Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы расчета элементов конструкций подвижного состава. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

970 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

EF, n, l

1	2	3	4	5
	h

Рисунок 3.2

Дифференциальное уравнение упругого равновесия (1.5)

записывается в конечно-разностной форме для каждого узла, причем для внутренних точек – центральными, для крайней левой – левой, а

для крайней правой – правой.

						nh
						2
u	1	2u	2	u	3
	1		2		3	2EF
						2EF
						nh
						nh
						2
u	1	2u	2	u	3
	1		2		3	EF
						EF
						nh
						nh
						2
u	2	2u	3	u	4
	2		3		4	EF
						EF
						nh
						2
u	3	2u	4	u	5
	3		4		5	EF
						EF
						nh
						nh	2
							2
u	3	2u	4	u	5
	3		4		5	2EF
						2EF

(3.2)

Следует обратить внимание на то, что для крайних точек берется половина значения функции нагрузки, т. к. за ними стержень не существует.

Наложим граничные условия.

1. Геометрические граничные условия

EF, n, l

1	2	3	4	5
	h

Рисунок 3.3 - Узловые точки для геометрических граничных условий Учет однородных геометрических граничных условий (u1=u5=0)

приводит к системе трех алгебраических уравнений

					nh
						2
2u	2	u	3		EF		;
	2		3

					nh
					nh
						2
u2		2u3		u4	EF		;
					EF
						nh
							2
		u3		2u4		EF		.
						EF

(3.3)

решая которые находим значения узловых перемещений.

Для решения в Excel представим систему (3.3) в матричном

виде.

				nh2

2		1 0	u2	EF2

					(3.4)
				nh
	1	2 1	u3
	1	2 1	u3	EF2
			u
	0	1 2	u
			4	nh
				EF

Тогда решение запишется следующим образом

					nh2
				1
u2	2		1 0		EF2

						.	(3.5)
					nh
u3		1	2 1
u3		1	2 1		EF2
u
u		0	1 2
4					nh
					EF

Результаты расчета и графики представлены ниже.

Рисунок 3.4 – Решение МКР для геометрических граничных условий

Следует помнить, что запись дифференциального уравнения в конечноразностной форме означает линейную аппроксимацию поля перемещений между узловыми точками. Что и отображено на графике.

Узловые значения перемещений совпадают со значениями,

полученными в точном решении.

Переход от перемещений к усилиям осуществляется с помощью конечно-разностного соотношения

N		EF	ui 1 ui	mEF	u		u	.
	i					i 1
			h	l			i

Так как функция перемещений в этом случае кусочно–линейная,

то усилие, выражающееся через первую производную от перемещения,

будет изображаться кусочно–постоянной функцией.

2. Рассмотрим смешанные граничные условия

EF, n, l

1	2	3	4	5	6
	h

Рисунок 3.5 - Узловые точки для смешанных граничных условий

При x=0 остается, как и прежде, u(0)=u1=0. На правом торце

N(l)=0, а значит

EF	du	0 .
	dx
		x l

В конечно-разностной форме это

выражение имеет вид:

u	5	u	4	0, т.е. u		u		.
	5		4		5		4
		h

(3.6)

Такая запись накладывает дополнительные условия на область решения. Обычно вводят «законтурную» точку (точка 6) и статическое граничное условие определяется в этом случае соотношением:

u	6	u	5	0, откуда	u		u		.
	6		5
		h				6		5
						6		5	(3.7)


Теперь никаких		дополнительных			условий не накладывается.

