Методы решения задач газодинамики на неструктурированных сетках. В 3 частях. Ч. 2. Разностные схемы. Курс лекций

Введем следующие обозначения, где прописными буквами обозначим суммарное количество элементов в сетке, а строчными – количество величин для описания одного элемента (эти величины являются усредненными и поэтому могут быть дробными числами):

N – общее количество ячеек;

L – общее количество узлов;

K – общее количество граней;

E – общее количество ребер;

R – общее количество ребро-граней;

i – усредненное количество узлов одной грани (и ребер); k – количество ячеек, окружающих узел;

j – среднее количество граней одной ячейки.

В зависимости от типа сетки эти величины принимают следующие значения:

– для сетки на базе тел Вороного: L =6N, K =7N, E = 12N,

R = 36N, i =5 17 , j = 14, k = 4;

– для сетки на основе шестиугольных призм: L =2N, K = 4N,

E = 5N , R = 18N, i = 4 12 , j = 8, k = 6;

– для шестигранной сетки: L = N, K =3N, E = 3N, R = 12N,

i = 4, j = 6, k = 8.

Формулы расчета необходимой памяти для различных структур представлены в следующих подпунктах.

1.3.2.Структура хранения «по углам»

Вэтой структуре сетка описывается через соседство в узлах.

Вкачестве элементов структуры выступают: список номеров ячеек

N1, N2 , …, Nn , окружающих узел, и список номеров узлов осно-

вания многогранного угла с вершиной в рассматриваемом узле, хранящихся в определенном порядке обхода для каждой ячейки, окружающей этот угол.

Объем памяти, необходимый для структуры хранения «по углам» (для случая, когда количество нетрехгранных углов мало), вычисляется по формуле:

M = N +(2 +6k )L.

Недостатком структуры является невозможность описать некоторые особенности в сетке, например узлы, в которых сходятся по два ребра. Применение данной структуры для алгоритмов «по ячейкам» или «по граням» оказывается малоэффективным, структуру приходится расширять дополнительной информацией, например о гранях, но для этого нужно хранение полной структуры «по граням» за исключением опорных граней для узлов. Таким образом, объем требуемой памяти еще увеличится.

1.3.3.Формат хранения «ребро-грани»

Вдальнейшем будем обозначать: буквой I – номера узлов; буквой N – номера ячеек; буквой J – номера граней; буквой K – но-

мера ребро-граней счетной сетки. Ребро-грань – это ребро счетной сетки вместе с прилегающей к нему гранью. Понятно, что с каждым ребром сетки связано столько ребро-граней, сколько граней опирается на данное ребро. А каждой грани соответствует столько ребро-граней, сколько ребер имеет данная грань.

На рис. 9 изображена ориентированная грань J, разделяющая ячейки N1 и N2 . Обход грани J осуществляется против часовой стрелки, если смотреть на грань из ячейки с номером N1 . Через a обозначено ребро грани J, выходящее из узла I по направлению обхода грани. Ребро-грань K соответствует ребру a и грани J. Ребро-грани K1 и K2 связаны с ребром a и с соседними к J гранями, расположенными в ячейках N1 и N2 соответственно. Через c и b обозначены предыдущее и последующее по отношению к a ребра, принадлежащие грани J . Ребро-грани K3 и K4

связаны с гранью J и ребрами b и c соответственно.

Таким образом, в структуре ребро-грани хранятся следующие данные:

24 Глава I. Форматы описания неструктурированных сеток…

Рис. 9. Соседи ребро-грани K

•для ячейки – номер одной из ребро-граней;

•для грани – две ячейки C1 и C2 , номер одной ребро-грани.

Вслучае если грань лежит на границе области, то номер граничного условия хранится в адресе первой ячейки C1;

•для узла – номер одной из ребро-граней;

•для ребро-грани:

–узел V, из которого выходит ребро-грань;

–грань F, в которой лежит ребро-грань;

–четыре соседних ребро-грани: две соседние в той же грани F и две соседние, опирающиеся на то же ребро и соответствующие

граням ячеек C1 и C2 .

Преимуществом данной структуры является «фиксированность» – для всех элементов сетки хранится фиксированное количество величин: для ячейки и узла – по одной, для грани – три, для ребро-грани – шесть. Это позволяет не использовать списковые структуры, что упрощает работу с памятью и выполнение операций изменения структуры сетки. Недостаток структуры заключается в необходимости выполнения дополнительных операций для получения соседства для всех основных элементов сетки (ячеек, граней и узлов). Также необходимо вводить специальные фиктивные элементы сетки при мелкозернистом распараллеливании.

Объем памяти, необходимый для структуры хранения реброграни, вычисляется по формуле:

M= N + L +3K +6R.

1.3.4.Формат хранения «по граням»

Алгоритмы газодинамики и упругопластичности построены таким образом, что расчет уравнений движения и энергии может выполняться по ячейкам, при этом рассчитывается взаимодействие между ячейками через грань. Следовательно, информация об узлах (в смысле структуры хранения данных) для проведения расчета является не основной, т. е. ее можно использовать в контексте представления граней и ячеек. Поэтому структуру сетки можно описать следующим образом:

•для ячейки хранится список номеров всех ее граней;

•для грани хранятся:

–номера двух ячеек, ее формирующих; для грани, лежащей вдоль границы, первым является номер граничного условия;

–список узлов, формирующих грань, причем со стороны первой ячейки узлы упорядочены против часовой стрелки, а со стороны второй ячейки – по часовой стрелке;

–для узла хранится номер одной из граней, сходящихся в данном узле (для возможности построения алгоритмов, использующих соседство в узле, для граничного узла – номер одной из граничных граней).

