Методы расчета элементов конструкций подвижного состава. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сечение I-I второго участка в локальной системе имело

координату x2, тогда как в новой - х

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

970 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Рисунок 2.4 – Точное решение для смешанных граничных условий

В следующем примере изменим статические условия и нагрузку. EF, n, l

Р х

u(0)=0	х	dх	N(l)=Р

Рисунок 2.5 - Пример смешанных граничных условий Нетрудно заметить, что при отсутствии распределенной

нагрузки зависимость перемещений от координаты носит уже линейный характер, а деформация постоянна по длине. Из уравнения

(2.2) при n=0, будем иметь

u C1x C2	(2.9)
C1

Подчиняя полученное уравнение граничным условиям, запишем

x 0	u 0 C	2	0;
x l	N (l) P EF C EF ,			C	P
x l	N (l) P EF C EF ,			C
			1	1	EF
					EF

Подставляя результаты в (2.9), запишем решение

u	Px	,	P	.
	EF		EF

(2.10)

(2.11)

Можно показать, что при суммировании нагрузки суммируются и перемещения (здесь вступает в силу принцип независимости действия сил). Сведем два последних примера в один.

EF, n, l

Р х

u(0)=0	х	dх	N(l)=Р

Рисунок 2.6 - Пример смешанных граничных условий

Наложим на (2.9) граничные условия, аналогично предыдущим примерам.

x 0	u 0 C	2	0;
		2

x l	N (l) P EF			du			nl	C
x l	N (l) P EF					EF		C	,
				dx			EF	1
					x l		EF
					x l

C	nl	P

1	EF	EF

(2.12)

Подставляя найденные коэффициенты, запишем

перемещений и деформаций

	nx	2		nl	P
u
						x
	2EF		EF		EF

уравнения для

(2.13)

	nx nl	P	(2.14)

EF EF		EF .
EF EF		EF .

Как и было сказано, рассмотренные ранее примеры (при Р=0 и

при n=0) являются частными случаями последнего.

Представим все варианты решения в Excel, дополнив предыдущую программу.

Рисунок 2.7 – Точное решение для смешанных граничных условий

Интерес представляет случай, если сосредоточенная сила равна реактивному усилию, возникающему в заделке из задачи п. 2.1.

Рисунок 2.8 – Точное решение для геометрических граничных условий

2.3Точное решение для стержня с переменными по длине характеристиками

Рассмотрим стержень с различными по длине характеристиками,

но постоянными в пределах некоторых участков. Будем рассматривать каждый участок в собственной системе координат, что даст нам возможность использовать выведенные ранее соотношения.

EF		n	EF
		n		Р
				Р


	l1		l2
	l1		l2
	х1		х2

Рисунок 2.9 - Стержень с различными по длине характеристиками

Введем индексы и запишем граничные условия для каждого участка.

u	1к

и u

2н

x	0	u	1н	0
1			1н

1к

2н

(2.15)

1к

2н

2к

- перемещения конца первого участка и перемещения

начала второго участка соответственно.

С учетом заданной нагрузки выражения для перемещений и деформаций для каждого участка запишем следующим образом

C x

2EF

C x

Подставляя граничные условия

1н

;

C l

C 0 C

1к

2 н

2EF

;

1к

2 н

;

т.к.

EF EF

1к

2 н

;

nl1 C1 C3 EF

;

Р;

2 к

получим систему уравнений относительно произвольных

постоянных интегрирования

C2 0;
			2
		nl1			C1l1	C2	C3 0 C4 ,
		2EF			C1l1	C2	C3 0 C4 ,
		2EF

		nl
		1		C1 C3
		EF		C1 C3
		EF
	Р		C3

(2.16)

(2.17)

решая которую, будем иметь

Рl

;

2EF

(2.18)

Подставляя коэффициенты, запишем зависимости перемещений

и деформаций для двух участков.

2EF

Рx

Рl

2EF

(2.19)

При решении задачи в Excel, следует учесть, что выведенные зависимости справедливы только в локальных системах координат, а

следовательно для построения диаграмм необходимо ввести новую текущую координату х.

Рисунок 2.10 – Точное решение для стержня с переменными по длине характеристиками

2.4 Переход к глобальной системе координат

Ввести новую текущую координату можно и на этапе подготовки решения, осуществив тем самым, переход к глобальной системе координат.

Рассмотрим предыдущий пример.

Y, y1			y1
				I
				I


х1	l1		х2	l2



	l1		х2		X
		х

Рисунок 2.11 – Локальная и глобальная системы координат

Интервалы изменения локальных координат:

x 0;l
1	1

0;l2

Как видно из рисунка, мы приняли, что новая система координат

X0Y совпадает с системой координат 1-ого участка x10y1. Значит

Следовательно для получения зависимостей перемещений и деформаций в глобальной системе координат достаточно подставить выражения (2.20) и (2.21) в (2.19)

2EF

Р x l

Рl

2EF

Новая переменная имеет собственный интервал изменения

x 0;l	l	.
1	2

(2.22)

2.5 Задачи для самостоятельного решения

1. Для схемы, приведенной на рисунке 2.12 построить графики

изменения перемещений и деформаций по длине стержней.

EF		n		EF
		n		Р



		l1		l2
		l1		l2
	х1			х2


			Рисунок 2.12

3 Метод конечных разностей (МКР)

Нетрудно заметить, что с увеличением количества участков умеющих разные геометрические или физические характеристики, а

также с усложнением нагрузки, задача становиться все более объемной. Поэтому очень часто точное решение получить не представляется возможным. Рассмотрим один из приближенных методов – метод конечных разностей.

Область определения задачи разбивается на k равных участков с

шагом

	h	l
	h	k
		k

u		u
		i 1
	u	пр
	i	пр
u	л
i 1	л

Рисунок 3.1 - К понятию о конечных разностях

Первые производные в конечно-разностной форме имеют вид:

левая

правая

центральная

u u

i 1

dx л

dx п

tg ц

dx ц

Вторые производные соответственно:

i 2

i 1

i 2

i 1 .

i 1

Уравнение упругого равновесия (1.5) для i-ого узла в конечно-

разностной форме с использованием центральных разностей принимает вид:

						nh	2
u		2u		u		nh		.	(3.1)
u	i 1	2u	i	u	i 1	EF		.	(3.1)
	i 1		i		i 1

Алгоритм решения задачи в конечных разностях:

1. Дифференциальное уравнение в конечных разностях (3.1)

записывается для всех внутренних точек стержня.

2.Учитываются геометрические и статические граничные

условия.

3.Решается система алгебраических уравнений, в результате получается массив узловых перемещений.

4.Осуществляется переход от поля перемещений к усилиям.

Покажем на примерах процесс решения.

3.1 Решение МКР для стержня постоянного сечения

Рассмотрим стержень постоянного сечения загруженный по всей

длине равномерно распределенной нагрузкой. Разобьем область

решения на 4 участка и пронумеруем узлы.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]