Точка 5 становится внутренней и система конечноразностных уравнений с учетом граничных условий запишется так (из левого геометрического граничного условия следует, что u1=0):

														nh	2
															2
u	1	2u		2	u	3
	1			2		3								EF
														EF
														nh
														nh
														2
		u	2		2u		3	u	4					EF
			2				3		4
														nh	2
															2
					u			2u				u
					u		3	2u			4	u	5	EF
							3				4		5
														nh		2
																2
								u				u
								u		4		u	5	2EF
										4			5

Или в матричном виде

(3.8)

								nh	2
								EF
							1
u		2		1	0	0	1
u		2		1	0	0		nh	2
	2							nh
	2
			1	2	1	0
u			1	2	1	0		EF
	3							EF
		0		1	2	1		nh	2
u		0		1	2	1		nh
	4
	4
			0	0	1			EF
u	5		0	0	1	1
	5							nh	2
									2

								2EF

(3.9)

В отличие от предыдущего примера размер разрешающей системы уравнений увеличился на единицу.

Результат решения в Excel представлен на рисунке 3.6.

Рисунок 3.6 - Решение МКР для смешанных граничных условий

3. Изменим силовые граничные условия предыдущего примера приложив сосредоточенную силу Р на свободном конце стержня.

EF, n, l
				Р	х
1	2	3	4	5	6
	h

Рисунок 3.7

Тогда

P .

x l

откуда

(3.10)

(3.11)

														nh	2
															2
u	1	2u		2	u	3
	1			2		3								EF
														EF
														nh
														nh
														2
		u	2		2u		3	u	4					EF
			2				3		4					EF
														nh	2
															2
					u			2u				u
					u		3	2u			4	u	5	EF
							3				4		5	EF
														nh		2	Ph
																2
								u				u
								u		4		u	5	2EF			EF
										4			5

Переходя к матричной форме записи, будем иметь

(3.12)

									nh	2
										2
									EF
							1
u		2		1	0	0	1
u		2		1	0	0			nh	2
	2								nh
	2
			1	2	1	0
u			1	2	1	0			EF
	3								EF
		0		1	2	1			nh	2
u		0		1	2	1			nh
	4
	4
			0	0	1				EF
u	5		0	0	1	1
	5							nh	2		Ph
									2

								2EF			EF

(3.13)

Таким образом, изменения отразились только на векторе правой

части.

Результат решения в Excel представлен на рисунке 3.8.

Рисунок 3.8- Решение МКР для смешанных граничных условий

3.2Решение МКР для стержня с переменными по длине характеристиками

Здесь для рассмотрения сразу возьмем шесть участков. Для хорошей сходимости рекомендуется размещать узлы в местах изменения нагрузки, геометрических и физических параметров.

								Р
1	2	3	4	5	6	7	8	х
	h
Рисунок 3.9		– Схема узлов для стержня с различными по длине
			характеристиками

Во всем прочем решение не отличается от предыдущего.

Сразу запишем решение системы уравнений в матричной форме

										nh	2
u2		2						0	1	EF
				1	0	0	0		1

										nh	2
											2
			1	2	1	0	0	0
u			1	2	1	0	0	0
	3									EF
	4	0		1	2	1	0	0		nh
u		0		1	2	1	0	0			2
			0	0	1	2	1	0
u	5		0	0	1	2	1	0		2EF
	5									2EF
			0	0	0	1	2	1		0
u	6		0	0	0	1	2	1
	6
										0
		0		0	0	0	1	1		0
u		0		0	0	0	1	1
	7									Ph
										Ph

										EF

(3.14)

Здесь вектор правой части сформирован с учетом приложения нагрузки: для 2, 3 и 4 узлов – распределенная, в 7 узле – сосредоточенная. Граничные условия учтены аналогично предыдущему примеру.

Результат решения в Excel представлен ниже.

Рисунок 3.10 - Решение МКР для смешанных граничных условий

3.3 Задачи для самостоятельного решения

1.Для 6, 8 и 14 участков произвести расчет МКР и построить графики изменения перемещений для трех вариантов граничных условий.

