Методы расчета элементов конструкций подвижного состава. Учебно-методическое пособие
.pdf
|
|
4nl |
2 |
n |
1 |
|
i x |
|
||
u |
|
|
|
|
sin |
. |
||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|||||
i |
|
EF |
|
i |
|
l |
|
|||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||
6.2 Смешанные граничные условия
Для смешанных граничных условий (рисунок 2.6) будем использовать ту же аппроксимирующую функцию, что и в методе Бубнова-Галеркина
n |
|
i x |
Px |
u x ui |
sin |
2l |
. |
i 1 |
|
EF |
Запишем выражения для потенциальной энергии деформации
|
|
|
|
|
|
|
EF |
l |
|
|
|
|
n |
|
i |
|
|
i x |
|
|
P |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
ui |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2l |
cos |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
EF |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
l |
n |
|
2 |
i |
|
2 |
|
|
2 |
i x |
|
n |
|
|
|
i |
j |
|
|
|
i x |
|
j x |
|
||||
|
|
ui |
|
|
cos |
|
|
|
|
2 ui u j |
|
|
|
|
cos |
|
cos |
|
|
|||||||||||
|
2 |
0 |
i 1 |
|
|
2l |
|
|
|
|
|
2l |
|
j i |
|
|
|
2l |
2l |
|
|
|
2l |
|
2l |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
i |
cos |
i x |
|
|
P |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
2l |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(6.10)
Как упоминалось ранее, второй интеграл в силу ортогональности функции обращается в ноль, а два других будут
равны
l |
2 i x |
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
i x |
|
|
1 |
|
|
2l |
|
|
i x l |
|
l |
||||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
dx |
|
1 |
cos |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
2l |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
2l |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2l 0 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
i x |
|
|
21 |
|
|
i x |
l |
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
dx |
sin |
|
( 1) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2l |
i |
|
2l |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь k – номер члена ряда (как и ранее, рассматриваются |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
только нечетные гармоники). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Выражение (6.10) приобретает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
U |
|
EF |
|
2 |
i |
2 |
l |
|
2ui |
i P |
( 1) |
k |
|
2l |
|
|
|
(6.11) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2l EF |
|
|
i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа внешних сил
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
i x |
|
Px |
|
|
|
|
|
|
|||||
A n u(x)dx Pu(l) n |
ui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
sin |
|
2l |
|
EF |
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
Pl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
P |
ui |
sin |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Интегрируя, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2l |
|
|
|
Pl |
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
k |
|
Pl |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
u 1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
A n u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
i |
i |
|
|
2EF |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
EF |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Из условия минимума функционала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Э |
|
(U A) |
|
EF |
|
|
|
|
|
i |
|
|
2 |
l |
|
|
|
|
|
i |
P |
|
|
|
2l |
|
|
||||||||
|
|
|
2u |
|
|
|
|
2 |
(1) |
k |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i |
|
2l |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2l EF |
|
|
|
i |
|
|
||||||||
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
u |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
i |
P 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
получаем выражение для параметра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16nl |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ui |
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
EF i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
После подстановки получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
u x |
|
16nl |
2 |
|
|
n |
1 |
|
|
|
i x |
|
|
Px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
EF |
3 |
|
i |
3 |
|
2l |
|
|
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Это выражение полностью совпадает с (5.21).
6.3 Задачи для самостоятельного решения.
(6.12)
(6.13)
(6.14)
(6.15)
Найти решение рассмотренных выше задач методом Ритца-
Тимошенко, взяв в качестве аппроксимирующей функции полиномы второй степени, удовлетворяющие граничным условиям. Построить графики зависимостей перемещений от текущей координаты.
52
Учебно-методическое издание
Быков Анатолий Иванович, Фролова Татьяна Александровна, Сергеев Иван Константинович
Методы расчета элементов конструкций подвижного состава
Учебно-методическое пособие
Изд. № 43-21
53