Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

11)

lim

11x4 7x3 3x2 1

;

13)

lim

6x3 9x 5

;

x2 4x3

15)

lim

x 3x4

;

2 x6

x x2 4

17)

lim

1 x 1

;

x 0

19)

lim

x 5

;

x 5

21)lim 3 x 1 ;

x 1 x 1

23) lim		x	2	3	;
	x
x

12)

lim

;

3x 2

14)

lim

;

16)

lim

x x

;

x2 5x

18)

lim

1 x 3

;

x 8

20)

lim

;

x 1

22)

lim

;

x 0

1 x 3 1 x

24)

lim

x .

2. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Определение. Если функции (x) ,			(x) –		бесконечно малые и
lim	(x) 1, то они называются эквивалентными при x x или
x x0	(x)				0
x x0	(x)
асимптотически равными.
Обозначение: (x) ~ (x) при x x0
Первый замечательный предел: lim sin x				1.
		x 0	x
Следовательно, sin x ~ x при x 0 .				1 x
Второй замечательный предел: lim				1 x	e .
Второй замечательный предел: lim			1		e .
		x		x
Если		lim (x) 0 , то при x x0 справедливы следующие экви-
	x x0
валентности (таблица эквивалентных):
		21

sin (x) ~ (x)	arctg (x) ~ (x)		a (x) 1 ~	(x)ln a
tg (x) ~ (x)	1 cos (x) ~	( (x))2	loga (1 (x))	~ (x)		1
tg (x) ~ (x)	1 cos (x) ~	( (x))2	loga (1 (x))	~ (x)	ln a
		2			ln a
arcsin (x) ~ (x)	e (x) 1 ~ (x)		ln(1 (x))	~ (x)
(1 (x))k 1 ~ k (x) , в частности,		(1 (x)) 1 ~ 1 (x)
			2

Замечание. Используя таблицу эквивалентных, важно помнить, что

аргумент соответствующей функции должен стремиться к нулю. Если

x x0 , x0 0 , то надо сделать замену переменных x x0 t,

t 0 .

Пример. Вычислить

lim

1 cos3x

(arctg 5x)2

x 0

x 0 , kx 0

lim

1 cos3x

1 cos3x ~

(3x)2

lim

9x2

x 0 (arctg 5x)2

x 0 2 25x2

arctg 5x ~ 5x

Предел степенно-показательной функции

Пусть функция

f (x)

положительна в некоторой окрестности точ-

ки x0 .

1. Если lim f (x) A , lim g(x) B ,

A, B R , то

x x0

lim f (x)g(x) AB .

x x0

2.Если A 1, B , то используем свойства показательной функции.

3.Неопределённость вида 1 можно раскрыть с помощью второ-

го замечательного предела, используя его в общем виде:

lim (1 (x))

(x)

e ,

x x0

где (x) – б.м. при x x0 .

В частности, если (x) 0, g(x) при x x0 , то

g(x) (x)

(x)

lim (1 (x))g(x) lim (1 (x))g(x) (x) lim

(x))

(x)

lim g (x) (x)

Пример. Вычислить lim

5x 1

Основание степени 5x 1

при x ( 5x 1 ~ 5x

при x ).

5x 1

Имеет место неопределённость [1 ] . Используем второй замечатель-

ный предел, для этого перепишем основание степени в другом виде:

5x 1

5x 1 2

5x 1

lim

x 5x 1

lim

5x 1

lim 1

5x 1

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы.

25) lim sin 3x ; x 0 5x

28) lim 1 cos14x ; x 0 x ln(1 7x)

26)	lim	x tg x		;
			5x
	x 0 arcsin2
29)	lim	xln(1 6x)

	x 0 cos x cos3 2x

27) lim e9x 1 ; x 0 arctg 3x

; 30)	lim	x		;
			x
	x 1	sin

		2

tg x ;

31)

lim

32)

lim (x 1)x2 5 ;

33)

lim (x 3)

x2 1

;

x 2 x 2

x 3

x 1

lim (x 3) x2 1 ;

34)

35)

lim (4,5 x)

x 4

;

36)

lim (1 x) x ;

x 1

x 3 x 4

x 4

13x 3 x 3

x 0

37)

lim

;

38)

lim

;

x x

13x 10

2x 5 3x 7

x4 1

2x x4

39)

lim

;

40)

lim

;

x 2x

x x

sin x

x sin x

41)

lim

;

42)

lim (1 tg

x)3x .

x 0

3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение. Функция y f (x)

называется непрерывной в точке

x0 , если f (x)

определена в точке

и некоторой ее окрестности и

существует

lim

f (x) f (x0 ) , т. е. функция непрерывна в точке, если

x x0

предел функции равен значению функции в этой точке.

