Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы расчета элементов конструкций подвижного состава. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

970 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

4 Метод конечных элементов (МКЭ)

В методе конечных элементов стержень разбивается на n

элементов. Рассмотрим i-й конечный элемент (рисунок 4.1) длиной hi.

	n
u1					u2	x
u1					u2	x

1				2
Рисунок 4.1 - Конечный элемент;
x – локальная координата; u		, u	2	– локальная нумерация узловых
1			2

перемещений (1,2 – локальная нумерация узлов).

В пределах каждого конечного элемента функцию перемещения представляем в виде линейной функции

u x	0		x.
	0	1

Для определения параметров граничные условия:

x 0,	u 0	u		,
		1
x h, u h u			.
		2

	,	1
0		1

(4.1)

имеем следующие

(4.2)

Из этих условий после подстановки их в (4.1) получаем

	u	,		1	u		u
0			1			2
	1			h			1

Выражение (5.1) с учетом (5.3) приобретают вид:

u x					x			x	u		;
u x		1			u				u		;
					h	1		h		2
					h			h
Введем обозначения
1	x	N		x ,		x	N			x
1		N		x ,			N		2	x
	h		1			h			2
	h					h

(4.3)

(4.4)

(4.5)

и назовем N1 и N2 функциями формы (очевидно,

N1(h)=0, N2(0)=0, N2(h)=1), тогда (4.4) можно записать форме

u x N u N		u		N		N	u		N
u x N u N		u	2	N	1	N		1	N
1 1	2		2		1	2
							u	2
								2

что N1(0)=1,

в матричной

u	;	(4.6)
e

где (N) - матрица-строка функций форм

N N	N	2,	,
1		2,

ue - вектор узловых перемещений конечного элемента

ue	u
ue		1 .

	u	2
		2

(4.7)

(4.8)

Запишем функционал координат X0Y

	1	l
Э
		EF
	2	0

энергии стержня в глобальной системе

du X		2	l	(4.9)
				(4.9)
	dХ nu X dX .
	dХ nu X dX .
dX			0
			0

Условие минимума или стационарности функционала – равенство нулю его первой вариации:

du X du X			l	(4.10)
du X du X			dX n u X dX 0.	(4.10)
EF
EF
	dX	dX	0

Для отдельного конечного элемента

du X	du x		(4.11)
		,
dX	dx

поэтому при нагрузке постоянной в пределах конечного элемента

		h		du x du x					h
	n	i		du x du x				n	i
			i							i
Э			EF		dx	dx	dx			u x n dx 0.
	i 1	0			dx	dx		i 1	0
		0							0

Раскроем выражения, входящие в (4.12) с учетом (4.11):

(4.12)

du x

(4.13)

N u

N ,

u x u

N .

Обозначив для компактности

N ,

N N ,

перепишем (4.13)

du x

u x u

N .

N ,

и внесем в (4.12)

(4.14)

(4.15)

N N u

N N n

dx 0.

i 1

k 1

EF ue N N ue dx

ue N n dx 0. (4.16)

i 1

Введем обозначения:

R	EF	h
		i	N N dx
			N N dx
e	i
e
		0

- матрица жесткости конечного элемента;

(4.17)

B	h
	i
	N dx
e
	0

(4.18)

- матрица преобразования нагрузки.

С учетом введенных обозначений

Э ue

Re ue ue Be ni 0.

i 1

и B

i 1

Вычислим значения R

Re EF

N1 N2

dx EF

(4.19)

(4.20)

						x
				1					1
	i			k				h	1
Be	h	N dx	h			h		h

					x	i	dx	2	1
	0		0		x			2	1
	0		0
					h
					i

Таким образом, матрица жесткости i–го элемента

R	EF 1			1
e		i
	h		1	1

	i

и вектор нагрузки i–го элемента

Pe nhi 1

2 1

(4.21)

(4.22)

(4.23)

Для всей системы (стержня) после суммирования и сокращения на вариацию вектора узловых перемещений, приходим к окончательной записи матричного уравнения метода конечных элементов

R U P 0,

(4.24)

где [R] - матрица жесткости всей системы, формирующаяся в

соответствии с топологией системы;

{U} - вектор неизвестных узловых перемещений;

{P} - грузовой вектор системы.

4.1 Решение МКЭ для стержня постоянного сечения

Разобьем стержень на шесть равных участков и пронумеруем

узлы.