2.Для схемы, приведенной на рисунке 2.12, произвести расчет МКР и построить графики изменения перемещений и по длине стержня. Привести решения для 6, 8 и 14 участков разбиения.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

						nh
						2
u	1	2u	2	u	3
	1		2		3	2EF
						2EF
						nh
						nh
						2
u	1	2u	2	u	3
	1		2		3	EF
						EF
						nh
						nh
						2
u	2	2u	3	u	4
	2		3		4	EF
						EF
						nh
						2
u	3	2u	4	u	5
	3		4		5	EF
						EF
						nh
						nh	2
							2
u	3	2u	4	u	5
	3		4		5	2EF
						2EF

														nh	2
															2
u	1	2u		2	u	3
	1			2		3								EF
														EF
														nh
														nh
														2
		u	2		2u		3	u	4					EF
			2				3		4
														nh	2
															2
					u			2u				u
					u		3	2u			4	u	5	EF
							3				4		5
														nh		2
																2
								u				u
								u		4		u	5	2EF
										4			5

								nh	2
								EF
							1
u		2		1	0	0	1
u		2		1	0	0		nh	2
	2							nh
	2
			1	2	1	0
u			1	2	1	0		EF
	3							EF
		0		1	2	1		nh	2
u		0		1	2	1		nh
	4
	4
			0	0	1			EF
u	5		0	0	1	1
	5							nh	2
									2

								2EF

														nh	2
															2
u	1	2u		2	u	3
	1			2		3								EF
														EF
														nh
														nh
														2
		u	2		2u		3	u	4					EF
			2				3		4					EF
														nh	2
															2
					u			2u				u
					u		3	2u			4	u	5	EF
							3				4		5	EF
														nh		2	Ph
																2
								u				u
								u		4		u	5	2EF			EF
										4			5

									nh	2
										2
									EF
							1
u		2		1	0	0	1
u		2		1	0	0			nh	2
	2								nh
	2
			1	2	1	0
u			1	2	1	0			EF
	3								EF
		0		1	2	1			nh	2
u		0		1	2	1			nh
	4
	4
			0	0	1				EF
u	5		0	0	1	1
	5							nh	2		Ph
									2

								2EF			EF

										nh	2
u2		2						0	1	EF
				1	0	0	0		1

										nh	2
											2
			1	2	1	0	0	0
u			1	2	1	0	0	0
	3									EF
	4	0		1	2	1	0	0		nh
u		0		1	2	1	0	0			2
			0	0	1	2	1	0
u	5		0	0	1	2	1	0		2EF
	5									2EF
			0	0	0	1	2	1		0
u	6		0	0	0	1	2	1
	6
										0
		0		0	0	0	1	1		0
u		0		0	0	0	1	1
	7									Ph
										Ph

										EF

						nh
						2
u	1	2u	2	u	3
	1		2		3	2EF
						2EF
						nh
						nh
						2
u	1	2u	2	u	3
	1		2		3	EF
						EF
						nh
						nh
						2
u	2	2u	3	u	4
	2		3		4	EF
						EF
						nh
						2
u	3	2u	4	u	5
	3		4		5	EF
						EF
						nh
						nh	2
							2
u	3	2u	4	u	5
	3		4		5	2EF
						2EF

														nh	2
															2
u	1	2u		2	u	3
	1			2		3								EF
														EF
														nh
														nh
														2
		u	2		2u		3	u	4					EF
			2				3		4
														nh	2
															2
					u			2u				u
					u		3	2u			4	u	5	EF
							3				4		5
														nh		2
																2
								u				u
								u		4		u	5	2EF
										4			5

								nh	2
								EF
							1
u		2		1	0	0	1
u		2		1	0	0		nh	2
	2							nh
	2
			1	2	1	0
u			1	2	1	0		EF
	3							EF
		0		1	2	1		nh	2
u		0		1	2	1		nh
	4
	4
			0	0	1			EF
u	5		0	0	1	1
	5							nh	2
									2

