Математические методы анализа и прогнозирования в электроэнергетике. Учебное пособие

Находятся расчетные значения критерия

гдесреднеквадратические ошибки параметров равны:

Теоретическое значение критерия tтабл находится по таблице критических значений распределения Стьюдента (прил.  2) по уровню значимости a и числу степеней свободы df = n – m – 1 или с помощью встроенной функции Excel «СТЬЮДРАСПОБР».

Если |tbj| > tтабл, то с вероятность ошибки a оценка параметра уравнения регрессии bj (j = 0,1) статистически значима.

В противном случае (|tbj| < tтабл) – bj статистически незначима.

Пример.

Для показателя «Электропотребление региона» (МВт×ч) по данным с января 2021 по декабрь 2023 г. построен линейный тренд. Оценить качество уравнения тренда (найти среднюю абсолютную процентную ошибку, проверить критерии Фишера и Стьюдента).

51

Оценка качества модели временного ряда (уравнение тренда найдено в примере п.  3.2)

yt =758,99+58,31 t +et

производится аналогично оценке качества линейной регрессионной модели.

1.  Для проверки математической точности уравнения линейного тренда

yt =758,99+58,31 t

найдем среднюю абсолютную процентную ошибку по формуле (3.4) (расчеты см. в табл.  3.3):

Так как 7,13 < 10 % точность уравнения тренда высокая (см. табл.  3.2).

2.  Проверку статистической значимости уравнения тренда в целом произведем с помощью F-критерия Фишера (3.5). Расчетные значения взяты из табл.  3.1.

гдеn = 36 – длина ряда;

m = 1 – число независимых переменных в уравнении тренда.

52

Табличное значение критерия Фишера с df1 = p = 1 и df2 = = n – m – 1 = 36 – 1 – 1 = 34 степенями свободы при уровне значимости a = 0,05 найдено с помощью встроенной функции «FРАСПОБР». Fтабл(0,05; 1; 34) = 4,13.

Поскольку Fрасч > Fтабл, уравнение тренда в целом статистически значимо.

3.  Проверку статистической значимости параметров уравнения тренда произведем с помощью критерия Стьюдента (3.6)–(3.8). Расчетные значения взяты из табл.  3.1.

Расчетные значения критерия равны

Табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости a = 0,05 и числе степеней свободы df = n – m – 1 =

= 36 – 1 – 1 = 34 составляет tтабл(0,05; 34) = 2,03.

Поскольку tb0 > tтабл, параметр b0 статистически значим; т.к. tb1 > tтабл, параметр b1 также статистически значим.

Уравнение тренда имеет хорошее качество, адекватно описывает исходный ряд.

Таблица  3.3

Расчетная таблица оценки модели ряда

53

Окончание табл.  3.3

3.4.  Анализотклоненийоттренда

Согласно аддитивной модели временного ряда

yt = yt +et

54

остатки (отклонения от тренда) et находятся как разность между фактическими (наблюдаемыми) и теоретическими значениями уровней ряда:

Точечная (числовая) оценка дисперсии остатков s2e одномерного временного ряда находится по формуле

Интервальной оценкой дисперсии остатков является доверительный интервал

который с вероятностью (надежностью) g = 1 – a покрывает неизвестную дисперсию s2e.

Здесь c2 – критические значения распределения Пирсона, найденные по прил.  5 по числу степеней свободы df = n – m – 1 и уровням значимости a1 = a / 2 и a2 = 1 – a / 2. Для вычисления c2 можно воспользоваться встроенной функцией Excel «ХИ2ОБР».

В модели временного ряда остатки должны удовлетворять следующим предпосылкам метода наименьших квадратов.

3.4.1.  Нулевоематематическоеожиданиеостатков

Математическое ожидание остатков должно равняться нулю, т.е. M(et) = 0.

Числовой оценкой математического ожидания M(et) является среднее значение –e. Для выполнения требования M(et) = 0 необходимо, чтобы

55

Если не допущены ошибки при вычислении коэффициентов уравнения тренда, это условие (3.12) всегда выполняется. В случае, когда –et ≠ 0, для проверки требования 1 используют t-критерий Стьюдента.

3.4.2.  Постоянстводисперсииостатков

Дисперсия остатков et должна быть одинаковой (постоянной) для всех значений t (свойство гомоскедастичности). Если это условие не соблюдается, имеет место гетероскедастичность остатков (непостоянство дисперсии).

При гетероскедастичности оценки коэффициентов уравнения тренда bj (j = 0, 1, …, m) будут несмещенными, но неэффективными, вследствие чего окажутся завышенными расчетные значения t-критерия, и будут сделаны неверные выводы о значимости коэффициентов уравнения тренда.

Эффективным методом предварительного анализа гомоскедастичности остатков является визуальный анализ графиков остатков. Строится график остатков в зависимости от номера уровня ряда (рис.  3.3, 3.4).

