Математические методы анализа и прогнозирования в электроэнергетике. Учебное пособие

Рис.  2.3.  Графики исходного (1) и сглаженного (2) ряда электропотребления

Аналогичным способом производится сглаживание ряда по любому нечетному числу m членов ряда. В случае отсутствия необходимых формул, вычисление первых и последних членов сглаженного ряда не производится и в соответствующих строках расчетной таблицы ставится прочерк.

При сглаживании по четному числу членов ряда сначала вычисляются средние значения m уровней ряда, которые затем центрируются, т.е. в качестве сглаженных значений принимаются средние значения двух рядом стоящих средних.

Пример.

Для показателя «Электропотребление региона» (МВт ч) по данным с января 2018 по декабрь 2023 г. провести линейное сглаживание методом скользящей средней по пяти точкам. На одном рисунке построить график временного ряда и график сглаженного ряда.

Проведем линейное сглаживание ряда по m = 5 точкам.

Новое сглаженное значение уровня ряда ~

yt для t = 3, 4, …, n – 2

вычисляется по формуле (2.9):

yt = 15 (yt−2 +yt−1 +yt +yt+1 +yt+2).

31

Для t = 3

y3 = 15 (y1 +y2 +y3 +y4 +y5)=479;

для t = 4

y4 = 15 (y2 +y3 +y4 +y5 +y6)=511,12 и т.д.

Для вычисления двух первых и двух последних сглаженных уровней ряда используем формулы (2.10), где n = 72:

y1 = 51 (3y1 +2y2 +y3 −y5)=419,32; y2 =101 (4y1 +3y2 +2y3 +y5)=449,85;

y71 =101 (4y72 +3y71 +2y70 +y68)=2903,93; y72 = 15 (3y72 +2y71 +y70 −y68)=3064,4.

Исходный и сглаженный ряды представлены в табл.  2.5 и на рис.  2.4.

Рис.  2.4.  Графики исходного (1) и сглаженного (2) ряда электропотребления

32

Таблица  2.5

Расчет сглаженных уровней ряда

33

2.5.  Методэкспоненциальногосглаживания

В методе экспоненциального сглаживания в процедуре нахождения сглаженного уровня вес фактических уровней уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня временного ряда. Более «старые» значения имеют меньший вес, а самый большой весовой коэффициент имеет последний уровень.

Согласно методу экспоненциального сглаживания значе-

ние ~ для момента времени + 1 находится по формуле yt+1 t

гдеa – константа (параметр) сглаживания (0 < a < 1).

Таким образом, для момента времени + 1 оценка ~

t yt+1 вычисляется по рекуррентной формуле с помощью предыдуще-

го сглаженного ~ и фактического значения уровня ряда в yt yt

момент времени t.

В соответствии с формулой (2.13) вычисление сглаженных

уровней начинается с = 1. Значение ~ определяется различ- t y1

ными способами. Чаще всего используется среднее первых трех уровней ряда:

y1 = 13 (y1 +y2 +y3 ).

После преобразования формула (2.13) принимает вид

34

Чем ближе значение a к единице, тем в большей степени

~ ~

ошибка (yt – yt) участвует в расчете сглаженного уровня yt+1.

Чем ближе значение a к нулю, тем меньший вклад вно-

сит ошибка в значение ~ . Можно сказать, что в этом случае

yt+1

ошибку можно рассматривать как величину, случайно отличающуюся от нуля.

Таким образом, экспоненциальное сглаживание можно рассматривать как адаптивную модель, а константу сглаживания a – как параметр модели.

Выбор коэффициента сглаживания – сложная проблема. Не существует формальных критериев определения значения a. В ряде случаев предлагается находить ее по формуле

a = n2+1.

Существуют более точные методы, для реализации которых необходимы программные средства.

На практике чаще всего используются значения коэффициента сглаживания от 0,1 до 0,3. Можно сказать, что значение a отражает субъективное мнение исследователя об устойчивости изучаемого процесса.

Замечание.