								2EF

														nh	2
															2
u	1	2u		2	u	3
	1			2		3								EF
														EF
														nh
														nh
														2
		u	2		2u		3	u	4					EF
			2				3		4					EF
														nh	2
															2
					u			2u				u
					u		3	2u			4	u	5	EF
							3				4		5	EF
														nh		2	Ph
																2
								u				u
								u		4		u	5	2EF			EF
										4			5

									nh	2
										2
									EF
							1
u		2		1	0	0	1
u		2		1	0	0			nh	2
	2								nh
	2
			1	2	1	0
u			1	2	1	0			EF
	3								EF
		0		1	2	1			nh	2
u		0		1	2	1			nh
	4
	4
			0	0	1				EF
u	5		0	0	1	1
	5							nh	2		Ph
									2

								2EF			EF

										nh	2
u2		2						0	1	EF
				1	0	0	0		1

										nh	2
											2
			1	2	1	0	0	0
u			1	2	1	0	0	0
	3									EF
	4	0		1	2	1	0	0		nh
u		0		1	2	1	0	0			2
			0	0	1	2	1	0
u	5		0	0	1	2	1	0		2EF
	5									2EF
			0	0	0	1	2	1		0
u	6		0	0	0	1	2	1
	6
										0
		0		0	0	0	1	1		0
u		0		0	0	0	1	1
	7									Ph
										Ph

										EF

						nh
						2
u	1	2u	2	u	3
	1		2		3	2EF
						2EF
						nh
						nh
						2
u	1	2u	2	u	3
	1		2		3	EF
						EF
						nh
						nh
						2
u	2	2u	3	u	4
	2		3		4	EF
						EF
						nh
						2
u	3	2u	4	u	5
	3		4		5	EF
						EF
						nh
						nh	2
							2
u	3	2u	4	u	5
	3		4		5	2EF
						2EF

														nh	2
															2
u	1	2u		2	u	3
	1			2		3								EF
														EF
														nh
														nh
														2
		u	2		2u		3	u	4					EF
			2				3		4
														nh	2
															2
					u			2u				u
					u		3	2u			4	u	5	EF
							3				4		5
														nh		2
																2
								u				u
								u		4		u	5	2EF
										4			5

								nh	2
								EF
							1
u		2		1	0	0	1
u		2		1	0	0		nh	2
	2							nh
	2
			1	2	1	0
u			1	2	1	0		EF
	3							EF
		0		1	2	1		nh	2
u		0		1	2	1		nh
	4
	4
			0	0	1			EF
u	5		0	0	1	1
	5							nh	2
									2

								2EF

														nh	2
															2
u	1	2u		2	u	3
	1			2		3								EF
														EF
														nh
														nh
														2
		u	2		2u		3	u	4					EF
			2				3		4					EF
														nh	2
															2
					u			2u				u
					u		3	2u			4	u	5	EF
							3				4		5	EF
														nh		2	Ph
																2
								u				u
								u		4		u	5	2EF			EF
										4			5

									nh	2
										2
									EF
							1
u		2		1	0	0	1
u		2		1	0	0			nh	2
	2								nh
	2
			1	2	1	0
u			1	2	1	0			EF
	3								EF
		0		1	2	1			nh	2
u		0		1	2	1			nh
	4
	4
			0	0	1				EF
u	5		0	0	1	1
	5							nh	2		Ph
									2

								2EF			EF

										nh	2
u2		2						0	1	EF
				1	0	0	0		1

										nh	2
											2
			1	2	1	0	0	0
u			1	2	1	0	0	0
	3									EF
	4	0		1	2	1	0	0		nh
u		0		1	2	1	0	0			2
			0	0	1	2	1	0
u	5		0	0	1	2	1	0		2EF
	5									2EF
			0	0	0	1	2	1		0
u	6		0	0	0	1	2	1
	6
										0
		0		0	0	0	1	1		0
u		0		0	0	0	1	1
	7									Ph
										Ph

										EF