Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример. Вычислить

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

5	Обратные тригонометрические

		y arcsin x	D( f ) 1;1
5.1	Арксинус	y arcsin x
			E( f )		;
			E( f )	2	;	2
				2		2

5.2	Арккосинус	y arccos x	D( f ) 1;1
			E( f ) 0;

		y arctg x	D( f ) R
5.3	Арктангенс	y arctg x
			E( f )		;
			E( f )	2	;	2
				2		2

				Окончание таблицы

№	Название	Формула	D(f), E (f)	График
функции	Название	Формула	D(f), E (f)	График
функции

5.4	Арккотангенс	y arcctg x	D( f ) R
5.4	Арккотангенс	y arcctg x	E( f ) 0;
			E( f ) 0;

Приведем примеры аналитических формул, в которые входят операции, ограничивающие область определения функции.

№ п/п	Аналитическая формула			Ограничения (область определения)
1	y 2n f (x)			f (x) 0
2	y	f (x)		g(x) 0
2	y	g(x)		g(x) 0
		g(x)

3	y loga f (x)			f (x) 0
4	y arcsin f (x) ,			1 f (x) 1
4	y arccos f (x)			1 f (x) 1
	y arccos f (x)

			12

Задачи для самостоятельного решения

Найти область определения следующих функций:

21)

y ln(9 3x) ;

22)

x2 3x 1

;

23)

;

x2 5x 6

2x 1

y log2 (3x 1) ;

24)

25)

y arcsin(2x 5) ;

26)

y arccos(6x 1) ;

x2 16

27)

y log5 (x2 13x 12) ;

28) y

x2 9 ln(x 7) ;

29)

arccos(x 7) .

x 6

Способы построения графиков функций:

1)«по точкам». Вытекает из определения графика функции. Он является недостаточно надёжным;

2)с помощью преобразования графиков функций (см. таблицу).

Функция

y f (x) A

y f (x a)

y kf (x)

y f (kx)

y f (x)

y f ( x )

Преобразование графиков функций

Преобразование графика функции y f (x)

Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А > 0, и на |A| единиц вниз, если А < 0

Параллельный перенос вдоль оси OX на a единиц вправо, если a > 0, и на |a| единиц влево, если a < 0

Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k > 1, и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1

Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k > 1, и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1.

Симметричное отражение относительно оси OX

Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения

Симметричное отражение относительно оси OY

Часть графика, расположенная в области x ≥ 0, остается без изменения, а его часть для области x ≤ 0 заменяется симметричным отображением относительно оси OY части графика для x ≥ 0

Задачи для самостоятельного решения

Построить графики следующих функций:

2x 7

30)

y 2 ln(x 3) ;

31)

3 ;

32)

;

x 3

33)

34)

;

35)

4 ;

y 1 sin x

;

3x 2

36)

y 5

;

37)

38)

3 cos x

;

x 1

4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Функция y от x, заданная параметрически, имеет вид

x x(t),

t T.

(*)

y y(t),

Всякую функцию,

определяемую формулой y f (x) , можно за-

дать параметрически, например, примем x t :

y f (x)

x t,

t T.

f (t),

От параметрического задания функции можно перейти к обычному в виде y f (x) или F(x; y) 0 , исключив параметр t.

Если рассматривать значения x(t) и y(t) как координаты на коор-

динатной плоскости Oxy, то каждому значению t будет соответствовать определённая точка плоскости. При изменении значения t эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (*) при этом называются параметрическими уравнениями этой кривой, а способ задания кривой – параметрическим.

Замечание. При построении кривых, заданных параметрически, возможны два случая:

1)исключив параметр t, построить график известной функции (при этом надо учитывать область допустимых значений каждой переменной);

2)составить таблицу значений для x, y, соответствующих значениям параметра t, и построить кривую по точкам.

Задачи для самостоятельного решения

Построить кривые, заданные параметрически:

x cost,

39)

y log2 cost;

42) х sin t,

5sin t ;

x 2sin t,

y 7cost.у

		2		1,
40)	x t
			t	2 1
					;
	y e

43)x 3sin3 t,y 2cos3 t;

41)x 2t ,

y 4t 2t ;

x t sin t,

y cost.

5. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Положение точки на плоскости			M( ; )
Положение точки на плоскости
можно определять не только в декар-
товой, но и в полярной системе коор-
динат (ПСК). ПСК задаётся точкой О,
которая называется полюсом, и выхо-		ρ
дящим из неё лучом l – полярной осью
с выбранной единицей масштаба. В
случае полярной системы координат в		φ	l
качестве пары действительных чисел,	O		l
качестве пары действительных чисел,	O
определяющих положение этой точки
на плоскости, принимается расстояние OM		до точки от полюса и

угол между полярной осью и радиусом-вектором этой точки. Этот угол

называется полярным углом.

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если совместить начало декартовой прямоугольной системы и полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох. Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x cos ,y sin ;

	x	2	y			2	,
	x		y				,

tg				y	.
				y

				x

Замечание. При построении кривых, заданных в полярной системе координат, возможны два случая:

1)перейти в декартову систему координат, используя формулы;

2)составить таблицу значений для и , учитывая, что 0 , и

построить кривую по точкам.

Задачи для самостоятельного решения

Построить кривые, заданные в полярной системе координат:

	4				3				1
46)			;	47)		;	48)			;
		2sin 9cos			1 sin				2cos sin
49)	8sin ;			50) 12cos ;			51)	sin 3 ;
52)	3cos2 .

