Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы расчета элементов конструкций подвижного состава. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

970 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Рисунок 4.7 – Решение МКЭ для стержня с различными по длине характеристиками

4.3 Задачи для самостоятельного решения

1.Для 6, 8 и 14 участков произвести расчет МКЭ и построить графики изменения перемещений для трех вариантов граничных условий.

2.Для схемы, приведенной на рисунке 2.12, произвести расчет

МКЭ и построить графики изменения перемещений и по длине

стержня. Привести решения для 6, 8 и 14 участков разбиения.

5 Метод Бубнова-Галеркина

В отличие от метода конечных разностей, где использовалась линейная аппроксимация для участков разбиения, в методе Бубнова -

Галеркина аппроксимирующая функция записывается для всей области

u x ui fi x , i 1

(5.1)

где ui		- неизвестные параметры, подлежащие определению;
f	x - координатная функция, выбираемая таким образом,
i
чтобы она удовлетворяла граничным условиям.
При		внесении	аппроксимирующей	функции	в

дифференциальное уравнение, т.к. она не является точным решением,

появляется функция невязки x , которая по физической сути представляет собой неуравновешенную нагрузку.

u x

i 1

(5.2)

f	j	x
	j

Умножая почленно уравнение (5.2) на возможное перемещение и интегрируя по области, приходим к соотношению:

l				l	n		l
ui		fi	x f j	x dx		f j	x dx x f j x dx
					EF
0	i 1			0			0

(5.3)

Первое слагаемое представляет собой работу внутренних сил на возможных перемещениях, второе – работу внешних сил, правая часть

– работу невязки. Принцип возможных перемещений гласит, что сумма работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях равна нулю. Следовательно, неизвестные параметры находятся из условия равенства нулю работы невязки на возможных перемещениях, то есть

l
x f j	x dx 0.
0

(5.4)

Определенные из (5.3) с учетом (5.4) после взятия интегралов параметры ui вносятся в выражение для аппроксимирующей функции

(5.1).

Покажем ход решения методом Бубнова-Галеркина разных вариантов граничных условий.

5.1 Геометрические граничные условия

В этом случае (рисунок 2.1) аппроксимирующую

можно записать так:

	i x
u x ui	sin .
i 1	l

функцию

(5.5)

Она действительно удовлетворяет граничным условиям, так как

	sin0 sin i 0 .
Внесем соотношение (5.5) в уравнение упругого равновесия
(1.5)
n	i		2	i x	n	x

ui		sin					(5.6)
				l	EF
i 1	l

Умножим почленно на sin jl x и проинтегрируем от 0 до l:

i x

j x

sin

dx 0.

(5.7)

i 1

Здесь мы положили, что

j x

x sin

dx 0.

Первый интеграл, входящий в (6.7) в силу ортогональности:

l	i x		j x	0,	если i	j;
l	i x		j x
sin	l	sin	l	dx l	, если i	j.
0	l		l		, если i	j.
				2

Второй интеграл с учетом, что j=i.

l	n		i x		n	l	cos i 1 .
		sin		dx
	EF		l		EF i
0

Выражение (5.7) с учетом (5.8), (5.9) приобретает вид:

cos i 1 0,

откуда

2nl

3 cos i 1 .

EF i

Внесем (5.11) в (5.5):

u x

2nl

cos i 1 sin

i x

i 1

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.11)

Иногда решение методом Галеркина называют точным,

поскольку принципиальных ограничений на число удерживаемых членов рядов нет. Однако нетрудно заметить, что четные члены ряда обращаются в ноль. Тогда можно записать

u x	4nl	2		n	1			i x
							sin		.
	EF		3		i	3		l

				i 1

Решение в Excel представлено на рисунке 5.1.

(5.12)

5.2 Смешанные граничные условия

Здесь (рисунок 2.6) аппроксимирующая функция с учетом

граничных условий имеет вид:

n		i x
u x ui	sin		Cx.	(5.13)
		2l
i 1

Рисунок 5.1 - Решение методом Бубнова-Галеркина для геометрических граничных условий

Здесь второе слагаемое поддерживает силовое граничное условие

EF	du	P

	dx x l

Найдем исходя из него параметр С
EF	du			n	u	i	cos	i x			P
EF			EF		u		cos			C	P
	dx			i		2l		2l
	dx	x l	i 1			2l		2l	x l

Принимая i только нечетными (при этом cos обнуляется) будем

иметь

	C	Р
	C	EF
		EF

Тогда (6.13) можно записать в виде

n		i x	P
u x ui	sin	2l	EF	x.
i 1		2l	EF

(5.14)

Найдем функцию невязки, внеся выражение (5.13) в

дифференциальное уравнение (1.5) и взяв вторую производную

i x

(5.15)

sin

i 1

Умножим почленно на

sin

j x

и проинтегрируем от 0 до l

l n

i x

j x

sin

dx 0.

