Математические методы анализа и прогнозирования в электроэнергетике. Учебное пособие

Таблица  2.8

Представление данных для расчета коэффициентов автокорреляции

41

Коэффициент автокорреляции l-го порядка найдем по формуле (2.16).

Фактически он является коэффициентом парной корреляции между соответствующими столбцами табл.  2.8 и находится с помощью встроенной функции Excel «КОРРЕЛ». Например, коэффициент автокорреляции второго порядка r2 есть коэффициент парной корреляции между выделенными заливкой столбцами табл.  2.8.

На основе табл.  2.8 рассчитываются коэффициенты автокорреляции и заполняется табл.  2.9. Первые два столбца которой представляют собой табличное задание автокорреляционной функции. Ее график (коррелограмма) изображен на рис.  2.7 сплошной линией.

Проверка статистической значимости найденных коэффициентов автокорреляции производится следующим образом.

Для каждого лага l вычисляется число степеней свободы k = n – l – 2 = 36 – l – 2 (указаны в 3-м столбце табл.  2.6).

42

Для уровня значимости a = 0,05 находятся критические значения rкритl коэффициентов корреляции по прил.  3 (указаны в 4-м столбце табл.  2.6).

Если |rl| > rкритl , то коэффициент автокорреляции rl статистически значим (если |rl| < rкритl , то коэффициент автокорреляции rl статистически незначим).

Проверим выполнение этого неравенства графически. На рис.  2.7 добавим линию критических значений (пунктирная линия).

Рис.  2.7.  Коррелограмма (1) и линия критических значений (2)

Для всех точек коррелограммы, лежащих выше линии критических значений, выполняется неравенство |rl| > rкритl , следовательно, соответствующие коэффициенты автокорреляции статистически значимы. В нашем случае все коэффициенты автокорреляции статистически значимы.

Поскольку |r1| = 0,90 ≥ 0,70, изучаемый ряд имеет линей-

ную тенденцию, уравнение тренда – прямая yt = b0 + b1 t. Как видно из табл.  2.9 и рис.  2.7, для l = 12 коэффици-

ент автокорреляции r12 принимает максимальное значение, следовательно, данный ряд имеет цикличность с периодом в 12 моментов времени (т.е. годовой цикл на месячных данных). Длина цикла t = 12.

43

3.  МОДЕЛИРОВАНИЕВРЕМЕННОГОРЯДА БЕЗУЧЕТАФАКТОРАСЕЗОННОСТИ

3.1.  Видыуравненийтренда

Построение уравнения тренда (кривой роста) для моделирования тенденции называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Основным содержанием метода аналитического вырав-

нивания временных рядов является расчет общей тенденции

развития (тренда) как функции времени yt = f(t), где yt – те-

оретические значения уровней ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому выражению на момент времени t.

Простейшими функциональными формами (уравнениями, формулами), выражающими тенденцию развития, являются следующие.

1.  Полиномиальная (p – степень полинома):

yt =b0 +b1 t +b2 t2 +...+bp tp. 2.  Линейная:

yt =b0 +b1 t

(частный случай полиномиальной при p = 1), используется для описания процессов, развитие которых протекает во времени равномерно. Параметр b0 интерпретируется как параметр начальных условий (значение уровня y0 в нулевой момент времени t = 0), b1 – как скорость роста значений уровней yt.

3.  Параболическая:

yt =b0 +b1 t +b2 t2

44

(частный случай полиномиальной при p = 2), используется для описания процессов, развитие которых характеризуется равноускоренным ростом (снижением). Параметр b0 интерпретируется как параметр начальных условий (значение переменной y0 в нулевой момент времени t = 0), b1 – как скорость роста и b2 – как ускорение роста значений уровней yt.

4.  Показательная:

5.  Экспоненциальная:

6.  Степенная:

yt =b0 tb1 .

