Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная часть приращения функции, линейная относительно х.

Обозначение: dy или df(x).

Из определения следует, что df (x0 ) f (x0 )dx , где dx x .

Пример. Найти дифференциал функции y ex3 3x.

y ex3 3x (3x2 3) dy ex3 3x (3x2 3)dx .

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные следующих функций:
1)	y 5x4 5 x 3x 1;	2)	y	x x3	;	3)	y	x3 2x5 4	;
	y 4x tg x ;			x2				x2 1
4)	y 4x tg x ;	5)	y (x3 2x2			5)sin x ;

	y	3		x					3						1
6)		3	x2		1 ;		7)	y cos		(7x 3) ;			8)	y sin x2 ;
6)			x2		1 ;		7)	y cos		(7x 3) ;			8)	y sin x2 ;
9)	y				4	;	10)	y arcsin			x2 8x	;	11)	y ecos x ;
9)	y		x	2	2x	;	10)	y arcsin			x 3	;	11)	y ecos x ;
				2							x 3

12)

y arctg(x 4) ;

13)

1 x

;

y ln arcctg

ln cos x

14)

y arccos

1 x2

;

cos x

;

16)

15) y 2

ln sin x

17) y log3

3x 2

; 18)

y 10x tg x ;

x 4

y lg(e3x x3) ;

19)

y (ctg(x2 1) 2x) sin(x2

1) ;

20)

21)

sin x

; 22) y (x

; 23) y (x x

)

y (cos x)

Найти дифференциалы следующих функций:

24)

y 3x7

x 5x 13 ;

25)

y sin15 (3x2 2x 1) ;

;

x .

	x2 x 4
26) y 3	x 1	.

2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

Если функция

y f (x) задана неявно уравнением F(x; y) 0 , то-

гда дифференцируют по х обе части уравнения

F(x , y) 0 , рассмат-

ривая при этом y как функцию от x.

функции,

заданной неявно

Пример.

Найти

производную

y x ln y x2 .

( y xln y) (x

)

;

y x ln y x(ln y) 2x ;

y ln y x

y 2x .

Сгруппируем слагаемые, содержащие y , и вынесем y за скобки:

2x ln y ;

x y

2x ln y .

Из полученного равенства выражаем y :

y (2x ln y) y .

x y

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ,

ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Пусть функция

y f (x) задана параметрически:

x x(t),

t T

y y(t),

и x , y , причем x 0 . Тогда

и y

( yx ) t .

t t

Пример. Найти производную функции, заданной параметрически:

cos

sin 2t.

yt cos 2t(2t) 2cos 2t ; xt 2cost(cost) 2cost( sin t) ;

	yt
	cos2 t
	cost sin t

2cos 2t

2cost sin t

		sin2 t
		cost sin t
		cost sin t

cos2 t sin2 t cost sin t

cossin tt cossin tt tg t ctg t .

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные функций, заданных неявно:

27)	xsin y y cos x 1 ;	28)	x2 y2 2xy ;
29)	5x 5y 5x y ;	30)	x 1 yex .

Найти производные функций, заданных параметрически:

	x t ln t,								3	t,
31)	x t ln t,						32)	x 2cos		t,
31)				1)ln(t 1);			32)		3
	y (t			1)ln(t 1);				y 5sin	3	t;

		x t		3	1,		x t cost,
34)		x t			1,	35)	x t cost,
34)			2			35)
	y t		2	t 1;			y t sin t.

x 3(1 cost),

y 3t(t sin t);

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Значение производной функции y f (x) в точке x0 есть тангенс

угла наклона касательной, проведённой в данной точке к графику функции, к положительному направлению оси абсцисс: f (x0 ) tg .

Уравнение касательной в точке M (x0; y0 ) имеет вид y y0 f (x0 )(x x0 ) .

Уравнение нормали в точке M (x0; y0 ) имеет вид y y0 f (1x0 ) (x x0 ) .

