Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

4.1. Интеграл вида R(sin x,cos x)dx

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sin x и cos x. Интегралы этого вида вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки, позволяющей преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную:

t tg

, тогда

2tg

2 x

1 t2

2dt

sin x

, cos x

;

x 2arctg t; dx

1 tg

2 x

1 t2

Пример.

	dx							2dt							2				dt
9	8cos x	sin x						8(1 t2 )					2t		2			t2	2t 17
				(1 t2 ) 9
				(1 t2 ) 9				1	t2				t2
								1	t2		1		t2

		dt			1		t 1				1			tg		x	1
	2	dt			1	arctg	t 1			C	1	arctg		tg		2	1		C.
	2	(t 1)2			2	arctg		4		C	2	arctg				4			C.
		(t 1)2	16		2			4			2					4

4.2.Интеграл вида (sinn x)(cosm x) dx

Взависимости от n, m используются следующие методы:

1) если n (m) – нечётное, используется замена t cos x (t sin x) ,

при этом у функции, имеющей нечетную степень, выделяется первая степень, для занесения под знак дифференциала;

2) если n, m – чётное, используются формулы понижения порядка: sin2 12 (1 cos 2 ) , cos2 12 (1 cos 2 ) , sin cos 12 sin 2 .

3) если n + m – чётное отрицательное целое число, используется замена t tg x .

Пример

1.sin3 x cos4 xdx sin2 x cos4 x sin xdx (1 cos2 x) cos4 xd (cos x)

cos6 xd (cos x) cos4 xd(cos x) 17 cos7 x 15 cos5 x C .

2.sin2 x cos4 xdx (sin x cos x)2 cos2 xdx

				1	2	sin	2	2xcos			2		xdx		1	sin		2	2x	1 cos 2x	dx
				2		sin		2xcos					xdx		4	sin			2x	2	dx
				2											4					2
			1	sin		2 2xdx sin						2 2x cos 2xdx							1	1 cos 4x dx
			8																8	2
	1	sin2		2xd		(sin 2x)				1		dx			1		cos 4xd (4x)				1	sin3 2x
8	2	sin2		2xd		(sin 2x)			16			dx		16 4			cos 4xd (4x)				16	sin3 2x
8	2								16					16 4							16	3

161 x 641 sin 4x 481 sin3 2x C .

4.3.Интегралы вида tgn xdx; ctgn xdx (m целое)

При интегрировании этого вида интегралов используют формулы:

tg2	1	1 , ctg2	1	1 .
	cos2 x		sin2 x

4.4. Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

cos mx cos nxdx 12 cos(m n)x cos(m n)x dx

1 sin(m n)x

sin(m n)x

m n

;

sin mxcos nxdx 1 sin(m n)x sin(m n)x dx

cos(m n)x

;

m n

sin mxsin nxdx 1 cos(m n)x cos(m n)x dx

sin(m n)

m n

Пример

sin 7xsin 2xdx

cos5xdx 1

cos9xdx

sin 5x

sin 9x C.

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы:

60)			dx		;
		5	3cos x

63)	sin4 xdx ;
66)		sin3 x		dx ;
		cos4 x

69)	ctg5xdx ;
72)	sin 3x sin xdx ;
75.		sin2 xcos5 xdx				.
			1 cos 2x

61)

;

62)

sin xdx

;

2sin x cos x 3

(1 cos x)2

64)

sin2 x cos2 xdx ;

65)

cos6 xdx ;

67)

sin2 x cos3 xdx ;

68)

;

tg3(2x) dx ;

cos3 x

70)

71)

sin 9x cos 2xdx ;

73. cos3x cos7xdx ;

74.

;

sin xcos3 x

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

5.1. Интегралы вида R(x, x s1

			r1
		ax b
,...)dx ,		ax b	s
,...)dx ,	R x,		1
		cx d

,... dx

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной надо взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Пример. Найти интеграл

3 x 1

4 x

dx .

(x 1) 1 6 x 1

12 x 1 t;

x 1 t12;

(t4 t3 )12t11dt

12 t3 t2 dt

dx 12t11dt;

t12 (1 t2 )

t2 1

12 tdt 12

tdt

12 dt 12

6t2 12t 6ln(t2

1 t2

12arctg t C 6

x 1

6ln

x 1

12arctg12 x 1 C .