Так как

lim

f (x) f (x0 ) , то определениеможно представить в виде

x x0

lim

f (x)

lim

f (x) f (x0 ) .

(*)

x x0

Замечание. Последнее равенство используется для исследования

функций на непрерывность.

Определение. Функция f (x)

непрерывна на интервале (a;b) , если

она непрерывна в каждой точке этого интервала. Пример. Исследовать функцию на непрерывность:

y x2 4, x 1,x 2, x 1.

Элементарные функции непрерывны во всех точках области опре-

деления. Данная функция состоит из двух элементарных, поэтому проверить непрерывность функции надо только в точке x0 1. Исполь-

зуем равенство (*):

		lim	f (x) lim	(x 4) 3;
		x 1 0	x 1 0
lim	f (x)	lim (x2 2) 3 ;		f ( 1) ( 1)2 2 3 .
x 1 0		x 1 0

Равенство (*) выполняется, следовательно, исходная функция непрерывна во всех точках области определения.

Определение. Если в точке x0 нарушено хотя бы одно из равенств (*), то функция терпит разрыв в точке x0 , а точка x0 называет-

ся точкой разрыва.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА ФУНКЦИИ

Различают два типа точек разрыва.

Точки разрыва первого рода

1. Точка	x0 –	точка разрыва первого рода функции f (x) ,						если
предел f (x)	при	x x0		существует,		но при этом	x0 D( f )	или
lim f (x) f (x0 ) , т. е.
x x0
		lim		f (x)	lim	f (x) f (x0 ) .
		x x0	0	x x0 0
В этом случае точка x0			– точка устранимого разрыва, так как, пола-
гая f (x0 )	lim f (x) , можно устранить разрыв и получить непрерыв-
x x0
ную в x0 функцию.							f (x) , если
2. Точка x0 – точка разрыва первого рода функции							f (x) , если
		lim		f (x)	lim	f (x) .
		x x0 0			x x0 0
				25

Разность			lim		f (x)		lim	f (x) называется	скачком функции
f (x)			x x0 0			x x0 0
f (x)	в точке x0 (в случае устранимого разрыва скачок равен нулю).
					Точки разрыва второго рода
Точка x0			называется точкой разрыва второго рода функции							f (x) ,
если в ней не существует или бесконечен хотя бы один из односто-
ронних пределов функции						f (x) .
					lim f (x) f (x0 )				y
					x x0
разрыва					x0 точка устранимого				x0	x
	рода	конечные			разрыва				x0	x
		конечные
		lim		f (x)					y
– точка	первого	lim		f (x)					y
		x x0 0			lim	f (x)		lim f x
					x x0 0		x	x0 0
0					x0 точка неустранимого
х
									x0
					разрыва (скачок)				x0
					разрыва (скачок)
точка				не существует			lim	f (x)	y
							x x0		y
					или
–
0			lim f (x) или / и				lim	f (x)
х второгоразрыва рода			lim f (x) или / и				lim	f (x)
х второгоразрыва рода			x x0	0			x x0 0
									1
Пример. Исследовать функцию на непрерывность: y 31 x .
Данная функция является элементарной, следовательно, она непре-
рывна во всех точках области определения: E( y) ( ;1) (1; ) . Зна-
чит,	х 1 – точка разрыва, так как функция в ней не определена.
Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы:

		1			1	1	1
				31 (1 0)
lim y	lim	3	1 x	31 (1 0)		31 1 0	3 0	3 ,
x 1 0	x 1 0

						1				1	1	1
									31 (1 0)				3 0.
	lim y		lim			3		1 x	31 (1 0)		31 1 0	3 0	3 0.
	x 1 0		x 1 0
Так	как левосторонний								предел			y
функции в точке х 1 имеет беско-												y
нечное	значение,			то		х 1– точка
разрыва второго рода. Для уточне-
ния графика вычислим:												1
												1
	1				1		30 1.
lim y lim 3		1 x		3			30 1.						1	x
x	x

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать функцию на непрерывность. В случае разрыва функции установить характер точки разрыва. Построить схематичный график.

				x 0,
43)	x 2,			x 0,
43)	y	x2		x 0;
	3	x2	,	x 0;

sin x, x 0,

45) y 0, 0 x 3,

x 2, x 3;

47)	1			;
	y
		x 7
	1
50)	y 4		x(x 1)		;

					2x 3,					x 1,

	44.			y
	44.			y	x2 , 1 x 1,
								x 1,		x 1;
								x 1,		x 1;

								2	, x	2,
	46)				x				, x	2,
	46)			y						2;
					2x, x					2;

48)	y			1			;			49.	y		1	;
48)	y	(x 3)				2	;			49.	y		1 x	;
		(x 3)									1		2
				1									3
51)	y 5		x2 9		;					52)	y		3		.
51)	y 5		x2 9		;					52)	y				.
												x2 (x 2)

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЯВНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть функция f (x) определена в точке x0 и некоторой её окрест-

ности.

