Методы решения задач газодинамики на неструктурированных сетках. В 3 частях. Ч. 2. Разностные схемы. Курс лекций

2.1. Неконсервативная разностная схема для уравнений газовой динамики в методике ТИМ-2D

Вметодике ТИМ для получения разностной схемы используется система газодинамических уравнений, состоящая из уравнений

(1)–(3), (5), а также уравнение искусственной вязкости (6). Однако наряду с искусственной вязкостью в методике ТИМ активно используется тензорная вязкость и некоторые другие.

Вметодике ТИМ применяются несколько разностных схем для счета уравнений газовой динамики. В данном разделе рассматривается одна из самых простых, являющаяся обобщением разностной схемы методики ДМК на случай сетки произвольного вида (в методике ДМК узел нерегулярной сетки окружает 3 ячейки).

Область интегрирования разбивается на ячейки. Разностная схема, используемая в методике для аппроксимации дифференциальных уравнений механики сплошной (в газодинамическом приближении) среды, строится аналогично схеме Неймана. Каждый узел разностной сетки (относится к вершине многоугольника – ячейке) описывается координатами, имеет массу и скорость, которая считается постоянной в окрестности узла. Масса ячейки, удельная внутренняя энергия, плотность вещества, искусственная вязкость относятся к ячейкам сетки и считаются постоянными внутри.

Для построения разностной схемы в осесимметричной области L рассматривается сечение области интегрирования плоскостью OXR (ось OX – ось вращения). Область L покрывается неструктурированной многоугольной лагранжевой сеткой. Вершины много-

угольников являютсяG узлами сетки с координатами X, R. Векторные величины r и u определены в узлах сетки. Элементами рас-

сматриваемых сеток являются несамопересекающиеся многоугольники, называемые ячейками. Аппроксимация уравнений движения, энергии в цилиндрических координатах строится с помощью интегроинтерполяционного метода. Для получения пространственной аппроксимации этих уравнений производится интегрирование их по элементу пространства, полученному вращением плоской фигуры на один радиан вокруг оси симметрии. Для построения разностной схемы в случае плоской системы координат в области L рассматривается сечение области интегрирования плоскостью OXY.

32 Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

Область интегрирования L аналогично осесимметричному случаю покрывается многоугольной лагранжевой сеткой. Интегрирование проводится по плоской фигуре в плоскости OXY с использованием формул Гаусса – Остроградского. Для построения конечно-разностных соотношений считаем, что:

1. Давление p, плотность ρ, удельная внутренняя энергия ε, вязкость q определены внутри многоугольников и постоянны внутри них.

2.Каждой ячейке соответствует масса вещества, заключенная

вее объеме.

3.Узлы характеризуются координатами и вектором скорости.

4.Каждому узлу приписывается некая масса, которая состоит из частей масс ячеек, примыкающих к данному узлу, и в процессе счета не меняется.

5.Ускорения постоянны внутри фигуры, ограничивающей объем узла.

6.При движении стороны ячеек остаются прямолинейными. В дальнейшем приняты следующие обозначения: нижний ин-

декс газодинамического параметра указывает номер элемента сетки (ячейки или узла), к которому данная величина относится, верхний индекс указывает временной слой, с которого взята данная величина.

2.1.1. Расчет узловых величин

Начнем вывод разностной схемы для методики ТИМ с уравнения движения (3)

Преобразуем левую часть уравнения. Для этого сначала рассмот-

Здесь Ωi – область вокруг узла i , Si – поверхность области Ωi , ni – единичный вектор внешней нормали к поверхности Si .

Перейдем к аппроксимации полученного уравнения движения.

Плотность ρi , стоящая под знаком интеграла, не постоянна, так

как вокруг каждого узла находятся k ячеек, у которых в общем случае плотность не равна. Однако мы можем расписать данный интеграл в виде суммы интегралов, у которых под знаком интегрирования плотность будет постоянна. Тогда плотность в этих интегралах вынесется из-под знака интегрирования и они превратятся в простые объемы соответствующих частей, которые при умножении на свои плотности дадут массы. В итоге масса узла будет равна сумме масс, каждая из которых будет представлять долю массы ячейки, вошедшей во вспомогательную ячейку вокруг узла (рис. 12):

является частью новой ячейки вокруг узла i; k, – количество ячеек, окружающих узел.

Рис. 12. Интегрирование уравнения движения вокруг узла i

Преобразуем правую часть уравнения (8). Интеграл v∫ pi nGi dS,

Si

как и в случае с левой частью уравнения (8), разобьем на k частей, каждая из которых является интегралом вдоль поверхности одной из ячеек, например, контур AC1B на рис. 12.

Рассмотрим интеграл вдоль контура IAC1B от некоторой постоянной функции f , заданной в данной области:

С помощью данного соотношения можно изменить контур интегрирования для правой части уравнения (8).