EF, n, l

						х
1	2	3	4	5	6	7

Рисунок 4.2 – Конечно-элементная схема

При одинаковых геометрических и физических характеристиках матрицы жесткости для всех конечных элементов будут одинаковы

R			1	1
	EF
e

	h			1
		1

(4.25)

Ввиду равенства нагрузки по длине стержня будут одинаковы и векторы нагрузки

P
e

nh 2

(4.26)

Далее формируем глобальную матрицу жесткости последовательным наложением по главной диагонали матриц жесткости конечных элементов. Блоки матриц одного и того же узла соседних конечных элементов суммируются.

		1	1	0		0		0		0		0

		1	2		1	0		0		0		0
		1	2		1	0		0		0		0

		0	1		2		1	0		0		0
R	EF
	EF	0	0		1		2		1	0		0
	h	0	0		1		2		1	0		0

		0	0	0			1		2		1	0
		0	0	0			1		2		1	0

		0	0	0		0			1		2
		0	0	0		0			1		2	1

		0	0	0		0		0			1	1
		0	0	0		0		0			1	1

Аналогично формируем и вектор правой части.

		1
		2
		1
		1

		1


	P nh	1
		1


		1
		1
		1
		2

Разрешающая система уравнений примет вид

(4.27)

(4.28)

	1		1	0	0	0	0	0	u			1
										1		2
										1
		1	2	1	0	0	0	0	u			1
										2
	0		1	2	1	0	0	0	u			1
	0		1	2	1	0	0	0	u	3		1
EF										3
EF		0	0	1	2	1	0	0			nh	1
		0	0	1	2	1	0	0	u	4	nh	1
h										4
h		0	0	0	1	2	1	0				1
		0	0	0	1	2	1	0	u			1
										5
										5
		0	0	0	0	1	2	1	u	6		1
										6
		0	0	0	0	0	1	1				1
		0	0	0	0	0	1	1	u			1
										7
												2

(4.29)

В методе конечных элементов учитываются только геометрические граничные условия путем обнуления строки и столбца с общим диагональным элементом – множителем при нулевом перемещении (сам диагональный элемент при этом не обнуляется) и

соответствующего элемента грузового вектора. Так, для первого варианта граничных условий (две жесткие заделки) будем иметь

	1 0		0	0	0	0	0	u1	0
			1 0
	0 2		1 0		0	0	0	u2		1
	0	1	2 1 0			0	0	u3		1
EF
	0 0		1	2 1		0	0	u4	nh	1
h	0 0		1	2 1		0	0	u4	nh	1
h	0 0		0	1 2		1 0		u		1
					1			5
	0 0		0	0	1	2 0		u6	1

	0 0		0	0	0	0	1	u7		0

Для второго варианта граничных условий (рисунок 2.3)

	1	0	0	0	0	0	0	u			0
									1
		2	1	0	0	0	0				1
	0	2	1	0	0	0	0	u			1
									2
									2
	0	1	2	1	0	0	0	u	3		1
EF									3
EF		0	1	2	1	0	0			nh	1
	0	0	1	2	1	0	0	u	4	nh	1
h									4
h		0	0	1	2	1	0				1
	0	0	0	1	2	1	0	u
									5
									5
	0	0	0	0	1	2	1	u	6		1
									6
		0	0	0	0	1	1				1
	0	0	0	0	0	1	1	u			2
									7		2

Решение систем уравнений производится так же, как и в методе конечных разностей

1	P	(4.30)
U R

Решение при помощи таблиц Excel представлено ниже.

Рисунок 4.3 - Решение МКЭ для геометрических граничных условий

В случае приложения сосредоточенной нагрузки в узлах системы

P1		P2
u1		x


1	2
	Рисунок 4.4

вектор нагрузки конечного элемента приобретает вид

P	1	P
P			1
e			1
	2		P
			2

По принципу независимости действия сил для следующего примера (рисунок 2.6) можно записать

(4.31)

	1	0	0	0	0	0	0	u		0
									1
									1
		2	1	0	0	0	0			nh
	0	2	1	0	0	0	0	u		nh
									2	nh
	0	1	2	1	0	0	0	u		nh
	0	1	2	1	0	0	0	u	3
EF									3
EF		0	1	2	1	0	0			nh
	0	0	1	2	1	0	0	u	4	nh
h									4
h		0	0	1	2	1	0			nh
										nh
	0							u
									5
									5
	0	0	0	0	1	2	1	u	6	nh
									6	nh P
		0	0	0	0	1	1			nh P
	0	0	0	0	0	1	1	u
									7	2
										2

Пример решения в Excel представлен ниже.

