Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Дифференциальное исчисление. Часть II. Функции нескольких независимых переменных. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Задача 6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M0 (x0, y0, z0 ).

1. x3 +y3 +z3 +xyz −6 =0, M0 (1, 2, −1). 2. x2 +y2 −z2 = −1, M0 (2, 2, 3).

3. x2 +2y2 +3z2 =6, M0 (1, −1, 1).

4. x2 +y2 +z2 =9, M0 (1, −2, 2).

5. x2 + y2 =2z, M0 (3, −2, 1). 9 4

6.ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

СПОМОЩЬЮ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

Dz =f(x +Dx,y +Dy) −f(x,y) ;

f(x +Dx,y +Dy) =f(x,y) +Dz .

Если подставить в эту формулу выражение

Dz ≈dz = ∂∂xf Dx + ∂∂yf Dy , то получим приближенную формулу

f(x +Dx,y +Dy) ≈f(x,y) + ∂f(∂xx,y) Dx + ∂f(∂xy,y) Dy .

Пример 14а. Вычислить приближенно значение (1,03)2,04 .

Решение: введем вспомогательную функцию z =xy и вычислим ее значение при x = 1; y = 2. Из заданного выражения определим Dx = 1,03 – 1 = 0,03; Dy = 2,04 – 2 = 0,04.

Найдем значение функции z =xy =12 =1 . Находим частные

производные:

∂z

y−1

∂z

= yx

(M) =

2 1

=2,

lnx

(M) =1

ln1 =0 .

∂x

∂y

Подставляем их в формулу

z(x +Dx,y +Dy) ≈z(x,y) +

∂z(x,y) Dx + ∂z(x,y)

(

)

∂x

∂y

и получаем, что 1,03

2,04 ≈1+2 0,03

=1,06.

Пример

14б.

Вычислить

приближенно

значение

1,041,99 +ln1,02 .

Решение: введем вспомогательную функцию u =

xy +lnz

и вычислим ее значение при x = 1; y = 2; z = 1. Из заданно-

го выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04; Dy = 1,99 – 2 = = –0,01; Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) =

12 +ln1 =1 . Нахо-

дим частные производные:

∂u

y xy−1

2 1

=1 ;

∂u

xy lnx

;

∂x

∂y

2 xy +lnz 2 1

2 xy +lnz

∂u

∂z

xy +lnz

Подставляем их в формулу

u(x +Dx,y +Dy,z +Dz) ≈

≈u(x,y,z)

+ ∂u(x,y,z) Dx + ∂u(x,y,z) Dy + ∂u(x,y,z)

∂x

∂y

∂x

и получаем, что

du =0,04

∂u

−0,01

∂u +0,02

∂u =

∂x

∂y

∂z

=1 0,04 −0 0,01+

0,02 =0,04 +0,01 =0,05;

1,041,99 +ln1,02 ≈u(1,2,1) +du =1+0,05 =1,05 . Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Задача 7. Вычислить приближенно число.

1.B =(4,03)2 +(2,95)2 .

2.C =sin29° tg46°.

3.D =(1,05)3,94 .

7. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные fx′(x,y) и fy′(x,y) тоже будут определены в той же области или ее части.

Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка:

	∂2z	=f′′	(x,y);		∂2z	=f′′		(x,y);
		=f′′	(x,y);			=f′′		(x,y);
	∂x2	xx			∂y2		yy
	∂x2				∂y2
∂2z		=f′′	(x,y);		∂2z		=f′′		(x,y).
		=f′′	(x,y);				=f′′		(x,y).
∂x∂y		xy		∂y∂x			yx
∂x∂y				∂y∂x

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида

∂2z ; ∂2z ; ∂3z ; ∂3z ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y∂x ∂x∂y∂y

и т.д. называются смешанными производными.

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные

fx′,fy′,fxy′′ ,fyx′′ определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение

∂2f = ∂2f . ∂x∂y ∂y∂x

Вообще, частная производная n-го порядка есть первая производная от производной (n – 1)-го порядка. Например, есть производная n-го порядка, где функция z сначала p раз дифференцировалась по x, а потом n – p раз по y.

Для функции любого числа переменных частные производ ные высших порядков определяются аналогично, а также справедлива аналогичная теорема, т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования при аналогичных условиях.

Пример 15. Найти частные производные второго порядка

∂2z ; ∂2z ; ∂2z ; ∂2z функции z =x2y +y3 .

∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y2

Решение: вычислим сначала частные производные перво-

го порядка функции	∂z	,	∂z	:	∂z	=2xy ;	∂z	=x2 +3y2 . Теперь
	∂x		∂y		∂x		∂y

вычислим частные производные второго порядка, исходя из определения:

∂2z

∂

∂z

∂2z

∂

∂z

=2x ;

=2y

;

∂x

∂x∂y

∂x

∂y

∂x

∂2z

∂

∂z

= 2x ;

∂2z

∂

∂z

=6y .