В литературе встречается другой вариант формулы (2.13):

St =ayt +(1−a)St−1,

гдеyt – значение ряда в момент времени t;

St – прогноз на следующий момент времени t + 1.

Пример.

Для показателя «Электропотребление региона» (МВт ч) по данным с января 2021 по декабрь 2023 г. провести экспоненциальное сглаживание для коэффициентов сглаживания 0,1; 0,2; 0,5. На одном рисунке построить график временного ряда и графики сглаженных рядов.

35

Для вычисления сглаженных значений уровней ряда воспользуемся формулой (2.13):

yt+1 =ayt +(1−a)yt, (t =1, 2, ..., 35).

Первое сглаженное значение найдем как среднее первых трех уровней исходного ряда:

y1 = 13 (y1 +y2 +y3 )=853,73.

Результаты расчетов приведены в табл.  2.6 и на рис.  2.5.

Рис.  2.5.  Графики фактических уровней электропотребления и экспоненциально сглаженных уровней

Уровни сглаженного ряда, рассчитанные для константы сглаживанияa=0,5,наиболееблизкикфактическимуровням.

36

Окончание табл.  2.6

37

2.6.  Исследованиеструктурыряда. Автокорреляция

Особенностью временных рядов является зависимость значения уровня ряда yt от значений предыдущих уровней в моменты времени 1, 2, …, t – 1. Говорят, что в ряду имеет место автокорреляция.

Автокорреляционный анализ временного ряда позволяет установить степень тесноты связи последующих членов ряда от предыдущих и временной интервал, в течение которого эта зависимость статистически значима.

Автокорреляцией называется корреляция уровней временного ряда друг с другом, со сдвигом во времени на l моментов (с лагом l). Количественно ее можно измерить с помощью выборочного коэффициента автокорреляции rl между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на l шагов во времени.

Коэффициентавтокорреляциипервого порядкаr1 (лаг l =1) находится по формуле

38

Коэффициенты автокорреляции, будучи коэффициентами парной корреляции между уровнями ряда и сдвинутыми уровнями, могут принимать значения в интервале –1 < rl < 1.

После вычисления коэффициентов автокорреляции необходимо проверить их статистическую значимость сравнением с критическими значениями коэффициента корреляции rкритl (a, k). Критические значения берутся из таблицы критических значений коэффициентов корреляции r-Пирсона (прил.  3) по уровню значимости a и числу степеней свободы

k = n – l – 2. Если |rl| < rкритl , то коэффициент корреляции rl статистически незначим и выводы, сделанные по его значе-

нию, имеют вероятность ошибки, равную 1 – a. Последовательность коэффициентов автокорреляции назы-

вают автокорреляционной функцией временного ряда (ACF). График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой. Коррелограмма обычно строится либо в виде ломаной линии (рис.  2.6), либо в виде столбиковой диаграммы.

Анализ коэффициентов автокорреляции производится на основании шкалы Чеддока (табл.  2.7).

39

Таблица  2.7

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет: правильно определить структуру ряда; определить лаг, при котором связь между текущими и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная (сильная); подобрать модель изучаемого ряда – проверить его стационарность, выявить наличие тренда и сезонных колебаний и др.

Если абсолютное значение коэффициента автокорреляции первого порядка |r1| > 0,7, ряд содержит линейную тенденцию, если |r1| < 0,5 – ряд содержит нелинейную тенденцию.

Вслучае 0,5 < |r1| < 0,7 выбор вида уравнения тренда требует дополнительных исследований.

Вслучае, когда наибольшее абсолютное значение имеет коэффициент автокорреляции порядка l = t > 1 и при этом, |rt| > 0,7, ряд содержит циклические колебания с периодом

вt моментов времени.

Пример.

Для показателя «Электропотребление региона» (МВт ч) по данным с января 2018 по декабрь 2023 г. вычислить коэффициенты автокорреляции. Проверить статистическую значимость коэффициентов автокорреляции. Построить коррелограмму.

Для расчета коэффициентов автокорреляции 1-го, 2-го, …, 12-го порядка составим вспомогательную табл.  2.8.

40