Рисунок 4.5 - Решение МКЭ для смешанных граничных условий

4.2Решение МКЭ для стержня с переменными по длине характеристиками

Рассмотрим решение примера со смешанными граничными условиями (рисунок 2.9). Систему разобьем на восемь участков и найдем длину конечного элемента

				h	l1 l2 .
				h	8
					8
	EF			n					Р
									Р

1	2	3	4	5	6	7	8	9	Х
1	2	3	4	5	6	7	8	9
	h		l1				l2
			l1				l2

Рисунок 4.6

Сформируем матрицу жесткости, грузовой вектор и вектор узловых перемещений. Наложим граничные условия.

	1	0	0	0	0	0	0	0	0	u			0
												1
		2	1	0	0	0	0	0	0					nh
	0									u
												2

	0	1	2	1	0	0	0	0	0	u		3	nh

		0	1	2	1	0	0	0	0					nh
	0									u		4

EF		0	0	1	2	1	0	0	0				nh
	0									u		5
h														2
		0	0	0	1	2	1	0	0
	0									u		6		0

						1		1
		0	0	0	0		2		0	u
	0													0
											7
							1
														0
		0	0	0	0	0		2		u
	0								1
												8
		0	0	0	0	0	0	1	1	u
	0											9		P

Решение в Excel представлено ниже.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

		1	1	0		0		0		0		0

		1	2		1	0		0		0		0
		1	2		1	0		0		0		0

		0	1		2		1	0		0		0
R	EF
	EF	0	0		1		2		1	0		0
	h	0	0		1		2		1	0		0

		0	0	0			1		2		1	0
		0	0	0			1		2		1	0

		0	0	0		0			1		2
		0	0	0		0			1		2	1

		0	0	0		0		0			1	1
		0	0	0		0		0			1	1

	1		1	0	0	0	0	0	u			1
										1		2
										1
		1	2	1	0	0	0	0	u			1
										2
	0		1	2	1	0	0	0	u			1
	0		1	2	1	0	0	0	u	3		1
EF										3
EF		0	0	1	2	1	0	0			nh	1
		0	0	1	2	1	0	0	u	4	nh	1
h										4
h		0	0	0	1	2	1	0				1
		0	0	0	1	2	1	0	u			1
										5
										5
		0	0	0	0	1	2	1	u	6		1
										6
		0	0	0	0	0	1	1				1
		0	0	0	0	0	1	1	u			1
										7
												2

	1	0	0	0	0	0	0	u			0
									1
		2	1	0	0	0	0				1
	0	2	1	0	0	0	0	u			1
									2
									2
	0	1	2	1	0	0	0	u	3		1
EF									3
EF		0	1	2	1	0	0			nh	1
	0	0	1	2	1	0	0	u	4	nh	1
h									4
h		0	0	1	2	1	0				1
	0	0	0	1	2	1	0	u
									5
									5
	0	0	0	0	1	2	1	u	6		1
									6
		0	0	0	0	1	1				1
	0	0	0	0	0	1	1	u			2
									7		2

	1	0	0	0	0	0	0	0	0	u			0
												1
		2	1	0	0	0	0	0	0					nh
	0									u
												2

	0	1	2	1	0	0	0	0	0	u		3	nh

		0	1	2	1	0	0	0	0					nh
	0									u		4

EF		0	0	1	2	1	0	0	0				nh
	0									u		5
h														2
		0	0	0	1	2	1	0	0
	0									u		6		0

						1		1
		0	0	0	0		2		0	u
	0													0
											7
							1
														0
		0	0	0	0	0		2		u
	0								1
												8
		0	0	0	0	0	0	1	1	u
	0											9		P