7.  Обратная:

45

Параметры уравнений трендов (уравнение тренда представляет собой уравнение регрессии) в случае функциональных форм, линейных относительно коэффициентов, определяются методом наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов также используется для нелинейных линеаризируемых моделей (которые можно привести к линейному виду путем преобразований). В случае уравнений, которые нельзя привести к линейному виду, используется метод максимального правдоподобия или другие специальные методы. Для нахождения значений параметров b0, b1 рекомендуется использовать пакет Excel «Поиск решения».

При нахождении коэффициентов уравнений тренда в качестве независимой переменной выступает время t = 1, 2, …, n , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt.

Динамику временного ряда можно описать несколькими уравнениями тренда. В качестве критериев отбора наилучшей формы тренда для линейных или линеаризуемых уравнений можно использовать наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации R2скорр и наименьшее значение средней абсолютной процентной ошибки МАРЕ. В случае нелинеаризуемых уравнений рекомендуется использовать минимизацию информационных критериев Акаике (AIC) и Шварца (BIC), что представляет довольно сложную задачу, решение которой требует использования специализированных пакетов прикладных программ.

На практике при выборе формы тренда обычно используют положения и выводы теории, описывающей изучаемый показатель, визуальный анализ графика ряда, а также результаты исследования структуры ряда (автокорреляция уровней ряда, определение степени полиномиального тренда и др.).

3.2.  Построениелинейноготренда

Поведение многих монотонных временных рядов хорошо описывается линейной функцией, т.е. линейным трендом

46

Для нахождения значений параметров b0, b1 рекомендуется использовать пакет Excel «Анализ данных», инструмент «Регрессия».

Нарис.  3.1пунктирнойлиниейизображенлинейныйтренд.

Рис.  3.1.  Графики ряда электропотребления (1) и линейного тренда (2)

Пример.

Для показателя «Электропотребление региона» (МВт ч) по данным с января 2021 по декабрь 2023 г. построить линейный тренд.

47

Автокорреляционный анализ показал (см. пример в п.  2.6),

что изучаемый ряд имеет линейную тенденцию, которая опи-

сывается уравнением линейного тренда yt = b0 + b1 t. Это уравнение является уравнением парной линейной регрессии, в котором в качестве независимой переменной выступает время t, а в качестве зависимой переменной – исходный ряд yt.

Для нахождения параметров тренда b0 и b1 воспользуемся программой «Анализ данных», инструмент «Регрессия», предварительно перенумеровав уровни ряда начиная с 1 до 36. Результаты расчетов приведены в табл.  3.1.

Таблица  3.1

Результаты расчетов параметров и характеристик линейного тренда

Уравнение тренда имеет вид

yt =758,99+58,31 t, (t =1, 2, ..., 36).

48

Рис.  3.2.  График ряда (1) и линия тренда (2)

3.3.  Оценкакачествауравнения линейноготренда

Оценка качества уравнения линейного тренда производится аналогично оценке качества уравнения парной линейной регрессии.

1.  Найденное уравнение линейного тренда графически изображается прямой линией (см. рис.  3.2), проходящей

3.  Для оценки математической точности уравнения тренда можно воспользоваться показателем – средней абсолютной процентной ошибкой:

Принятие решения о точности уравнения основывается на табл.  3.2.

49

4.  Проверка статистической значимости уравнения линейного тренда в целом осуществляется с помощью F-критерия Фишера.

Находится расчетное значение (статистика) критерия

гдеn – длина ряда;

(m + 1) – число параметров уравнения тренда. В случае линейного тренда m = 1.

Табличное (критическое) значение Fтабл находится по таблице критических значений распределения Фишера-Сне- декора (F-распределения) (прил. 1) по уровню значимости a

идвум числам степеней свободы df1 = m и df2 = n – m – 1 или

спомощью встроенной функции Excel «FРАСПОБР».

Если Fрасч > Fтабл, то с вероятностью ошибки a уравнение линейноготрендавцеломстатистическизначимо(адекватно).

В противном случае (Fрасч < Fтабл) уравнение в целом статистически незначимо.

5.  Для проверки статистической значимости оценок параметров b0, b1 можно воспользоваться t-критерием Стьюдента.

50