Математические методы анализа и прогнозирования в электроэнергетике. Учебное пособие

В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих один процесс (явление). Например, показатели деятельности предприятия, наблюдаемые помесячно, можно представить в виде многомерного ряда (табл.  1.2). В качестве показателей можно взять показатели регионального электропотребления:

Y – объемы потребления электроэнергии в регионе; Х1 – объем валового внутреннего продукта;

Х2 – объем покупки электроэнергии по свободным и регулируемым долгосрочным договорам;

Х3 – объемы покупки электроэнергии на рынке на сутки вперед;

Х4 – объемы покупки электроэнергии на балансирующем рынке;

Х5 – температура окружающей среды.

Таблица  1.2

Многомерный временной ряд

В данном пособии изложена методика изучения абсолютных моментных одномерных временных рядов с равноотстоящими уровнями (далее – временных рядов).

1.3.  Моделинестационарныхвременныхрядов

Значения уровней ряда формируются под влиянием различных факторов: общей тенденции, сезонных и циклических закономерностей изучаемого процесса, а также случайных воздействий.

11

Тренд представляет собой долговременную систематическую линейную или нелинейную компоненту, закономерно изменяющуюся во времени (тенденцию).

Сезонная составляющая – это периодически повторяющаяся компонента, обусловленная временем года.

Циклическая составляющая – это периодически повторяющаяся компонента, обусловленная технологическим процессом или экономическими закономерностями.

Эти три вида регулярных (систематических) компонент часто имеются в рядах одновременно. Например, потребление электроэнергии может возрастать из года в год (тренд), но при этом оно может содержать и сезонную составляющую (на спрос и объемы электропотребления могут оказывать влияние сезонные факторы). На объем потребления электроэнергии также могут влиять технологические циклы (циклическая составляющая).

Необязательно, чтобы в формировании значений уровней ряда участвовали все четыре вида факторов (табл.  1.3). Однако случайная составляющая присутствует всегда и является обязательной составляющей временного ряда, т.к. случайность непременно присутствует в производственном процессе.

Случайная компонента является действием большого числа относительно слабых, второстепенных факторов. Влияние каждого из второстепенных факторов на значение уровней ряда незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Таблица  1.3

Факторы, влияющие на значение уровней временного ряда

12

Перечисленные в табл.  1.3 компоненты уровней временного ряда носят теоретический характер и оцениваются статистическими методами. Разделение временного ряда на составляющие компоненты называется фильтрацией.

В зависимости от связи компонент временного ряда между собой могут быть построены следующие модели.

Модель временного ряда, которая представляет каждое значение уровня ряда как сумму указанных выше компонент, называется аддитивной. Согласно этой модели, любое значение временного ряда представляется в виде суммы

гдеyt – значение уровня временного ряда;

e

yt, st, ct, t – соответственно значения трендовой, сезонной, циклической и случайной компонент в момент времени t.

Значения et также называются остатками (случайными возмущениями) модели.

Аддитивная модель применяется в тех случаях, когда анализируемый временной ряд имеет приблизительно одинаковую амплитуду колебаний на протяжении всей длины ряда (рис.  1.3).

Наиболее общей является мультипликативная модель временного ряда, используемая при анализе ежемесячных, ежеквартальных и ежегодных данных по электропотреблению и потому чаще всего применяемая в статистических исследованиях.

13

В мультипликативной модели значения его уровней представляется в виде произведения

Мультипликативная модель применяется в тех случаях, когда анализируемый временной ряд имеет возрастающую (уменьшающуюся) амплитуду колебаний на протяжении всей длины ряда (рис.  1.4).

Рис.  1.4.  График временного ряда с непостоянной амплитудой колебаний уровней

14

Для проверки адекватности построенной модели вместо мультипликативной удобнее использовать смешанную модель с аддитивными остатками:

15

2.  ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙАНАЛИЗ ВРЕМЕННОГОРЯДА

2.1.  Графическийанализвременногоряда

Анализ временного ряда начинается с построения и анализа его графика. График временного ряда – ломаная линия. На горизонтальной оси откладываются моменты времени t, на вертикальной оси – значения соответствующих уровней yt временного ряда.

Визуальный анализ графика временного ряда позволяет определить наличие и характер тренда, наличие сезонных и циклических колебаний, предполагаемых точек смены тенденции, выбросов (аномальных значений). Предварительные выводы, сделанные по виду графика, впоследствии проверяются статистическими расчетами.

Выявление сезонных (циклических) колебаний удобно проводить методом «наложения». Когда на горизонтальной оси откладываются периоды времени предполагаемого периода колебаний (например, месяцы или кварталы года), а по вертикальной оси – значения соответствующих уровней за несколько лет. При наличии сезонной (циклической) компоненты графики будут подобными (в части наличия пиков или спадов).

Пример.

Имеются месячные значения показателя «Электропотребление региона» (МВт ч) за 2018–2023 гг. (табл.  2.1). Провести графический анализ ряда.

16

Окончание табл.  2.1

17

Для проведения расчетов исходный ряд запишем в виде табл.  2.2.

График временного ряда изучаемого показателя «Электропотребление региона» изображен на рис.  2.1.

На рис.  2.1 видны периодические колебания графика. Наиболее выраженные колебания повторяются через каждые 12 моментов времени, что в нашем случае соответствует 12 месяцам. Между этими 12 месяцами также есть незначительные

18

колебания, повторяющиеся с определенной периодичностью. Таким образом, можно сделать предположение, что данный временной ряд не случаен и эти колебания – годовые, полугодовые и квартальные изменения заявленной мощности. Также можно заметить, что, начиная с момента времени t = 32, график возрастает быстрее, а амплитуда колебаний увеличивается, что является косвенными признаками смены тенденции.

Рис.  2.1.  График временного ряда электропотребления

На рис.  2.2 построен график электропотребления методом наложения. На графике прослеживается наличие сезонности, причем для последних трех лет сезонность проявляется сильнее.

Рис.  2.2.  График временного ряда электропотребления

19

2.2.  Выявлениеаномальныхзначений

Уровни временного ряда могут содержать аномальные значения («выбросы»), которые могут возникать из-за ошибок двух типов.

Ошибки 1-го рода (устранимые) возникают при сборе, записи и передаче данных.

Ошибки 2-го рода (неустранимые) вызываются объективными причинами (аварии, катастрофы, кризисы, природные явления и др.).

Выбросы искажают результаты моделирования. Поэтому выявление и тестирование выбросов – обязательный этап предварительного анализа временного ряда.

При наличии аномальных значений их необходимо заменить реальными близлежащими или расчетными значениями. Чаще всего их заменяют средней арифметической двух соседних уровней ряда либо соответствующим значением по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд. В случае ошибок 2-го рода помимо «сглаживания» выбросов производится анализ как самих значений, так и вызвавших их причин.

В процессе визуального анализа выявляются точки графика, «подозрительные» на выброс. Для тестирования подозрительного значения yt можно использовать метод Ирвина.

Рассчитывается наблюдаемое значение критерия (статистика):

гдесреднеквадратическое отклонение sy рассчитывается с помощью формул:

20