Методы оптимизации использования трудовых ресурсов. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н. Ульянова»

(ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»)

Глухова Н.В.

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ

Учебное пособие

Ульяновск

2017

Глухова Н.В. – кандидат биологических наук, доцент кафедры высшей математики факультета физико-математического и технологического образования

Г 55 Глухова Н.В.

Методы оптимизации использования трудовых ресурсов: учебное пособие. /

Глухова Н.В. – Ульяновск: ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова», 2017. – 55 с.

6+

Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров направления «Управление персоналом», изучающих дисциплину «Методы оптимизации использования трудовых ресурсов; для подготовки бакалавров направления «Сервис», изучающих дисциплину ««Исследование операций и методы оптимизации деятельности»; для подготовки бакалавров направления «Социальная работа», изучающих дисциплину по выбору «Методы математического программирования в социальных исследованиях»; для бакалавров направления подготовки «Педагогическое образование», изучающих дисциплину по выбору «Прикладные вопросы алгебры в экономике».

УДК 519.85+ 65.01

ББК 22.18 + 65.290

Глухова Н.В., 2017ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова», 2017

2

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, которые в будущем планируют свою деятельность связать с менеджментом различного рода организаций, а также для тех, кто интересуется возможностями применения математических методов в различных сферах деятельности. В настоящем пособии мы остановимся на применении методов оптимизации и математического программирования к вопросам управления кадрами, однако рассматриваемые в пособии методы могут быть легко перенесены на самые различные иные сферы деятельности, связанные с выбором оптимальных управленческих решений.

Пособие состоит из трех основных разделов. Первый раздел посвящен применению методов линейного программирования к управлению ограниченными трудовыми ресурсами. Особенностью задач линейного программирования является наличие линейной взаимосвязи между интересующими нас величинами. Например, если известно, что один специалист приносит организации определѐнную прибыль, можно задать вопрос – а два специалиста будут приносить прибыль вдвое большую или нет? Если справедливо, что два специалиста принесут вдвое большую прибыль, три – втрое и т.д., то мы имеем дело с линейной зависимостью. Это, однако, не всегда бывает так (для таких ситуаций более пригодны методы динамического программирования, которые мы рассмотрим во втором разделе). Как методы динамического, так и методы линейного программирования позволяют ответить на вопросы – как лучше распределить имеющихся специалистов по работам (заданиям, проектам), чтобы эффективность их деятельности была в том или ином смысле максимальна (чтобы они приносили наибольшую прибыль, либо, чтобы справились с работой за наименьший возможный срок, либо достигли заданного результата с наименьшими издержками, привлекли наибольшее число клиентов и т.п.). Кроме того, в первом разделе рассматривается методика анализа задачи линейного программирования на чувствительность к изменению ограничений. Эта методика позволяет ответить на такие вопросы – нужно ли нам искать дополнительные трудовые ресурсы, в каком количестве они нам необходимы и сколько средств мы можем на это потратить. Например, полезно знать, каких специалистов мы имеем в избытке, а каких нам необходимо найти дополнительно, сколько можно потратить средств на переподготовку излишних сотрудников по тем специальностям, которых нам не хватает. Сколько можно выделить средств на привлечение в нашу организацию специалистов, работающих в других учреждениях, или, возможно, проживающих в других городах. В конце первого раздела описаны методы, позволяющие разобраться в ответах на данные вопросы. Во втором разделе также рассмотрен вопрос о найме сезонных рабочих. Третий раздел посвящен определению оптимального количества персонала в системах массового обслуживания, то есть в системах, в которые обращаются случайные клиенты в случайные моменты времени.

3

Раздел 1. Методы линейного программирования в оптимизации трудовых ресурсов

Под экономико-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического процесса. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Запись абстрактной математической формулировки задачи называют ее моделью. Прежде чем построить математическую модель задачи, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого полезно ответить на следующие вопросы:

Что является искомыми величинами задачи? (эти величины нужно обозначить переменными и зафиксировать). Какова цель решения? (ту переменную, которая относится к цели обычно обозначают буквой F, а те, которые относятся к плану действий для достижения цели буквами х1, х2 ….). Какой параметр задачи служит критерием оптимальности решения, (например, прибыль, себестоимость, время и т.д.)? В каком направлении должно изменяться значение этого параметра для достижения наилучших результатов (должен ли результат стремиться к максимуму или к минимуму)? Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество имеющегося персонала и количество персонала, которое должно участвовать в том или ином производственном процессе. Если все эти соотношения являются линейными, то есть имеют вид

а1х1 + а2х2 + … + аnхn ≤ b

(знак ≤ может быть заменен знаком ≥ или = судя по смыслу задачи, а – числа), а также линейной является и функция цели, связывающая критерий качества решения F c переменными плана F = c0 + c1х1 + c2х2 + … + cnхn, то такая модель носит название задачи линейного программирования (ЗЛП).

Задача 1.1: Организация может производить продукцию двух типов, при этом участвуют специалисты двух профессий А и В. Количество специалистов, работающих в фирме, потребности в специалистах, которые требуются для производства 1 тонны продукции каждого типа, а также доход, получаемый организацией от производства одной тонны продукции, заданы в таблице.

Таблица 1.

Изучение рынка сбыта показало, что дневной спрос на продукцию второго вида не превышает спрос на продукцию первого вида более чем на 1 тонну, а продукции второго вида никогда не требуется производить более чем 2 тонны в день. Необходимо установить, какое количество заказов каждого вида надо выполнять в день, чтобы доход был максимальным.

Построим математическую модель задачи. Так как в задаче требуется установить, сколько тонн продукции каждого вида надо производить в день, искомыми величинами, а,

4

следовательно, и переменными х1 и х2 задачи являются количества производимой продукции первого и второго вида за день, соответственно. В условии задачи сформулирована цель – добиться максимального дохода. Таким образом, F – это дневной доход организации, который должен стремиться к максимуму. Величину дневного дохода назовѐм целевой функцией (ЦФ) задачи. Доход от производства первого вида продукции равен 3х1 тыс. руб. в день, а от второго вида – 2х2 тыс. руб. в день. Поэтому запишем ЦФ в виде суммы этих двух величин:

F = 3х1 + 2х2 max

Возможные объемы производства х1 и х2 ограничиваются следующими условиями:

–количество специалистов А и В, задействованных в производстве в течение дня, не может превышать количества специалистов, работающих в организации. Для специалистов А это ограничение имеет вид (см. табл. 1): 1х1 + 2х2 ≤ 6, а для специалистов В: 2х1 + 1х2 ≤ 8;

–согласно результатам изучения рыночного спроса дневной спрос на продукцию второго вида не превышает спрос на продукцию первого вида более чем на 1 тонну, то есть разница между ними должна быть не больше, чем 1: х2 – х1 ≤ 1;

–продукции второго вида никогда не требуется производить более чем 2 тонны в день:

х2 ≤ 2;

– объемы производства не могут быть отрицательными. Это условие, как правило, не присутствует в задачах линейного программирования в явном виде, а следует из соображений здравого смысла: х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид: F = 3x1 + 2x2 max

Наиболее простым методом решения задач такого типа в случае, когда переменных две, является графический метод. Рассмотрим суть графического метода в общем виде. Итак, пусть надо максимизировать (минимизировать) функцию F = c0 + c1x1 + c2x2, удовлетворяющую системе ограничений:

Каждое из неравенств задачи определяет на координатной плоскости (х1, х2) некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих полуплоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР).

Обратимся к одному из неравенств системы ограничений.

принадлежать одной из полуплоскостей, на которые разбивается плоскость этой прямой. Поэтому временно заменим все знаки неравенств в системе ограничений на равенства. Получим уравнения прямых, которые не сложно построить на

5

графике по двум точкам. Затем для каждой прямой определим полуплоскость, удовлетворяющую соответствующему неравенству в исходной системе

ограничений. Для этого выберем некоторую точку ( x10 , x20 ) на плоскости, не

лежащую на данной прямой, и проверим, удовлетворяют ли еѐ координаты исходному неравенству. Если да, штрихуем ту полуплоскость, которая содержит данную точку, если нет, то противоположную.

Замечание. Если bi 0 , то проще всего взять точку (0;0).

полуплоскости (х1 ≥ 0 – левую координатную полуплоскость, х2 ≥ 0 – верхнюю), поэтому надо рассматривать только те части графика, которые расположены в первой координатной четверти. Полуплоскости, пересекаясь, выделяют некоторую общую часть, представляющую собой совокупность точек, координаты которых являются решением данной системы – область (множество) допустимых решений (ОДР). В результате возможен один из следующих четырѐх случаев: 1) область допустимых решений – выпуклый многоугольник (см. рис. 1, ОДР заштрихована) – в этом случае целевая функция достигает на этом множестве как максимального, так и минимального значения;

2) область допустимых значений не ограниченна (см. рис. 2) – допустимых решений множество, но оптимального среди них может и не быть (на практике такая ситуация означает, как правило, что не все реальные ограничения учтены в модели); 3) ОДР – пустое множество, не содержащее в себе ни одной точки (см. рис. 3) – это означает, что система ограничений не совместна и допустимых решений нет вообще; 4) ОДР вырождается в точку (тогда это единственное решение, удовлетворяющее данной системе ограничений, оно даѐт одновременно и максимальное и минимальное значение целевой функции), либо в отрезок (тогда один из концов отрезка даѐт при подстановке в целевую функцию максимальное значение, другой – минимальное; заметим, что эти значения могут совпадать в концах отрезка).

Рассмотрим подробнее случай, когда область допустимых решений образует многоугольник. Задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки многоугольника, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение. Эти значения достигаются в некоторых вершинах многоугольника.

Для определения той вершины, в которой достигается максимум или минимум можно воспользоваться следующим правилом. Смотрим на целевую

6

функцию F= c0 + c1x1 + c2x2 и откладываем точку с координатами, которые являются коэффициентами при переменных в целевой функции (с1, с2). Соединяя эту точку с началом координат, строим вектор с началом в точке (0, 0) и концом в точке (с1, с2), этот вектор показывает направление, в котором растѐт целевая функция. Из всех вершин многоугольника опустим перпендикуляры на прямую, проходящую через начало координат параллельно нашему вектору (вектор лежит на чертеже на данной прямой) и рассмотрим основания перпендикуляров, лежащие на этой прямой. Точка, из которой опущен перпендикуляр, основание которого лежит первым (двигаясь по направлению вектора) будет соответствовать минимуму ЦФ, а точка, из которой опущен перпендикуляр, основание которого будет последним – максимуму.

Замечание: если ОДР не ограничена (рис. 2), то можно представить, что одна из вершин многоугольника находится за пределами чертежа. Отодвигая мысленно эту точку дальше и дальше и проводя из неѐ перпендикуляры, можно увидеть, является она «максимум» или «минимумом», т.е. движутся ли основания перпендикуляров в сторону вектора или в противоположном направлении. Если мы приходим к выводу, что «невидимая вершина» является

максимумом, то мы делаем вывод, что Fmax = , если же минимумом, то Fmin = –

.

Методика решения задач графическим методом

1.В ограничениях задачи замените знаки неравенств знаками точных равенств и постройте соответствующие прямые.

2.Найдите и заштрихуйте полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи. Для этого можно, например, подставлять в конкретное неравенство координаты какой-либо точки и проверять истинность полученного неравенства. Если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку; иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку х1 и х2 должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться в первой координатной четверти.

3.Определите часть плоскости, принадлежащую одновременно всем выбранным областям, и выделите ее. При отсутствии такой части плоскости задача не имеет решений, о чем сделайте соответствующий вывод.

Завершить решение такой задачи можно нахождением координат всех вершин построенного многоугольника, которые затем поочерѐдно подставляются в целевую функцию. Результаты сравниваются, и выбирается наибольшее (наименьшее) значение. Если вершин много, то можно использовать следующий способ.

4.Постройте точку (c1,c2 ) , соедините ее прямой с началом координат,

постройте вектор (с1, с2) с началом в точке (0; 0) и концом в точке (с1, с2).

5. Опустите перпендикуляры к данной прямой из вершин многоугольника ОДР и, двигаясь в направлении вектора, найдите точку максимума, а двигаясь в противоположном направлении – точку минимума.

7

Решим с помощью данного алгоритма задачу 1.1., математическая модель которой составлена выше. Построим прямые ограничений (рис. 4).

Определим ОДР. Например, подставим точку (0; 0) в исходное ограничение (3), получим 0 ≤ 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, содержащую точку (0; 0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (3). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений. Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, является многоугольник АОBCDE.

Рис. 4

Вектор имеет начало в точке О (0; 0) и конец в точке (3; 2). Пунктиром показана прямая, на котором находится данный вектор и к которой будем опускать перпендикуляры из вершин. Точка О сама лежит на данной прямой, поэтому и является основанием перпендикуляра, проведенного через О к данной прямой. Из точки В опускаем перпендикуляр ВВ1 из С – СС1, из D – DD1 (показаны на рис. 4). При этом мы видим, что точка О находится

раньше по направлению вектора , значит значение в точке О меньше, чем в точке В, в точке В – меньше, чем в точке С, а в точке D – больше, чем в точке С. Что касается перпендикуляров из вершин Е и А, то судя по нашему чертежу прямая АЕ как раз и является перпендикуляром к

вектору , или очень близка к нему. Ситуации, в которых стороны перпендикулярны к

вектору , встречаются на практике (в таком случае обе точки E и А были бы точками максимума, значения в них, очевидно, больше чем в D, а в них бы достигалось одинаковое значение), однако в нашем случае это не так. Прямая ЕF – это прямая (2) с уравнением 2х1 + х2 = 8. Из курса математики известно, что ее направляющий вектор имеет координаты (–1, 2).

Этот вектор не перпендикулярен вектору (3, 2): –1 3 +22 ≠ 0. Чтобы избежать ошибок, связанных с неточностями построения, мы должны просто найти координаты точек Е и А и подставить их значения в целевую функцию. Точка Е лежит на пересечении прямых (1) и (2). Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2):

8

Выразим из первого равенства х1 и подставим во второе:

х1 6 2х22(6 2х2 ) х2 8

х1 6 2х212 4х2 х2 8

х1 6 2х23х2 4

Откуда х2 = 43 , х1 = 6 – 2 43 = 103 , то есть точке Е имеет координаты ( 43 , 103 ).

Точка А есть пересечение прямой (2) и оси абсцисс Ох1, поэтому координата данной точки х2 = 0, х1 находим из равенства (2): 2х1 + 0 = 8 => х1 = 4.

Теперь поочередно подставляем точки Е ( 43 , 103 ) и А (4, 0) в целевую функцию: F = 3х1

+ 2х2.

F(А) = 34 + 2 0 = 12 [тыс. руб.]. Таким образом, значение в точке Е немножко больше, чем в точке А, точка Е является точкой максимума (хотя значение в точке А и близко к

значению в точке Е). наилучшим режимом работы является ежедневное производство 10 т 3

руб.

Точкой минимума является в нашей задаче точка О, но этот результат нам не требуется и по смыслу задачи он очевиден (если ничего не производить, то доход составит 0 тыс. руб. и это минимальный возможный доход).

Анализ чувствительности задачи подразумевает ответ на вопрос, что произойдет с решением задачи, если имеющиеся ограничения изменятся.

