Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы расчета элементов конструкций подвижного состава. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

970 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра "Вагоны и вагонное хозяйство"

А.И. Быков, Т.А. Фролова, И.К. Сергеев

Методы расчета элементов конструкций подвижного состава

Учебно-методическое пособие для студентов специальности

«Подвижной состав железных дорог»

Москва - 2021

УДК 629.45/.46 : 002

Б 95

Быков А.И., Фролова Т.А., Сергеев И.К. Методы расчета элементов конструкций подвижного состава. Учебно-методическое пособие. / М.:

РУТ (МИИТ), 2021. - 53 с.

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для студентов специальности «Подвижной состав железных дорог» и посвящено выполнению практических работ по дисциплине "Основы механики подвижного состава".

На примере простейшей стержневой модели рассмотрены аналитические, численные и вариационные методы решения краевой задачи дифференциального уравнения второго порядка.

Рецензент:

доцент кафедры «Нетяговый подвижной состав»

РУТ (МИИТ), к.т.н. Кривич О.Ю.

РУТ (МИИТ), 2021

		СОДЕРЖАНИЕ
1	Построение математической модели для простейшего
	случая растяжения-сжатия стержня ....................................................		4
2	Точное решение.....................................................................................		8
	2.1	Геометрические граничные условия.............................................	8
	2.2	Смешанные граничные условия....................................................	9
	2.3	Точное решение для стержня с переменными по длине
		характеристиками.........................................................................	14
	2.4	Переход к глобальной системе координат .................................	17
	2.5	Задачи для самостоятельного решения ......................................	18
3	Метод конечных разностей (МКР) ....................................................		19
	3.1	Решение МКР для стержня постоянного сечения .....................	20
	3.2	Решение МКР для стержня с переменными по длине
		характеристиками.........................................................................	28
	3.3	Задачи для самостоятельного решения ......................................	30
4	Метод конечных элементов (МКЭ) ...................................................		31
	4.1	Решение МКЭ для стержня постоянного сечения.....................	34
	4.2	Решение МКЭ для стержня с переменными по длине
		характеристиками.........................................................................	40
	4.3	Задачи для самостоятельного решения ......................................	41
5	Метод Бубнова-Галеркина .................................................................		42
	5.1	Геометрические граничные условия...........................................	43
	5.2	Смешанные граничные условия..................................................	44
	5.3	Задачи для самостоятельного решения. .....................................	47
6	Метод Ритца-Тимошенко ...................................................................		49
	6.1	Геометрические граничные условия...........................................	49
	6.2	Смешанные граничные условия..................................................	51
	6.3	Задачи для самостоятельного решения. .....................................	52

1 Построение математической модели для простейшего

случая растяжения-сжатия стержня

При расчете напряженно-деформированного состояния инженерных сооружений приходится иметь дело не с самим сооружением, а с его расчетной моделью. Физическая модель сооружения (расчетная схема) получается путем принятия некоторых упрощающих гипотез, не оказывающих заметного влияния на реальное поведение сооружения. Математическая модель описывает поведение физической модели с помощью определенных соотношений,

связывающих между собой параметры, определяющие такое поведение. В качестве параметров могут выступать геометрические размеры, жесткостные характеристики, деформации, перемещения,

усилия, напряжения и т. п.

При рассмотрении конструкций, работающих на растяжение-

сжатие, в качестве физической модели может выступать расчетная схема, представленная на рисунке 1.1.

EF, n, l

хdх

Рисунок 1.1 - Физическая модель (расчетная схема)

Математическая модель будет фигурировать в виде дифференциального уравнения

d	2	u	n(x)	,

dx		2	EF x

где u(x) – перемещение;

n(x) - распределенная переменная по координате x нагрузка;

ЕF(x) - продольная жесткость (Е – модуль упругости материала,

F(x) – площадь сечения). При этом продольное усилие N(x) и

перемещение u(x) связаны между собой соотношением

	N x EF x	du
	N x EF x	dx
		dx

Решение этой математической модели дает функцию перемещений и внутренних усилий, т. е. напряженно-деформированное состояние физической модели.

Рассмотрим построение математической модели для простейшего случая растяжения-сжатия стержня (рисунок 1.1).

При решении задач механики твердого тела используются три типа уравнений:

1 – уравнения равновесия;

2– деформационные соотношения;

3– физические соотношения.

Эти уравнения получаются следующим образом.