5.2. Интегрирование биномиальных дифференциалов

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

xm (a bxn ) p dx,

где m, n и p – рациональные числа.

Интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1)если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки t x , где – общий знаменатель m и n;

2)если mn 1 – целое число, то интеграл рационализируется

подстановкой t s a bxn , где s – знаменатель числа р;

3) если mn 1 p – целое число, то используется подстановка

t s a bxn , где s – знаменатель числа р. xn

						3	1		4 x		dx .
Пример. Найти интеграл
Пример. Найти интеграл								x
								x
		1 2		1 4	1 3			m				1 , n	1 ,	p	1	,
								m				1 , n	1 ,	p	1	,
	x					dx						2	4		3
	x		1	x		dx		m 1 2 2 случай
										n
		подстановка: (1 x1 4 )1 3										t, 1 x1 4 t3,
		подстановка: (1 x1 4 )1 3										t, 1 x1 4 t3,
			x (t3 1)4 ,				dx 4(t3 1)3 3t2dt
	t		4(t3	1)3	3t2dt 12					t3	(t3 1) dt			t7			t4	C
														12
		2												12
	t3 1	2													7		4
	t3 1														7		4
								7		3 1 4 x			4
				3 1 4 x						3 1 4 x
			12		7							4		C .
					7							4

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы:


76)		dx
	3 3x 1			3x 1

79)		x 1	dx ;
	2
		x x

82) x 2 x x2 ;

; 77)		x 1		dx ;		78)					dx						;
; 77)	3 2x		1	dx ;		78)		1	2x 4				1				;
	3 2x		1					1	2x 4				1		2x
80)	4 x		x		dx ;	81)					dx					;
80)		3 x			dx ;	81)			x	3	3	1	4	x	3	;
		3 x								3	3		4		3

83)				dx			.
83)		(2x 3)			4x x2		.
		(2x 3)			4x x2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Писменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 608 с.: ил.

2.Математический анализ в примерах и задачах / С.Н. Веричев, Г.Б. Корабельникова, В.Н. Максименко и др.; под ред. В.Н. Максименко: учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. – 140 с.

3.Ларин А.А. Курс высшей математики, 2001, mailto: aalar@cityline.ru.

	ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...................................................................................................................		3
Основные обозначения............................................................................................		4
§ 1.	Числовые функции одной действительной переменной.........................	5
1.	Понятие функции..............................................................................................	5
2.	Основные характеристики функций ...............................................................	6
3.	Основные элементарные функции..................................................................	7
4.	Функции, заданные параметрически.............................................................	14
5.	Полярная система координат.........................................................................	15
§ 2.	Предел функции............................................................................................	16
1.	Понятие предела. Раскрытие некоторых видов неопределённостей.........	16
2.	Замечательные пределы. Эквивалентности..................................................	21
3.	Непрерывность функции................................................................................	24
§ 3.	Дифференциальное исчисление функции одной переменной.............	28
1.	Дифференцирование явно заданных функций.............................................	28
2.	Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически........	32
3.	Геометрический смысл производной............................................................	33
4.	Правило Лопиталя ..........................................................................................	34
§ 4.	Применение производной к исследованию функций............................	36
1.	Условия возрастания и убывания функций..................................................	36
2.	Экстремумы функции.....................................................................................	36
3.	Условия выпуклости функций.......................................................................	37
4.	Точки перегиба................................................................................................	37
5.	Асимптоты.......................................................................................................	38
6.	Построение графиков.....................................................................................	38
	58

§ 5.	Неопределённый интеграл..........................................................................	42
1.	Первообразная функции и неопределённый интеграл...............................	42
2.	Основные методы интегрирования...............................................................	43
3.	Интегрирование дробей..................................................................................	47
4.	Интегрирование некоторых тригонометрических функций......................	51
5.	Интегрирование некоторых иррациональных функций.............................	54
Библиографический список..................................................................................		57

Рощенко Ольга Евгеньевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебно-методическое пособие

Редактор И.Л. Кескевич

Выпускающий редактор И.П. Брованова

Корректор И.Е. Семенова

Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка Л.А. Веселовская

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

___________________________________________________________________________________

Подписано в печать 06.06.2016. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз. Уч.-изд. л. 3,48. Печ. л. 3,75. Изд. № 253/15. Заказ № 866. Цена договорная

___________________________________________________________________________________

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]