Таким образом, связь между элементами сетки можно выразить в виде схемы:

ячейка ↔ грани → узлы → грань

Как видно, элементы структуры соответствуют реальным элементам сетки. Кроме того, информация о ячейках и гранях полностью содержится в структуре, т. е. нет необходимости выполнять дополнительные операции для ее получения. Это, в свою очередь, позволяет сократить количество дополнительных операций при работе с данной структурой и повысить скорость расчетов (например, при решении уравнений газодинамики и упругопластичности). Однако при решении диффузионных процессов (например, уравне-

26 Глава I. Форматы описания неструктурированных сеток…

ний теплопроводности или магнитной гидродинамики) для более быстрой работы алгоритмов необходимо получение дополнительной информации о соседстве в узле. С этой целью может формироваться избыточная дополнительная информация, необходимая для быстрого получения данных. При распараллеливании данная структура хорошо подходит для организации декомпозиции по ячейкам.

Объем памяти, необходимый для структуры хранения «по граням», вычисляется по формуле:

M= (j +2)N + L +(i +4)K.

1.3.5.Результаты замеров необходимой памяти

Характерные параметры сеток различных типов приведены в табл. 2; там же указаны объем памяти, необходимый для хранения информации о связях для внутренних узлов (без учета особенностей и границ). Результирующие параметры размеров памяти приведены в табл. 3. Как видно из табл. 3, наиболее экономичной является базовая структура хранения «по граням». Главным образом, поэтому и было решено использовать базовую структуру хранения «по граням» для методики ТИМ.

Таблица 2

Параметры сеток разных типов

Таблица 3 Размеры необходимой памяти для описания сеток разных типов

Список литературы к главе I

1.Beall M. W., Shephard M. S. A general topology-based mesh data structure // Int. J. Num. Meth. for Engin. 1997. Vol. 40. P. 1573– 1596.

2.Воропинов А. А. Некоторые форматы данных для представления двумерных неструктурированных сеток произвольного вида // Труды РФЯЦ-ВНИИЭФ. 2013. Вып. 18. С. 68–83.

3.Воропинов А. А., Соколов С. С., Панов А. И., Новиков И. Г. Формат для описания нерегулярной многогранной сетки произвольной структуры в методике ТИМ // Вопросы атомной науки

итехники. Сер. Матем. моделирование физ. процессов. 2007.

Вып. 3–4. С. 55–63.

4.Garimella R. V. MSTK – a flexible infrastructure library for developing mesh based applications // 13th Int. Meshing Roundtable. USA, Williamsburg, 2004.

5.Скворцов А. В. Триангуляция Делоне и ее применение. – Томск: Изд-во Томского ун-та, 2002.

6.Formaggia L. Data structures for unstructured mesh generation // Handbook of grid generation / Eds. J. Thompson, B. Soni, N. Weatherill. – Boca Raton, Florida: CRC Press, 1999.

7.Schroeder W., Martin K., Lorensen W. The Visualization toolkit an object oriented approach to 3D graphics. – Prentice-Hall Inc., 2004.

Глава II

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ

Решение уравнений газовой динамики – одна из сложнейших задач при построении методик для решения задач механики сплошной среды. Зачастую именно способ решения данных уравнений определяет характеристики методики, например: как аппроксимировать уравнения, какого типа использовать сетки и т. д.

Система уравнений газовой динамики с использованием эйлерова подхода, т. е. когда сетка неподвижна, а вещество течет сквозь нее, записывается следующим образом.

Уравнение неразрывности:

Данная система уравнений является незамкнутой. Для ее замы-

кания вводится уравнение состояния вещества:

В выписанных уравнениях используются следующие обозначения:

Ω – рассматриваемый объем;

SG – поверхность рассматриваемого объема Ω ;

n – единичный вектор нормали к поверхности S , направленный наружу;

ρ – плотность;

функций должны подчиняться условиям Гюгонио, а на линиях скольжения должны выполняться условия непрерывности давления и нормальных составляющих скоростей.

Широко распространенным при решении уравнений газовой динамики с учетом появления разрывов в процессе решения является использование искусственной вязкости для «размазывания» разрывов на скачке в областях с быстро меняющимися газодинамическими параметрами. Существует обширный арсенал формул, описывающих представление искусственной вязкости. Часто для «размазывания» ударных волн используется комбинация квадратичной и линейной вязкости:

квадратичной вязкости.

Как видно из формулы (6), искусственная вязкость действует только при увеличении плотности, т. е. при сжатии рассматриваемого объема. Искусственная вязкость «размазывает» скачок функции в той части расчетной области, где быстро меняются газодинамические параметры. Такое «размазывание» считается допустимым при условии, что вызываемые им возмущения пренебрежимо малы и при переходе через ударный скачок выполняются условия Гюгонио.

Остановимся подробнее на выводе разностных схем для уравнений газовой динамики для различных методик.