1. Уравнения равновесия:

вырезается (мысленно) бесконечно малый элемент (у

стержня – линейный, длиной dx);

по местам разреза прикладываются неизвестные внутренние усилия и моменты (в нашем случае только продольные усилия N);

рассматриваются условия равновесия элемента.

N	n
	N+dN

dх

Рисунок 1.2 - Бесконечно малый элемент стержня Запишем уравнение равновесия (сумму проекций на ось x)

X N N Деля на dx, получим:

dN x dx

dN ndx

n .

(1.1)

Таким образом, уравнения равновесия связывают между собой в дифференциальной форме внутренние силовые факторы и внешнюю нагрузку.

2. Деформационные соотношения

Получаются из рассмотрения деформированного состояния элемента.

Рисунок 1.3 - Деформация бесконечно малого элемента

Если длина недеформированного элемента dx , то после приложения нагрузки элемент получит приращение и его длина после деформирования станет

dx u du u dx du
и относительная (безразмерная) деформация определиться
отношением длин после и до деформации
	dx du dx	du .	(1.2)
	dx	dx

Таким образом, деформационные соотношения связывают между собой в дифференциальной форме деформации и перемещения.

3. Физические соотношения

Интегрируя по площади закон Гука:

E ,

где Е – модуль упругости материала,
- напряжение, и учитывая, что в случае растяжения-сжатия
деформации в сечении постоянны, приходим к соотношению:
N dF F EF	.	(1.3)
N dF F EF
A

Таким образом, физические соотношения связывают между собой в алгебраической форме внутренние силовые факторы и деформации.

Внося в физические соотношения деформационные соотношения, получаем связь между внутренними силовыми факторами и перемещениями (соотношения Коши). В нашем случае

N EF

du dx

(1.4)

Наконец, после внесения соотношений Коши в уравнения равновесия, приходим к уравнению упругого равновесия

d	2	u	n
				,	(1.5)
dx		2	EF

Это уравнение и предстоит решать различными способами.

2 Точное решение

Уравнение (1.5) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, решаемое последовательным интегрированием. Проинтегрировав его дважды получим решение с точностью до констант интегрирования С1 и С2.

u x

x x

;

dx C

dx C x C

0 0

(2.1)

Эти константы определяются из граничных условий (из условий закрепления торцов стержня). Граничные условия могут быть геометрическими, когда на торцах заданы перемещения, статическими, когда на торцах заданы силы, или смешанными.

Тогда решение уравнения (1.5) примет вид

	nx	2
u	nx		C x C .
u			C x C .
	2EF		1	2
	2EF

А относительная деформация

(2.2)

du	nx	C .

dx	EF	1

Рассмотрим примеры решения при

(2.3)

различных граничных

условиях и постоянных по длине стержня нагрузки и жесткости.

2.1 Геометрические граничные условия

В этом случае ограничиваются перемещения по концам стержня.

EF, n, l

u(0)=0	х	dх	u(l)=0

Рисунок 2.1 – Пример геометрических граничных условий

Подчиним решение (2.2) геометрическим граничным условиям

		n0		2
х 0	0	n0			C 0	C		,	C		0
х 0	0				C 0	C		,	C	2	0
		2EF			1		2			2
		2EF
		nl	2									nl
х l	0	nl			C l C		,		C			nl
х l	0				C l C		,		C
		2EF			1	2			1			2EF
		2EF										2EF

(2.4)

Внося полученные значения констант в соотношение (2.2),

получаем выражения для перемещений и деформаций

u	nx2	nl x
	2EF	2EF .	(2.5)

EFnx 2EFnl

Всреде MS Excel произведем расчет в 11 равноотстоящих точках. Результаты представим в виде таблицы и графиков на рисунке

2.2.

2.2 Смешанные граничные условия

Рассмотрим тот случай, когда на левом торце геометрическое ГУ и статическое – на правом.

EF, n, l

u(0)=0	х	dх	N(l)=0

Рисунок 2.3 – Пример смешанных граничных условий Решение (2.2) подчиним смешанным граничным условиям

x 0	u 0	C		0;
			2
x l	N (l)		du			nl	C	0,
			du			nl

			dx			EF	1
			dx		x l	EF
					x l

откуда

(2.6)

C	nl	,	C	0.

1	EF		2

(2.7)

Внося полученные значения констант в соотношение (2.2),

получаем выражения для перемещения и деформаций

	nx	2		nl x
u
	2EF			EF

	nx		nl
	EF		EF

(2.8)

Аналогично предыдущему проведем расчет при помощи таблиц

Excel.

Рисунок 2.2 – Точное решение для геометрических граничных условий

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]