Вслучае гомоскедастичности точки (остатки) равномерно располагаются внутри горизонтальной полосы, симметричной оси абсцисс – оси времени t (рис.  3.3).

Вслучае гетероскедастичности точки (остатки), начиная

снекоторого момента времени, устойчиво выходят из горизонтальной полосы, симметричной оси абсцисс (рис.  3.4).

Обычно не ограничиваются визуальной проверкой гетероскедастичности, и проводят ее подтверждение на основе критериев.

Для обнаружения эффекта гетероскедастичности используют тесты: ранговой корреляции Спирмена, Парка, Голд- фелда–Квандта, Уайта, Глейзера и др.

56

Рис.  3.3.  Гомоскедастичность остатков

Рис.  3.4.  Гетероскедастичность остатков

Наиболее простым и чаще всего используемым при проверке гомоскедастичности является тест, предложенный С. Голдфелдом и Р. Квандтом. Недостатком теста является требование большой длины ряда.

Тест Голдфелда–Квандта

Предполагается, что остатки et имеют нормальное распределение и в них отсутствует автокорреляция.

Тест Голдфелда–Квандта состоит в следующем.

1.  Рядостатковразбиваетсянатричастидлиннойk,(n–2k), k соответственно. Как правило, k = n / 3.

57

2.  Оцениваются отдельные тренды для первой части (k первых уровней) и для третьей части ряда (k последних уровней). Если имеет место гетероскедастичность, то дисперсия остатков по первой части ряда будет существенно отличаться от дисперсии по третьей части.

Находятся сумма квадратов отклонений для по первой части ряда:

k

S1 =∑e2t , t=1

сумма квадратов отклонений для регрессии по третьей части ряда:

n

S3 = ∑ e2t . t=n−k−1

3.  Для сравнения соответствующих дисперсий строится F-статистика:

Построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы df1 = df2 = k – 2.

Если F > Fкрит = F(a, df1, df2), то дисперсия остатков непостоянна (a – выбранный уровень значимости).

3.4.3.  Независимостьостатков

Предпосылка метода наименьших квадратов: для разных наблюдений остатки et некоррелированы (независимы). Если это требование нарушается, интервальные оценки коэффи-

58

циентов уравнения тренда, а также прогнозных значений в виде доверительных интервалов в форме Стьюдента становятся ненадежными.

Наиболее распространенный метод проверки требования о независимости остатков – критерий Дарбина–Уотсона (DW- тест о наличии в остатках автокорреляции первого порядка), в котором рассчитывается статистика:

t=1

где0 ≤ dрасч ≤ 4.

Для линейного уравнения тренда теоретические значения критерия Дарбина–Уотсона dU и dL находятся по таблице критических значений (прил.  4) по объему выборки n, числу степеней свободы df = 1 и уровню значимости a.

С помощью критических значений числовой промежуток (0; 4) разбивается на пять отрезков и принимается решение о независимости остатков.

Принятие решения о зависимости остатков

Если dрасч попадает в интервалы, где имеет место положительная (0; dL) или отрицательная автокорреляция (4 – dL; 4), остатки считаются зависимыми. В интервале, где отсутствует автокорреляция (dU; 4 – dU), остатки независимы.

На практике в случае, когда статистика критерия dрасч попадает в зону неопределенности (dL; dU) или (4 – dU; 4 – dL),

59

обычно признается наличие автокорреляции в остатках, т.е. остатки считаются зависимыми.

Тест Дарбина–Уотсона обладает недостатками:

•наличие зон неопределенности, когда нет четкого ответа на вопрос о наличии и характере автокорреляции;

•DW-тестдаетнадежныерезультатыпридлинерядаn>15;

•DW-тест устанавливает наличие автокорреляции только первого порядка, т.е. выявляет зависимость между соседними членами ряда остатков. Тогда как зависимость может наблюдаться между более отдаленными членами ряда.

Замечание.

1.  Для проверки независимости остатков в случае моделей авторегрессии применяется тест h-Дарбина.

2.  В тесте Бреуша–Годфри (тест серий) и тесте Льюинга– Бокса нет зон неопределенности. С их помощью можно выявить автокорреляцию (зависимость) между членами ряда остатков с лагом 2, 3 и более.

3.  Существуют методы, позволяющие устранить или смягчить эффект зависимости остатков.

3.4.4.  Нормальностьостатков

Одним из требований метода наименьших квадратов являетсятребованиеподчиненияостатковнормальномузаконураспределения. Нормальность остатков обосновывает построение доверительных интервалов с использованием t-критерия и др.

Одним из популярных и простых способов проверки нормальности остатков et является тест Харке–Бера (Jarque– Bera), в котором используются числовые характеристики формы распределения:

•асимметрия

A = 13 1 ∑n (et )3 . se n t=1

60