Определение. Производной функции f (x) в точке x0 называется

предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если этот предел существует и конечен:

			f (x0 )		.
	f (x) lim		x
		x 0
Здесь	x x x0 – приращение аргумента			x; f (x0 ) f (x) f (x0 )
f (x0 x) f (x0 ) – приращение функции в точке x0 .
	ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть существуют u , v . Тогда:
1)	(Сu) Cu , С = const;	3)	(uv) u v uv ;


2) (u v) u v ;	4)	u

		v

5) производная сложной функции: y f

u v uv	;
v2		f u .
(u(x)) y		f u .
	x	u x

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Пусть u u(x) , C, a, const , тогда:

0 ;

cos2 u

;

(tg u)

;

sin2 u

;

)

(ctg u)

(sin

;

cos u u

) a

ln a u

(cos u) sin u u ;

(eu ) eu u ;

9)	(loga u)			1		u	;			12)	(arccos u)			1		u		;

				u ln a										1 u	2
				u ln a											2
		1										1
10)	(ln u)	1	u ;							13)	(arctg u)	1		u ;
10)	(ln u)	u	u ;			1				13)	(arctg u)	1 u2		u ;
	(arcsin u)					1		u						1
					1 u2								1 u2
11)					1 u2				;	14)	(arcctg u)		1 u2		u		.

Замечание. Для вычисления производных необходимо твёрдо знать правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций. Строгое соблюдение этих правил – залог успешного решения задач.

Пример. Найти производные следующих функций:

а)	y	2x5	3x 3 x	;	б)	y	ex 1		;
			x2				4	x

в)	y (x4		2) arctg x ;		г)	y cos3 5x .

Решение

а) Преобразуем частное в сумму:

2x5 3x 3 x	2x5	3x	x1 3	y 2x3 3x 1 x 5 3 .
x2	x2	x2	x2

Для вычисления производной функции используем правила дифференцирования и формулу (u ) u 1 u :

y 2(x3 ) 3(x 1) (x 53 )

	2 3x2 3( 1)x 2	5 x 8 3 6x2 3x 2 5 x 8 3 .
		3	3
б) Используем правило дифференцирования дроби и				формулу
(eu ) eu u :
y	(ex 1) (4 x) (ex 1)(4 x)		ex (4 x) (ex 1)( 1)
y	(4 x)2		(4 x)2
	(4 x)2		(4 x)2
		29

					4ex xex ex				1		5ex xex 1				.
						(4 x)2						(4	x)2		.
						(4 x)2						(4	x)2
в) Используем правило дифференцирования произведения и фор-
				1						1
мулы (u		)	u	1	u				1 u2 u					:
мулы (u		)	u		u	, (arctg u)			1 u2 u					:
y	(x	4				(x	4	2)(arctg x)				4x	3	arctg x	(x	4	2)	1
		4					4						3			4		1 x2 .
			2) arctg x															1 x2 .

г) Используем правило дифференцирования сложной функции: y (cos3 5x) 3(cos5x)2 (cos5x) 3(cos5x)2 ( sin 5x)(5x)

3cos2 5xsin5x 5 15cos2 5xsin5x.

Определение. Функция вида y uv , где u u(x) , v v(x) , назы-

вается степенно-показательной. Её производную находим методом

логарифмического дифференцирования.

Пример. Найти производную функции y (tg x)x3 2x.

Сначала функцию логарифмируют и используют свойства логарифмов:

ln y ln(tg x)x3 2x , ln y (x2 2x) ln(tg x).

Полученное равенство дифференцируют по х:

(ln y) (x2 2x) ln(tg x) (x2 2x)(ln(tg x)) ;
1		y (2x 2) ln(tg x) (x2	2x)	1	1	.
	y			tg x	1 x2

Чтобынайти y , умножаютполученноеравенство на					y (tg x)x3 2x :
	(2x 2)ln(tg x) (x2 2x)	1	1	(tg x)x		3	2x .
y
y		tg x	1 x2
		tg x	1 x2
	30

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]