Задачи для самостоятельного решения

Составить уравнения касательной и нормали в данной точке:

36)

y (3x2

7x 3)e x , x

0 ;

37) y log

(2x 1),

y 0 ;

x cos 2t,

t ;

38)

39) x2 y y2 x 1, (x0; y0 ) (1;1) ;

;

cos

40)

t 0.

x e

y arcsin t;

4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Правило Лопиталя позволяет раскрыть неопределенности вида

0
	0	или	.
	0

Пусть в некоторой окрестности точки

x0 (кроме, быть может, са-

мой точки x0 )

функции

f (x)

и g(x) дифференцируемы, причём

f (x)

g (x) 0

и существует lim

. Тогда существует lim

и они

g (x)

g(x)

равны.

x x0

lim f (x) lim

g(x) 0

или

lim

f (x) lim g(x) , то

Если

x x0

f (x)

lim

или

lim

g(x)

g (x)

x x0

Замечание. Правило Лопиталя может применяться для раскрытия других неопределённостей, но при этом надо преобразовать функцию

так, чтобы перейти к неопределённости вида			0			или
			0						.

Замечание. Неопределённости вида		,		0	0		,	0		можно рас-
	1

крыть с помощью основного логарифмического тождества. Такие

неопределённости встречаются при нахождении пределов степеннопоказательных функций.

f (x) (x) eln f (x) (x) .
Пример. Вычислить	lim	1	1
				.
			ex 1
	x 0	x

lim

ex 1 x

(ex 1 x)

lim

x(ex 1)

lim

(x(ex

1))

x 0

ex 1

x 0

lim

ex 1

lim

x 0 (ex

1) xex

x 0 ex ex xex

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

41)

lim (x 2)3

;

42)

lim

sin2 x

;

43)

lim sin x x

;

x xln2 x

x (x )2

x 0

44)

lim 4 x e x

lim

arcgx

lim x2 log3 x ;

;

45)

;

46)

x 0

lim (x 2)5 (x 3) ;

47)

lim

;

48.

e2x 2

x 1 x 1

x 3

49).

3 x2

lim (cos x)

x 0

§4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

1.УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ

Пусть	f (x) дифференцируемая на (a, b) функция. Тогда	(x) 0
f (x) –	строго возрастает на интервале (a;b) f	(x) 0

x (a;b) ;

f (x) – строго убывает на интервале (a;b) f (x) 0 x (a;b) .

2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Пусть функция f (x) определена в точке x0 и некоторой её окрест-

ности.

Определение. Точка x0 называется точкой максимума (миниму-

ма) функции f (x) , если существует окрестность точки x0 , для всех точек которой верно неравенство

f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 ) .

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстре-

мумами.

Необходимое условие экстремума. Если точка x0 является точ-

кой экстремума функции f (x) , то либо f (x0 ) 0 , либо f (x0 ) не су-

ществует.

Определение. Точки, в которых f (x0 ) 0 либо f (x0 ) не существует, называются критическими точками функции.

Достаточные условия строгого экстремума (с использованием первой производной).

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку x0 , и дифференцируема во всех точках этого

интервала (кроме, может быть, самой точки x0 ). Если при переходе

через точку х0 слева направо производная функции f (x) меняет знак с «+» на «–», то в точке x0 функция f(x) имеет максимум, а если с «–» на

«+», то функция f(x) имеет минимум, т. е.

f (x0 ) 0 при	x x0	и	f (x0 ) 0	при x x0 f (x0 ) max f (x) .
f (x) 0 при	x x0	и	f (x) 0	при x x0 f (x0 ) min f (x) .

Наибольшее и наименьшее значения функции. Для функции,

непрерывной на отрезке, существует на этом отрезке точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Вейерштрасса).

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f (x) на отрезке [a; b] достигается или в критических точках, или на концах отрезка.

3. УСЛОВИЯ ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИЙ

Определение. Функция f (x) называется выпуклой вниз (выпуклой вверх) на интервале (a; b) , если все точки графика функции лежат вы-

ше (ниже) касательной, проведенной к графику функции в любой точке интервала (a; b) .