(5.16)

0 i 1

Здесь мы положили, что

x sin

j x

dx 0.

Первый интеграл, входящий в (6.16) в силу ортогональности:

l	i x		j x	0,	если i	j;
l	i x		j x
sin	2l	sin	2l	dx l	, если i	j .
0	2l		2l		, если i	j .
				2

(5.17)

Второй интеграл возьмем с учетом, что j=i. При удержании нечетных гармоник ряда

l	i x		2l		i		2l
sin		dx						.
			i	cos		1	i
0	2l				2

Выражение (5.16) с учетом (5.17), (5.18) приобретает вид:

i	2	l	n	2l
i		l	n	2l	0,
u					0,
i		2	EF i
2l		2	EF i
откуда
		16nl	2
ui		16nl	3 .
ui			3 .
	EF i

(5.18)

(5.19)

(5.20)

Внесем (5.20) в (5.13):

u x	16nl	2	n	1			i x	P
						sin			x.
	EF	3		i	3		2l	EF
			i 1

Решение в Excel представлено на рисунке 5.2.

5.3 Задачи для самостоятельного решения.

(5.21)

Найти решение рассмотренных выше задач методом Бубнова– Галеркина, взяв в качестве аппроксимирующей функции тригонометрический ряд с удержанием семи гармоник. Построить графики зависимостей перемещений от текущей координаты.

Рисунок 5.2 - Решение методом Бубнова-Галеркина для смешанных

граничных условий

6 Метод Ритца-Тимошенко

В методе Ритца-Тимошенко потенциальной энергии, который в имеет вид:

	1	l	du x
Э
	2	EF		dx
		0

записывается функционал полной случае растяжения-сжатия стержня

2	l
	l
	dx n x u x dx.	(6.1)
	0
	0

Для постоянной по длине нагрузки после внесения аппроксимирующей функции в функционал (6.1) он приобретает вид:

df x

fi x dx.

n ui

2 0

i 1

2 dfi x

dfi x

2 ui

u j

dx n ui

j i

i 1

Неизвестные параметры ui находятся из условия функционала полной потенциальной энергии

	Э	0.
	u	0.
	u
	i

(6.2)

f	x dx.
i

минимума

(6.3)

Внося полученные соотношения для ui в соответствующую аппроксимирующую функцию, получаем выражение для перемещения.

В случае одинаковых аппроксимирующих функций решение методом Ритца-Тимошенко полностью совпадает с решением методом Бубнова-

Галеркина.

6.1 Геометрические граничные условия

Для геометрических граничных условий (рисунок 2.1) при внесении аппроксимирующей функции

u ui sin i x
n
i 1	l

функционал приобретает вид:

i x

cos

dx n ui

sin

i 1

2 i

2 i x

i x

j x

cos

i 1

j i

i x

n ui

sin

i 1

Первый интеграл равен

(6.4)

i x

2i x

cos

sin

В силу ортогональности второй интеграл

l . 2

(6.5)

l	i x		j x
l
cos	l	cos	l	dx 0	при i j,
0	l		l
0

А третий интеграл уже рассматривался в методе Галеркина. Для нечетных гармоник будем иметь

	l	l		i x		l	cos i 1 2nui	l
nui			sin		dx nui				.
	i			l		i		i
		0

Тогда выражение (6.4) приобретает вид

	EF	2	i		2	l	n	l
		n					n
Э	2	ui		l		2	2n ui	i
	2	i 1		l		2	i 1	i

Из условия минимума функционала

(6.6)

Бубнова-

(6.7)

Э	i		2	l			2nl
					u			0
u	EF					i	i
		l		2

i

следует выражение для параметра

ui	4nl 2
		,
	EF i 3

Тогда функция перемещений полностью совпадает с (5.12)

(6.8)

(6.9)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]