Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Учебно-методическое пособие

Дополнительные точки: пере-

y

сечение с OY: х = 0; у =

4

; пере-

3

сечение с OХ: у = 0; х = 4

е

1

5. Построение графика начина-

2/е

ем с построения асимптот. Затем

наносим точки экстремума, точки

перегиба. После этого рисуем гра-

2 3

4

x

фик, опираясь на результаты ис-

следования (монотонность, выпук-

лость, вогнутость).

3

3

2

1

4

3

y (x

2

x

1)e

3x

1)

y x

2 x

8 ; 2)

y 4 x

x

3

; 3)

;

4)

y (x 5)3 (x 1)2 ;

5) y x2

x2 2 ;

6) y

x3

;

x2 1

y (x2 2x)ln x 3 x2

7)

4x 1 ;

8) y 2(x 1)e x .

2

Найти интервалы выпуклости, вогнутости функций:

9)

y 1 x4

1 x3 12 ;

10)

y

x3

;

1 x

4

3

11)

y x6 2x4

1;

12)

y

x2

.

x2 1

Исследовать функцию и построить её график:

13)

y x3 12x 2 ;

14)

y

x 2

;

x2 9

x

15)

y (4 x)ex 3 ;

16)

y 3 3ln

.

x 4

Определение. Функция F(x) (x X )

называется первообразной

для функции f (x) на множестве X ,

если она дифференцируема

ции от х.

5.

f (x)dx f (x)dx; const.

6.

Если F(x) – первообразная для f (x) , функция u u(x) имеет

непрерывную производную, то f (u)du F(u) C.

Таблица основных неопределённых интегралов

Здесь u u(x) имеет непрерывную производную,

const.

1. u du u 1 C, 1.

2. du ln

u

C .

1

u

42

Пример. Найти интегралы

xdx

d(x2

1) (x2 1) dx 2xdx

x2 1

1

2xdx

1

(x2 1) 1/2d(x2 1) .

2

2

x

2

1

Здесь u x2 1 . По формуле 1 таблицы имеем

(x2 1)

1

1

1

2

J 2

C (x2 1)1/2 C

x2 1 C .

1

2

1

2.3. Замена переменной

Пусть требуется найти интеграл f (x)dx. Выполним замену пере-

менной x (t)

, тогда dx (t) dt . Получим

f (x) dx

f ( (t))

(t)dt .

Пример. Найти интеграл

t sin x;

sin x cos xdx

dt d(sin x)

(sin x) dx cos xdx

1 2

dt

2

t

3 2

C

2

(sin x)

3 2

C .

t dt t

3

3

10)

dx

;

11)

2dx

;

12)

7dx

;

9x2

1

1

49x2

81 4x2

13)

dx

;

14) (2x 1)20dx ;

15) 5 3x 4dx ;

121x2 25

dx

16)

sin8xdx ;

17)

;

18) 2x 3 sin(x2

3x) dx ;

cos2 (5x 1)

19)

x2

dx

;

20) ctg

5

x

dx

;

21)

ln

8

x

dx

;

x3

2

sin2 x

x

22)

arcsin2 x

dx ;

23)

ex dx

;

24) 3x3 1 3x2dx ;

1 e2x

1 x2

25)

tg x dx

;

26)

dx

;

27)

dx

;

cos2 x

9 16x2

25x2

4

28)

dx

;

29)

4x2

5

dx .

1

x x

4x2 1

Найти интегралы методом замены переменной:

30)

x

x 5dx ;

31)

dx

;

32)

ln x 1

dx

;

(x 1)

x

xln x

33)

2x 1

dx ;

34)

x

dx ;

35) x(x 3)50dx ;

(x 3)4

3 x2 4 x

37)

xcos3xdx ;

38)

x2 2xdx ;

39)

arctg xdx ;

40)

xln xdx ;

41)

xe5xdx ;

42)

(x 2)e xdx ;

43)

(x 9)sin xdx ;

44)

ln(x2 1)dx ;

45)

ex sin(x 3) dx .

46

а)

Интегралы вида

dx

,

dx

сводятся к таб-

ax2

bx c

ax2

bx c

dx

преобразуем

dx

dx

x2 6x 25

к формуле

11

(x2

6x 9) 16

(x 3)2

42

dx d(x 3)

d(x 3)

1 arctg

x 3

C.

(x 3)2 42

4

4

б) Интегралы вида

px q

dx ,

px q

dx .

ax2

bx c

ax2 bx c

1)

выделить полный

квадрат

из

квадратного трёхчлена

ax2 bx c a(x m)2 n ;

2) сделать замену переменной (x m) u .

Пример. Найти интеграл

3x 4

dx

3x 4

dx

u x 3;

du dx;

7 x2

16 (x 3)2

6x

x u 3;

=

3u 9 4

du

3

udu

13

du

3

16 u2

16 u2

16 u2

16 u2

13arcsin u C

3 7 x2

6x 13arcsin

x 3

C.

4

4

делёнными коэффициентами

9x3

30x2 28x 88

.

(x2 6x 8)(x2 4)

Так как ( x2 6x 8)(x2 4) (x 2)(x 4)(x2

4) , то

9x3 30x2 28x 88

A

B

Cx D

.

(x 2)(x 4)(x2

4)

x 2

x

4

x2

4

Пример. Представить

дробь

в

виде

суммы простейших

3x 4

.

x(x 2) x 1

Корни знаменателя действительные

простые, а

именно x1

= 0,

x2

= 2, x3 = –1. Следовательно, разложение этой дроби на элементарные

выглядит так:

3x 4

A

B

C

.

x(x 2)(x 1)

x

x

2

x 1

x 0

A(0 1)(0 2) 4

2A 4

A 2;

x 2

B 2(2 1) 2

6B 2

B 1 3;

x 1

7

3C 7

C( 1)( 1 2)

C 7 / 3;

3x 4

2

1 3

7 3 .

x(x 2)(x 1)

x

x 2

x 1

49