все слагаемые для того, чтобы записать итоговые уравнения движения. Сразу же будем указывать временной слой, с которого берутся величины:

То есть предполагается, что для вычисления градиента давления использовались величины с n -го момента времени. При этом рассчитываются скорости на следующий, n +1-й момент времени.

После того как получены новые скорости, можно определить новые положения центров ячеек по формулам

xnj +1 = xnj + τ2(unj +1 + unj ), ynj +1 = ynj + τ2(vnj +1 + vnj ),

вытекающим из определения скорости drG = UG. dt

После получения новых координат можно определить новую плотность в ячейке. Делается это при помощи дискретного аналога уравнения неразрывности:

Отметим, что, в отличие от уравнения движения, в данном уравнении используются истинные, т. е. объемные массы.

Для окончания расчета временного шага осталось только посчитать новую удельную энергию и давление. Делается это решением следующей системы уравнений:

εnj+1 = ε (pnj +1,ρnj+1 ).

Вобщем случае данная система неявная, поэтому решается при помощи итерационного процесса. За начальное приближение берутся значения с n -го момента времени.

Осталось наложить условие для вычисления шага по времени. Вычисляется он исходя из условия Куранта:

k Dhτ < 1,

где D – модуль скорости возмущения в рассматриваемой точке, τ – временной шаг, h – характерный размер ячейки, а k – константа ( 0 < k < 1), указывающая, какую часть ячейки пройдет возмущение.

Для определения временного шага используется величина характерного размера ячейки. Вычислять ее можно многими способами, проще всего – по формуле

h = PS ,

где S – площадь ячейки, а P – ее периметр.

64Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

2.4.Дискретизация уравнений газовой динамики на треугольных сетках (дополнительный материал)

Для начала дадим определение треугольной сетки. Определение. Назовем сетку треугольной, если она разбивает

область задачи на треугольники. Треугольники, образующие сетку, назовем ячейками, а вершины треугольников – узлами сетки.

Существует достаточно большое количество способов построения разностных схем на треугольных сетках. Огромный интерес к подобным сеткам вызван достаточной простотой получаемых разностных соотношений, которые, как правило, легко исследуются и без особых проблем реализуются на практике.

В данной работе в качестве примера использования треугольных сеток будет описан один из подходов для построения разностной схемы для уравнений газовой динамики.

Рассматривается исходная система уравнений (1)–(3), (5). Для «размазывания» фронта ударной волны используется некая искусственная вязкость, например квадратичная.

Для дальнейшей работы с сеткой необходимо ввести понятие центра ячеек. Центр ячейки можно вводить несколькими способами. Для нас в данный момент это непринципиально, а для примера предположим, что координаты центра ячейки определяются по следующей формуле:

Перейдем к дискретизации уравнений.

В дальнейшем предположим, что все термодинамические величины (плотность ρ , давление p и удельная внутренняя энергия ε )

отнесены к центрам ячеек и являются постоянными в пределах ячейки. В узлах сетки заданы координаты и скорости узлов ( r , U ), по-

стоянные в рамках вспомогательной сетки, которая будет введена ниже.

2.4.1. Расчет узловых величин

Дискретизацию уравнений начнем с уравнения движения. Для этого необходимо ввести вспомогательную сетку, которая будет формировать некоторые новые ячейки вокруг узлов исходной сетки. Данную сетку можно определить несколькими способами. Первый способ заключается в простом соединении центров ячеек, как это показано на рис. 19.

Рис. 19. Первый способ введения вспомогательной сетки вокруг узлов

Подобный способ построения вспомогательной сетки накладывает некоторые ограничения на деформации сетки, вызванные ситуацией, показанной на рис. 20. При этом происходит попадание еще одного узла в область определения. Появления подобного дефекта можно избежать благодаря введению центров ребер, исходящих из интересующего узла, для определения вспомогательной ячейки. При этом вспомогательная ячейка будет выглядеть так, как показано на рис. 21. Как видно из рисунка, новый контур имеет более сложную структуру, однако работать с ним гораздо удобнее, что и будет показано в дальнейшем. При использовании данного способа построения вспомогательной сетки ситуация, показанная на рис. 20, примет вид, показанный на рис. 22. Как видим, ограничение исчезло.

68 Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

ству ячеек, имеющих рассматриваемый узел в качестве одной из вершин. В итоге можно записать

С другой стороны, рассматриваемый интеграл есть масса узла i, и можно записать:

Правая часть уравнений системы интегрируется по поверхности вращения, образуемой вспомогательной ячейкой вокруг узла i . Как и левая часть, она может быть представлена в виде суммы интегралов:

где pij – давление в j -й соседней ячейке узла i , nij – единичная нормаль к поверхности Sij .

В пределах Ωij давление pij постоянно, поэтому его можно

вынести за знак интегрирования. Интеграл ∫ nGij dS можно интег-

Sij

рировать непосредственно по поверхности Sij . Повторяя рассуж-

дения, сделанные в п.2.1.1, интеграл по поверхности Si можно за-

писать в виде суммы интегралов по поверхностям, образуемым вращением вокруг оси симметрии ребер, исходящих из узла i.

Таким образом, итоговая дискретизация уравнения движения для внутренних узлов записывается как

Подставляя в полученное уравнение разности вместо производной, легко получается выражение для скорости на n +1-й момент времени:

По полученным скоростям находится новое положение узлов

сетки:

rGin+1 = rGin + τUGin+1.

В такой последовательности и интегрируется уравнение движения. Если узел является граничным, расчет уравнения движения практически не меняется. В данной ситуации сам узел лежит на границе своей области определения, а «недостающие» соседние ячейки восполняются границей области, при этом учитывается соответствующий тип граничного условия (свободная граница, жест-

кая стенка и др.).

2.4.2. Расчет ячеечных величин

Остановимся на выводе разностной схемы для уравнения неразрывности. В дальнейшем будем предполагать лагранжевость ячеек сетки, т. е. отсутствие перетекания вещества из ячейки в ячейку в процессе счета. Кроме того, наложим условие только одного вещества в ячейке, т. е. отсутствие смешанных ячеек.

В силу предполагаемой лагранжевости методики масса ячеек не меняется, т. е.

ρnj+1 = Vmn+j1 , j

70 Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

где mj – масса ячейки с номером j , а Vjn+1 – ее объем на n +1-й

момент времени. Данное уравнение и есть аналог уравнения неразрывности для выводимой разностной схемы.

Для завершения вывода разностной схемы осталось выписать разностное уравнение для уравнения сохранения внутренней энергии. Для этого в выписанном ранее уравнении заменим производные на разностные аналоги и получим следующее выражение:

где qnj +1 – вязкость в ячейке j на момент времени n +1. В данном

уравнении участвует давление с n + 1-го временного шага, поэтому для решения нужно привлекать уравнение состояния, которое запишется в виде

pnj +1 = p (ρnj+1,εnj+1 ).

Полученная система уравнений неявная и в общем виде для решения требует некоторого итерационного процесса. За начальное приближение для данного итерационного процесса можно выбрать давление и энергию с n -го временного слоя.

Данную систему уравнений можно решать и по аналогии с методикой ТИМ, используя схему предиктор – корректор. При этом разностные уравнения запишутся в виде: