Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Учебно-методическое пособие

Министерство образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

О.Е. РОЩЕНКО

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебно-методическое пособие

НОВОСИБИРСК

2016

1

УДК 517.2/.3(075.8) Р 815

Рецензенты:

канд. пед. наук, доцент Е.А. Лебедева

нач. отдела специальных технологий обучения и реабилитации ИСТР НГТУ И.Н. Прохорова

Рощенко О.Е.

Р 815 Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной: учебно-методи- ческое пособие / О.Е. Рощенко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 60 с.

ISBN 978-5-7782-2945-7

Пособие предназначено для студентов с ограниченными возможностями здоровья. В нем представлены важнейшие темы курса математического анализа первого семестра. Оно содержит пять параграфов, в каждом из которых даны теоретические положения, сопровождающиеся большим количеством примеров, и тренировочные упражнения. Пособие может быть рекомендовано для самостоятельной работы студентов.

Работа подготовлена и утверждена Редакционно-издательским советом в качестве учебно-методического пособия

УДК 517.2/.3(075.8)

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие предназначено для студентов с ограниченными возможностями здоровья, в первую очередь для глухих и слабослышащих студентов технического направления обучения.

Все разделы построены по единой схеме: краткие сведения теоретического характера сопровождаются большим количеством примеров. Каждый раздел содержит задачи для самостоятельного решения.

Представленные в пособии разделы являются основными при изучении математического анализа в первом семестре, позволяют систематизировать знания студентов. Пособие включает в себя комплекс теоретического материала и разнообразные задачи, поэтому работа по нему позволяет студентам развивать навыки самостоятельной работы с учебной литературой.

Изложение материала адаптировано для хорошего восприятия студентами с ограниченными возможностями здоровья.

Поскольку пособие содержит большое количество примеров и задач, оно может быть использовано студентами для самостоятельной подготовки по соответствующим разделам математического анализа.

3

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

– следует, влечет за собой

– равносильно, эквивалентно, тогда и только тогда, необходимо и достаточно

– существует (квантор существования)x – существует, найдется хотя бы один xx – существует единственный x

– любой, каждый, всякий

x – для любого x, для каждого x

:– такой, что

– «и»

– «или»

– пустое множество

– строго принадлежит, содержится (символ принадлежности элемента множеству)

, – принадлежит, содержится

– не принадлежит, не содержится

A В – множество А является подмножеством множества В

A \ B – разность множеств

D( f ) – область определения функции f E( f ) – множество значений функции f

R ; – множество действительных чисел

R 0; – множество положительных действительных чисел

4

§ 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Пусть D, E – произвольные подмножества действительных чисел

D R , E R .

Определение. Если задано правило f, по которому каждому элементу x из множества D поставлен в соответствие единственный эле-

мент y E , обозначаемый y = f(x), то говорят, что на множестве D за-

дана числовая функция y f (x) .

Множество D – область определения функции, множество E – множество значений функции: E y R : y f (x), x D .

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой говорят, что она является функцией от этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Определение. Множество точек (x, f (x)) плоскости Oxy называется

графиком функции y = f(x).

Существует несколько способов задания функции: 1) аналитический (с помощью формулы); 2) графический; 3) табличный; 4) описательный.

При аналитическом задании функция y(x) может быть задана неявно, когда x и y связаны между собой уравнением вида F(x; y) 0 . Это

уравнение может задавать не одну, а некоторое множество неявно заданных функций. Если уравнение можно разрешить относительно y, то получим функцию y f (x) , заданную явно.

Пример. 4x2 y3 8 0 y3 8 4x2 y 3 8 4x2 .

5

Задачи для самостоятельного решения

Записать в явном виде функцию y f (x) , заданную неявно следующим образом:

f (x)) , при этом график функции симметричен относительно оси OY. f (x) – нечетная функция x D( f ) : x D( f ) f ( x) f (x),

при этом график функции симметричен относительно начала координат.

3. Периодичность: f (x) – периодическая функция T 0 : x

D( f ) : (x T ) D( f ) f (x T ) f (x).

4. Монотонность:

функция f (x) возрастает в X

x1, x2 X : x1 x2 f (x1) f (x2 ) ;

функция f (x) убывает в X

x1, x2 X : x1 x2 f (x1) f (x2 ) .

5.Функция f (x) называют ограниченной сверху (снизу) на множе-

стве X D( f ) , если M R: x X f (x) M( f (x) M).

Функцию, ограниченную сверху и снизу на множестве X , назы-

вают ограниченной на X .

6. Если условия пункта 5 не выполняются, то функция называется

неограниченной.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать следующие функции на чётность:

Задачи для самостоятельного решения

Выразить у как функцию x:

12)y tg z , z 3 t , t x 2;

13)y log0,2 (1 u) , u ev 3 , v x3 ;

Представить сложные функции с помощью цепочек элементарных функций:

3. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

К основным элементарным функциям относятся степенные, ло-

гарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

7

Элементарные функции и их графики