Впервую очередь необходимо разделить ограничения на критические (от изменения которых меняется и решения задачи) и некритические (от небольшого изменения которых решение не изменяется). Для этого смотрим, какие прямые проходят на чертеже через оптимальную точку – соответствующие им ограничения и будут критическими.

Внашем примере (задача 1.1) оптимальной точкой, или точкой максимума, является

точка Е, проходящая через прямые (1) и (2), которые соответствуют на ограничения по количеству специалистов А и В. Это означает критичность данных ограничений (если кто-то из специалистов уволиться, то это непременно приведет к уменьшению прибыли, если же увеличить количество специалистов, то прибыль может возрасти). Прямые (3) и (4) на проходят через точку Е, значит эти ограничения не критичны. Если, например, допустимым станет производство не двух, а трех или четырех тонн единицы продукции второго вида в день, то это все равно не позволит получить большую прибыль, так как у нас не хватает специалистов для такого расширения производства, то же можно сказать о снятии ограничения на производство первого типа продукции.

Таким образом, мы видим, что допускать уменьшения количества специалистов в нашей ситуации нельзя без потери прибыли. Исследуем теперь вопрос о возможной полезности увеличения количества специалистов. Рассмотрим сначала специалистов А. Ограничению по количеству данных специалистов соответствует прямая (1). Если мы временно уберем прямую

9

(1) с чертежа (см. рис. 4), до ОДР превратится в многоугольник АОВСЕ1 и точка максимума сместится в точку Е1 – пересечение прямых (2) и (4). Найдем ее координаты

Е1 имеет координаты (3, 2). Подставим их в ЦФ: F(E1) = 3 3 + 2 2 = 13 тыс. руб.

Таким образом, прибыль может возрасти при всех прежних ограничениях до 13 тыс. руб. При этом нужно выпускать 3 тонны продукции первого вида и 2 тонны продукции второго вида. Но для этого нам потребуется 3 + 2 2 = 7 специалистов А (см. ограничение 1). То

есть, если мы увеличим количество специалистов А до 7, то прибыль возрастет с тыс.

количества специалистов А при сохранении прочих ограничений уже не целесообразно, так как при 8 или 9 специалистах А мы уже не сможем получить большей прибыли. Вопрос о целесообразности найма одного дополнительного специалиста также не однозначен. Если в

случае найма этого специалиста наши расходы составят сумму большую, чем 13 тыс. рублей

(например, если дневная зарплата такого специалиста должна составлять 500 рублей в день,

что больше чем 13 0,333, т.е 333 руб.), то никакой пользы от приобретения этого специалиста

мы в итоге не получим, а даже напротив останемся в убытке. Если же можно найти такого специалиста по цене меньшей, чем 333 руб. (например, с дневной зарплатой 100, 200 или даже 300 руб), то это уже выгодно сделать, т.к. дневная прибыль при этом увеличится даже за вычетом этих расходов. Предельная сумма, которую можно потратить на получение дополнительного ресурса (трудового или иного) называется его теневой стоимостью. В

нашей ситуации эта теневая стоимость специалиста А оказалась равной 13 тыс. руб.

В общем случае теневая стоимость рассчитывается следующим образом. Вычисляется разность между имеющейся прибылью Fmax и той прибылью, которую можно было бы получить, если бы ограничения на данный ресурс не было (обозначим еѐ F/max).

F = F/max – Fmax.

Затем рассчитываем, сколько потребуется ресурса для достижения такой прибыли (для этого подставляем координаты новой оптимальной точки в левую часть ограничения по тому ресурсу, которое мы убрали – в результате получаем неверное неравенство, в нашем примере 3 + 2 2 = 7 ≤ 6). Находим разность между необходимым для достижения большей прибыли количеством ресурса и имеющимся количеством (обозначим эту разность b). Тогда теневая стоимость

будет составлять величину равную F . Если можно достать ресурс по цене

b

меньшей, чем теневая стоимость, то это целесообразно сделать (трудовые ресурсы можно приобретать разными способами: например, увеличивая

10