§2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1.ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА. РАСКРЫТИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 (при х x0 ), если для любого > 0 существует такое число > 0,

что для всеххтаких, что 0 < x – x0 < верно неравенство f(x) – A < .

Обозначение: lim f (x) A .

x x0

Запишем кратко:

A lim f (x) 0

0 : x : 0

x x0

f (x) A

x x0

Определение. Число A называется левосторонним пределом (пре-

делом слева) функции f (x)

в точке x0 , если для любого > 0 найдется

такое число > 0, что x :

0 x0 x

f (x) A

Обозначение: lim

f (x) A .

x x0 0

Определение.	Число	A называется правосторонним			пределом
(пределом справа) функции		f (x) в точке x0 , если
0 0: x : 0 x x0			f (x) A	.

Обозначение:	lim f (x) A .
Определение.	x x0 0				f (x) при
	Число A называется пределом функции

x ( x ), если 0 M 0: x M(x M) f (x) A .

Обозначение:	lim f (x) A , lim			f (x) A .
	x x0	x x0
Определение. Функция (x) называется бесконечно малой функ-
цией (или бесконечно малой – б.м.) при x x0 , если lim (x) 0 .
				x x0
Определение. Функция (x) называется бесконечно большой
функцией (или	бесконечно	большой	–	б.б.) при x x0 , если

lim (x) .
x x0
Теорема. Если функции f(x) и g(x) определены в окрестности точки
x0 и	lim	f (x) A , lim g(x) B , то:
	x x0	x x0
1)	lim	f (x) g(x) A B ;		2)	lim	С f (x) С A;
	x x0				x x0	f (x)		A
3)	lim	f (x) g(x) A B;		4)	lim	f (x)		A	, B 0.
3)	lim	f (x) g(x) A B;		4)	lim				, B 0.
	x x0				x x0	g(x)		B
Пример. Вычислить предел			lim	x3 2x 3			. Для вычисления пре-
Пример. Вычислить предел			lim	x2	4		. Для вычисления пре-
			x 2	x2	4

дела необходимо подставить предельное значение аргумента в функцию:

		x3 2x					3		23	2 2 3			9		.
	lim
	lim			2							2			0
x 2			x	2	4					2	2	4		0

Замечание.	С						С	0		;	С const .
Замечание.						;		0		;	С const .
	0
									17

Неопределённостями называются следующие предельные выражения:

0		; ; 0 ; 1	; 00	и т. д.
	;	; ; 0 ; 1	; 00	и т. д.
0

При раскрытии неопределённости в зависимости от её вида и вида функции применяется конкретный метод решения.

1.	lim	P(x)	0		.
		Q(x)		0
	x x
	0

При вычислении предела от дробно-рациональной функции (в числителе и знаменателе дроби – многочлены) в конечной точке подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости

вида 0 .

Метод решения: сократить дробь на выражение x x0 (предварительно разложить числитель и знаменатель на множители).

Пример. Вычислить

lim

x 2

x2 x

x 1

lim

x2 x 2

lim

(x 1)(x 2)

lim

x 2

1 2

3 .

x2 x

x 1

x(x 1)

x 1 x

lim

P(x)

x Q(x)

При вычислении предела от дробно-рациональной функции на бесконечности подстановка предельного значения аргумента приводит к

неопределённости вида .



Метод решения: разделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, встречающуюся в членах дроби.


			3x4 8x3						2x												делим числитель
			3x4 8x3						2x												делим числитель
lim						5x		2	3											и знаменатель на x		4
x						5x			3											и знаменатель на x
	3			8		2
lim				x			x3		8	,		2		,	5		,	3			0 при х		3	.
lim										,			3	,		2	,		4		0 при х			.
x 5						3			х		х		3		х	2		х	4				0
x 5						3			х		х				х			х					0
		x2			x4

3. Предел от иррациональных функций (содержат корни различ-

ной степени).

а) Метод деления на x в старшей степени применим и к пределам функций, содержащих иррациональные выражения (если предельное значение аргумента стремится к бесконечности).

Пример. Вычислить lim 3 x6 4x3 x .

x 3x2 x

lim

3 x6 4x3

делим на x2 ,

так как 3 x6 x2

lim

4 x6

lim

1 .

3 x2

б) Метод перевода иррациональности из числителя в знаменатель и

наоборот, если корни квадратные, используем формулу разности квад-
ратов (a b)(a b) a2	b2	, если корни кубические, используем
формулы суммы и разности кубов (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 .
Пример. Вычислить	lim	x 2	.
		x2 5 3
	x 2
		19

x 2

для перевода иррациональности

lim

умножим числитель и знаменатель

x 2

x2 5 3

на

5 3

(x 2)

lim

5 9

x 2

(x 2)

5 3

lim

x2 4

2)(x 2)

x 2

lim

2 5 3

x 2

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы.

x2 x 6

lim

;

lim

;

x 2x5 5x 7

x 1

lim

;

lim

;

x 4

x x2 1

lim

5x 6

;

lim

x2 x 6

;

x2 9

x 3

x 2 x3 3x2

lim

7x 8

;

lim

;

x 1 x2 13x 12

x 1 x3 1

lim

10) lim

2 3x

;

x 3

x x 6

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]