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема на интервале (a; b) ,

f(x) – выпуклая вниз (выпуклая вверх) на интервале (a;b)

f (x) 0 f (x) 0 , x (a; b) .

4. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 , непрерывна в точке x0 и имеет в этой точке конечную или беско-

нечную производную. Тогда если функция		f (x) при переходе через
точку	x0 меняет направление выпуклости,	то точка	x0 называется
точкой перегиба функции f (x) .
Необходимое условие существования точки перегиба. Если точ-
ка x0	является точкой перегиба функции,	то либо	f (x0 ) 0 , либо
f (x0 )	не существует.
Достаточное условие существования точки перегиба. Пусть
функция f (x) дифференцируема в точке x0		и дважды дифференциру-
	37

ема в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 . Тогда точка x0 является точкой перегиба f (x) , если существует окрестность точки x0 , в которой вторая производная меняет знак при переходе через точку x0 , т. е.

либо

f (x) 0

при x x0 и

f (x) 0

при x x0 ,

либо

f (x) 0

при x x0 и

f (x) 0

при x x0 .

5. АСИМПТОТЫ

Если

lim

f (x) , то прямая x b – вертикальная асимптота.

x b

f (x)

Если

lim f (x) ,

то

вычисляют:

lim

lim ( f (x) k1x) .

При существованииобоихэтихпределовимеем наклоннуюасимптоту

y k1x m1 .

Если

lim f (x) ,

то

вычисляют:

lim

f (x)

m2 lim ( f (x) k2x) .

При существованииобоихэтихпределовимеем наклоннуюасимптоту

y k2x m2 .

Если ki 0 , то имеем горизонтальную асимптоту.

6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

При построении графика функции можно придерживаться следующего алгоритма.

1. Найти область определения функции. Проверить чётность, периодичность функции. Найти точки пересечения функции с осями координат.

2. Найти асимптоты графика.

3.Вычислить первую производную, определить промежутки ее возрастания, убывания и экстремумы функции.

4.Вычислить вторую производную, найти точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз.

5.Нарисовать эскиз графика функции.

Пример. Исследовать функцию y (4 x)ex 3 и построить ее гра-

фик.

1. Функция элементарная, следовательно, непрерывна в области определения D( y) ( ; ) .

Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как

y( x) (4 ( x))e x 3 (4 x)e x 3 y(x) , y( x) y(x) .

2. Функция не имеет точек разрыва и, значит, не имеет вертикаль-

ных асимптот. Найдем наклонные асимптоты y kx b , где

k lim

y(x)

;

b lim ( y(x) kx) ;

k lim

(4 x)ex 3

lim

1 ex 3 1( ) .

x x

Наклонной асимптоты при x функция не имеет.

lim

(4 x)ex 3

lim

1 ex 3

1 0 0 ;

x x

lim

(4 x)ex 3

0 x

lim

(4 x)ex 3

lim

(по правилу Лопиталя)

lim

x e3 x

Следовательно, y = 0 – асимптота при x .

3.y (4 x)ex 3 (4 x) ex 3 (4 x)(ex 3)

ex 3 (4 x)ex 3 ex 3( 1 4 x) ex 3(3 x).

Критические точки: y 0 при х = 3. Результаты исследования знаков производной и поведения функции занесём в таблицу:

х	( ; 3)	3	(3; )

y	+	0

y		1

у(3) 1.		max


4) y ex 3 (3 x) ex 3 (3 x) ex 3 (3 x)
	ex 3 (3 x) ex 3 ex 3(3 x 1) ex 3(2 x) .

y 0 при х = 2. Результаты исследования знаков второй производной занесём в таблицу:

х	( ; 2)	2	(2 ; )

y	+	0

y	Вогнутая	2	Выпуклая
y	Вогнутая	e	Выпуклая
		e
		Перегиб

у(2) 2е.

Результаты исследования с помощью y и y можно представить в виде общей таблицы:

х	( ; 2)	2	( 2 ; 3 )	3	3 ;

y	+		+	0

y	+	0

y		2		1
y		e		1
		e
		Перегиб		Max
			40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]