Итак, используя все указанные выше замечания и заменяя все производные на дискретные аналоги, получаем разностное уравне-

Из данного уравнения вычисляем значения скоростей на новый момент времени. С использованием значений скоростей вычисля-

ется положение узлов:

rGin+1 = rGin + UGin+1τ.

2.1.2. Расчет ячеечных величин

Перейдем к дискретизации уравнения неразрывности (2). Оно эквивалентно следующему уравнению:

∫ρdv = const,

V

которое, как и раньше, можно заменить суммой интегралов по ячейкам. Однако теперь будем использовать основную сетку для разбиения, так как плотностьρ отнесена к центрам ячеек.

Поскольку плотность в пределах ячеек постоянна, получаем выражение:

m j = const,

где mj – масса ячейки. Отсюда получаем дискретный аналог уравнения неразрывности, используемый в ТИМ:

Вывод для уравнения сохранения энергии (5) опустим, так как он аналогичен выводам предыдущих уравнений. Приведем только его итоговую форму:

38Глава II. Дискретизация уравнений газовой динамики…

Вуравнении содержится давление с n + 1-го временного шага, поэтому оно является неявным. Для его разрешения используется уравнение состояния (1), которое в разностном виде будет выглядеть следующим образом:

=p(ρnj+1,ε j ). (11)pnj +1 n+1

Врезультате мы получили систему из двух уравнений.

Вобщем случае мы не знаем даже вида уравнения состояния. Однако если нам известна зависимость, то мы можем подставить ее в уравнение (10) и получить одно уравнение. На практике такой прием редко используется, так как предполагается, что явно вид уравнения состояния неизвестен.

Систему уравнений (10), (11) можно решать итерационным методом, что и делается в некоторых методиках, например в методике МЕДУЗА, однако в методике ТИМ с целью экономии расчетного времени данную систему уравнений решают методом предиктор – корректор. Решение данной системы уравнений выглядит следующим образом:

Правильность выписанного процесса решения уравнения энергии (10) можно легко проверить. Для этого достаточно сложить первое и третье уравнения; их сумма в точности повторит исходное уравнение (10).

Как видно из приведенных выше формул, на этапе решения дважды происходит обращение к уравнению состояния и дважды рассчитывается энергия, т. е. процесс является двухшаговым.

Шаг для интегрирования по времени системы уравнений газовой динамики берется из условия Куранта:

chτ < α,

где τ – шаг по времени, 0 < α < 1 – некоторая константа, определяющая, на какую величину ячейки может пройти возмущение за

один счетный шаг (обычно выбирают α = 13 или 12 ), h – шаг по

пространству или характерный размер.

Такой же характерный размер h используется и в формуле для определения искусственной вязкости (6). Конкретный вид для характерного размера может быть разным. Например,

h = S , max(d)

где S – площадь ячейки, а max (d ) – максимальная диагональ.

При описании разностной схемы шла речь о том, что у ячейки есть центр. Однако не говорилось, каким способом определяется положение центра ячейки, хотя при дискретизации уравнения движения (7) активно использовались центры ячеек. Если проанализировать конечное разностное уравнение движения (9), то можно отметить, что центры ячеек необходимы только для определения массы узлов, а именно для определения части масс ячеек, которые они отдают своим узлам. В процессе расчета массы узлов и ячеек не меняются, поэтому центры ячеек необходимы только на этапе, когда идет первоначальный расчет необходимых масс. Заметим, что подобная картина характерна только для дискретизации уравнений газовой динамики.

Положение центров ячеек можно определять многими способами. Приведем один из них.

где k j – количество узлов ячейки j, Ac – множество узлов ячейки j.

На этом рассмотрение разностной схемы для дискретизации уравнений газовой динамики в методике ТИМ закончено. Общая последовательность операций в рамках одного счетного шага при этом следующая.

1.Расчет узловых величин:

–расчет скоростей UGn+1;

–расчет координат узлов rGn+1.

2.Расчет ячеечных величин:

–вычисление объема ячеек V n+1;

–вычисление давления на полуслоеизуравнениясостояния;

–вычисление окончательной энергии εn+1 (корректор);

–вычисление окончательного давления из уравнения состояния.

3.Определение следующего временного шага из условия Ку-

ранта.

2.2. Полностью консервативная разностная схема

вметодике ТИМ (дополнительный материал)

Вданном пункте приведена основная схема методики ТИМ-2D из работы [2]. Методика ТИМ-2D предназначена для расчета двумерных задач механики сплошных сред на многоугольных неструктурированных лагранжевых сетках. Она позволяет проводить расчеты на сетках с произвольным количеством связей в узлах (количество примыкающих ячеек и ребер). В методике ТИМ-2D можно проводить расчеты на сетках, состоящих из произвольных несамопересекающихся ячеек. Для всех типов сеток используется единый счетный алгоритм. Для решения уравнений механики сплошных сред используется цилиндрическая или двумерная декартова система координат.

Для расчета задач газодинамики и упругопластичности используются явные конечно-разностные схемы. Кинематические величи-