Математика. Дифференциальное исчисление. Часть II. Функции нескольких независимых переменных. Учебное пособие

№ 4314 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

Дифференциальное исчисление. Часть II. Функции нескольких независимых переменных

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2021

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Поверхности уровня . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.Производные и дифференциалы функций нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.Полное приращение и полный дифференциал. . . . . . 14

5.Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. . . . . 17

6.Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.Частные производные высших порядков. . . . . . . . 24

8.Формула Тейлора для функции двух переменных . . . . 29

9.Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции . . . . . . . . 32

10.Производная от функции, заданной неявно. . . . . . 37

11.Производная по направлению. . . . . . . . . . . . 44

12.Градиент. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

13.Связь градиента с производной по направлению. . . . 48 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . 52 Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальное исчисление возникло из практической деятельности человечества еще в XVII веке в связи с необходимостью решения различных задач, таких как задача о нахождении (с помощью вычислений) касательной плоскости к произвольно заданной поверхности, позднее возникла необходимость решения различных экономических задач.

Для решения большинства практических задач общей идеи недостаточно. Необходимо иметь количественное определение величины, характеризующей производную. Потребность

втаком точном количественном определении исторически послужила одним из основных побудителей к созданию математического анализа. Это привело к обобщению понятия функции одной переменной сперва на функции двух переменных и

витоге на функции нескольких переменных. Примеры таких функций:

1)объем V кругового цилиндра, являющийся функцией

от радиуса его основания и высоты; зависимость между этими переменными выражается формулой V = πR2H , которая дает по независимым переменным R и H установить соответствующее значение V ;

2)напряжение V в цепи электрического тока, связанное по закону Ома с сопротивлением R цепи и с силой тока I за-

висимостью I = VR ;

3) объем V усеченного конуса, являющийся функцией уже трех независимых переменных – радиусов R и r его основа-

ний и высоты H по формуле V = π3H (R2 +Rr +r2 ).

Изучая физическое явление или состояние какого-нибудь тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Это может быть и плотность, и температура, и электрический потенциал и тому подобное.

Все эти величины есть функции точки, или, что то же самое, это функции от координат. В приведенных примерах это

4

функции двух или трех переменных, к ним может еще добавляться координата времени, и уже в рассмотрении получаются функции трех и четырех переменных. Обобщая понятие функции, приходят как к функциям n независимых переменных, так и к функциям с бесконечным количеством переменных.

5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение. Если каждой точке M(x1;x2;...;xn ) множества D Rn по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное действительное число z , то говорят, что на множестве D определена функция n независимых переменных

x1;x2;...;xn и пишут z =f (x1;x2;...;xn ), M(x1;x2;...;xn ) D или z =f (M), M D .

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, так как все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных z = f(x, y).

Определение. Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то многозначной.

Определение. Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение. Графиком функции z =f (x;y) называется

множество всех точек P(x;y;f (x;y)) пространства Oxyz , где

M(x;y) D .

Рассмотрим сечение графика функции плоскостью z = C (эта плоскость параллельна плоскости XOY и пересекает ось Z в точке z = C). Спроектируем линию пересечения этой плоскости с поверхностью z = f(x,y) на плоскость XOY и получим так называемую линию уровня C функции z = f(x,y).

Определение. Линией уровня функции двух переменных z =f (x;y) называется линия на плоскости Oxy , заданная уравнением f (x;y)=const .

Определение. Множество линий уровня функции z =f (x;y) называют картой линий уровня этой функции.

6

Пример 1. Найти линии уровня функции z =x2 +y2 .

Решение: графиком функции z =x2 +y2 является параболоид вращения, линиями уровня функции z =x2 +y2 являются концентрические окружности вида x2 +y2 =const .

Линия уровня представляет собой множество всех точек в плоскости XOY, для которых выполняется равенство f(x,y) = C. Придавая различные значения параметру C, можно получить множество линий уровня функции f(x,y). Если для каждой линии уровня указать соответствующее ей значение C, то получится топографическая карта поверхности, представляющей собой график функции.

7

2. ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ

Пусть в пространстве (x,y,z) имеется некоторая область D , в которой задана некоторая функция u =u(x,y,z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле. Например, если u(x,y,z) обозначает температуру в точке M(x,y,z), то говорят, что задано скалярное поле температур; если область D заполнена жидкостью или газом и u(x,y,z) обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений, и т.д.

Рассмотрим точки области D , в которых функция u(x,y,z) имеет постоянное значение c : u(x,y,z)=c . Совокупность этих точек образует некоторую поверхность, так, полученные поверхности называют поверхностями уровня. Они являются обобщением понятия линий уровня.

Пример 2. Пусть задана функция или, как говорят еще, за-

дано скалярное поле u(x,y,z)= x2 + y2 + z2 . 4 9 16

Решение: поверхностями уровня для этой функции будут

тром в начале координат и полуосями 2с , 3с , 4с .

Если функция u есть функция двух переменных x и y , т.е. u =u(x,y), то «поверхностями» уровня будут линии на плоскости u(x,y)=c , которые называются линиями уровня. Если значения u откладывать по оси Oz : z =u(x,y), то линиями уровня на плоскости Oxy будут проекции линий, которые получаются в пересечении поверхности z =u(x,y) с плоскостями z =c . Зная линии уровня, легко исследовать характер поверхности z =u(x,y). Это наглядно видно на рис. 1.

Пример 3. Определить линии уровня функции z =1−x2 −y2 .

Решение: линиями уровня являются линии с уравнениями 1−x2 −y2 =c . Это система концентрических окружно- стей (рис. 2) с центром в начале координат и радиусом 1−с , в частности, при c =0 получается окружность x2 +y2 =1 .

8

Рис. 1. Линии уровня функции

Рис. 2. Линии уровня функции z =1−x2 −y2 .

Задача 1. Найти и схематически изобразить область опреде-

9

Задача 2. Начертить семейство линий уровня каждой

Определение. Окрестностью точки M0 (x0;y0 ) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворя-

M0 (x0;y0 ), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0 , что для любой точки M(x;y), для которых верно условие MM0 <r , также верно и условие f(x,y) − A <ε. Записыва-

ют lim f(x,y) = A .

x→x0 y→y0

Определение. Пусть точка M0 (x0;y0 ) принадлежит области определения функции f (x;y). Тогда функция z =f (x;y) называется непрерывной в точке M0 (x0;y0 ), если

lim f(x,y) =f(x0,y0 ) ,

x→x0 y→y0

причем точка M(x;y) стремится к точке M0 (x0;y0 ) произвольным образом.

Если в какой-либо точке это условие не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f (x;y). Это может быть в следующих случаях:

1) функция z =f (x;y) не определена в точке M0 (x0;y0 ); 2) не существует предел lim f(x,y) ;

x→x0 y→y0

3) этот предел существует, но он не равен f(x0,y0 ) .

Функция z =f (x;y) непрерывна в точке M0 (x0;y0 ) D тогда и только тогда, когда

lim Dz = lim f (x0 +Dx,y0 +Dy)−f (x0,y0 ) =0 .

Dx→0 Dx→0 Dy→0 Dy→0

10