		1	1	0		0		0		0		0

		1	2		1	0		0		0		0
		1	2		1	0		0		0		0

		0	1		2		1	0		0		0
R	EF
	EF	0	0		1		2		1	0		0
	h	0	0		1		2		1	0		0

		0	0	0			1		2		1	0
		0	0	0			1		2		1	0

		0	0	0		0			1		2
		0	0	0		0			1		2	1

		0	0	0		0		0			1	1
		0	0	0		0		0			1	1

	1		1	0	0	0	0	0	u			1
										1		2
										1
		1	2	1	0	0	0	0	u			1
										2
	0		1	2	1	0	0	0	u			1
	0		1	2	1	0	0	0	u	3		1
EF										3
EF		0	0	1	2	1	0	0			nh	1
		0	0	1	2	1	0	0	u	4	nh	1
h										4
h		0	0	0	1	2	1	0				1
		0	0	0	1	2	1	0	u			1
										5
										5
		0	0	0	0	1	2	1	u	6		1
										6
		0	0	0	0	0	1	1				1
		0	0	0	0	0	1	1	u			1
										7
												2

	1	0	0	0	0	0	0	u			0
									1
		2	1	0	0	0	0				1
	0	2	1	0	0	0	0	u			1
									2
									2
	0	1	2	1	0	0	0	u	3		1
EF									3
EF		0	1	2	1	0	0			nh	1
	0	0	1	2	1	0	0	u	4	nh	1
h									4
h		0	0	1	2	1	0				1
	0	0	0	1	2	1	0	u
									5
									5
	0	0	0	0	1	2	1	u	6		1
									6
		0	0	0	0	1	1				1
	0	0	0	0	0	1	1	u			2
									7		2

	1	0	0	0	0	0	0	0	0	u			0
												1
		2	1	0	0	0	0	0	0					nh
	0									u
												2

	0	1	2	1	0	0	0	0	0	u		3	nh

		0	1	2	1	0	0	0	0					nh
	0									u		4

EF		0	0	1	2	1	0	0	0				nh
	0									u		5
h														2
		0	0	0	1	2	1	0	0
	0									u		6		0

						1		1
		0	0	0	0		2		0	u
	0													0
											7
							1
														0
		0	0	0	0	0		2		u
	0								1
												8
		0	0	0	0	0	0	1	1	u
	0											9		P

		1	1	0		0		0		0		0

		1	2		1	0		0		0		0
		1	2		1	0		0		0		0

		0	1		2		1	0		0		0
R	EF
	EF	0	0		1		2		1	0		0
	h	0	0		1		2		1	0		0

		0	0	0			1		2		1	0
		0	0	0			1		2		1	0

		0	0	0		0			1		2
		0	0	0		0			1		2	1

		0	0	0		0		0			1	1
		0	0	0		0		0			1	1

	1		1	0	0	0	0	0	u			1
										1		2
										1
		1	2	1	0	0	0	0	u			1
										2
	0		1	2	1	0	0	0	u			1
	0		1	2	1	0	0	0	u	3		1
EF										3
EF		0	0	1	2	1	0	0			nh	1
		0	0	1	2	1	0	0	u	4	nh	1
h										4
h		0	0	0	1	2	1	0				1
		0	0	0	1	2	1	0	u			1
										5
										5
		0	0	0	0	1	2	1	u	6		1
										6
		0	0	0	0	0	1	1				1
		0	0	0	0	0	1	1	u			1
										7
												2

	1	0	0	0	0	0	0	u			0
									1
		2	1	0	0	0	0				1
	0	2	1	0	0	0	0	u			1
									2
									2
	0	1	2	1	0	0	0	u	3		1
EF									3
EF		0	1	2	1	0	0			nh	1
	0	0	1	2	1	0	0	u	4	nh	1
h									4
h		0	0	1	2	1	0				1
	0	0	0	1	2	1	0	u
									5
									5
	0	0	0	0	1	2	1	u	6		1
									6
		0	0	0	0	1	1				1
	0	0	0	0	0	1	1	u			2
									7		2

	1	0	0	0	0	0	0	0	0	u			0
												1
		2	1	0	0	0	0	0	0					nh
	0									u
												2

	0	1	2	1	0	0	0	0	0	u		3	nh

		0	1	2	1	0	0	0	0					nh
	0									u		4

EF		0	0	1	2	1	0	0	0				nh
	0									u		5
h														2
		0	0	0	1	2	1	0	0
	0									u		6		0

						1		1
		0	0	0	0		2		0	u
	0													0
											7
							1
														0
		0	0	0	0	0		2		u
	0								1
												8
		0	0	0	0	0	0	1	1	u
	0											9		P