∂y∂x

∂y

∂x

∂y

Пример 16. Найти частные производные второго порядка

∂2z	;	∂2z	;	∂2z	;	∂2z	функции z =tg(x2y).
2		∂x∂y				2
∂x				∂y∂x		∂y

Решение: вычислим сначала частные производные первого

∂z ∂z

∂z

2xy

∂z

порядка функции

;

. Те-

∂x

∂y

∂x

cos2 (x2y)

∂y

cos2 (x2y)

перь вычислим частные производные второго порядка, исходя из определения:

∂2z

∂

∂z

∂x

∂x ∂x

2ycos2

(x2y)+2cos(x2y)sin(x2y) 4x2y2

cos4 (x2y)

2y(cos(x2y)+2x2ysin(2x2y))

;

cos4 (x2y)

∂2z

∂

∂z

∂x∂y

∂y

∂x

2xcos2 (x2y)+2cos(x2y)sin(x2y) 2x3y

cos4 (x2y)

2x(cos(x2y)+x2ysin(2x2y))

;

cos4 (x2y)

∂2z

∂

∂z

∂y∂x

∂y

∂x

∂2z

∂

∂z

−3

2x4 sin(x2y)

(−2cos

y))(−sin(x

y)) x

∂y

cos

Пример 17. Найти смешанные частные производные тре-

тьего порядка

∂2z

;

∂3z

функции z =x2y3 +y2ex +1 .

∂x2∂y

∂y∂x2

Решение: вычислим сначала частные производные первого

порядка функции

∂z

∂y

∂x

∂z

∂2z

∂

∂z

2xy

=2y

;

∂x

∂3z

∂

∂2z

=6y2 +2yex ;

∂y

∂x

∂y

∂z

=3x2y2 +2yex ;

∂2z

∂

∂z

=6x2y +2ex ;

∂y

∂y∂x

∂x

∂y

∂3z

∂

∂2z

=6y2 +2yex .

∂y∂x

∂x

∂y∂x

Аналогично определяются и дифференциалы высших порядков:

dz =fx′(x,y)dx +fy′(x,y) ;

d2z =d fx′(x,y)dx +fy′(x,y)dy =

=fx′′2 (x,y)(dx)2 +2fxy′′ (x,y)dxdy +fy′′2 (x,y)(dy)2;

d3z =f′′′3 (x,y)(dx)3 +3f′′′2						y	(x,y)(dx)2 dy +
x					x	y
+3f′′′	2 (x,y)dx(dy)2				+f′′′3 (x,y)(dy)3			;
xy						y
		∂		∂			n
dnz =			dx +		dy		f(x,y) ,
dnz =		∂x	dx +	∂y	dy		f(x,y) ,
		∂x		∂y

где n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения.

Пример 18. Найти значение производной					∂3z	функции
					∂x∂y2
	y	(	)
z =ex				.
		в точке M 1; 0

Решение: последовательно вычислим частные производные:

∂∂xz =exy −xy2 ;

∂2z

∂

∂z

∂

−ex

∂x∂y

∂y

∂x

= −ex

−ex

= −ex

;

∂3z

= −ex

−ex

∂x∂y

Значение производной

∂3z

определим, подставив

∂x∂y2

x =1,y =0 :

∂3z

= −eo 1 (0 +1)−eo 1 = −2.

∂x∂y2

Задача 8. Найти частные производные второго порядка

∂2z ; ∂2z ; ∂2z функции z =f (x,y).

∂x2 ∂y2 ∂x∂y

1. z =ln(4x2 −2xy).

2. z =cos(5x −4y3 ).

3. z =arcsin(x +2y).

5. z =	x2	.
	y3

	x
7. z =ln			−1 .

	y

9. z =arctg(3y −x).

11. z =exy2 .

13. z = x2 +1. y −2

4.z =ex3 +2y2 .

6.z =4x2 −5xy +6y3 −2.

8.z =sin(x y).

10. z =ctg(3y −xy). 12. z =5xy3 −4x2y +1.

14. z =sinx cosy.

Задача 9. Проверить, удовлетворяет ли заданная функция указанному уравнению.

1.z =esin(x+2y); 4 ∂2z − ∂2z =0.

∂x2 ∂y2

2.z = 2xx2 ++3yy2 ; x ∂∂xz +y ∂∂yz = −z.

3.z =exy; x2 ∂2z +y2 ∂2z =0.

∂x2 ∂y2

4. z =arctg

x +y

;

∂2z

=0.

−xy

∂x∂y

5. u =ln(x2 −y3 +z2 ); 3x

∂u

−2y

∂u

+3z

∂u

=6.

∂x

∂y

∂z

8. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция двух переменных z =f(x,y) непрерывна вместе со всеми своими частными производными до (n +1) -го порядка включительно в некоторой окрестности точки M(a,b) . Тогда аналогично тому, как это было в случае функции одной переменной, функцию двух переменных представим в виде суммы многочлена n -го порядка по степеням x −a и y −b и некоторого остаточного члена. Ниже будет показано, что для случая n =2 эта формула имеет вид

f(x,y) = A0 + D(x −a) + E(y −b) +

+2!1 A(x −a)2 +2B(x −a)(y −b) +C(y −b)2 +R2,

где коэффициенты A0,D,E, A,B,C не зависят от x и y , а R2 – остаточный член, структура которого аналогична структуре остаточного члена в формуле Тейлора для функции одной переменной.

Применим формулу Тейлора для функции f(x,y) одной переменной y , считая x постоянным (ограничимся членами

второго порядка):
f(x,y) =f(x,b) +	y −b	f′(x,b) +	(y −b)2		f′′	(x,b) +	(y −b)3	f′′′	(x,η ),

1		y		1 2 yy			1 2 3 yyy		1
где η1 =b +θ1(y −b), 0 <θ1 <1.
Функции f(x,b) ;		f′(x,b) ;		f′′ (x,b)		разложим по формуле
		y		yy

Тейлора по степеням x −a , ограничиваясь смешанными производными до третьего порядка включительно:

f(x,b) =f(a,b) +

x −a

′(a,b) +

(x −a)2

f′′

(a,b) +

(x −a)3

f′′′

(ξ ,b) ,

1 2 xx

1 2 3

xxx

где ξ1 =x +θ2 (x −a),

<θ2 <1 ;

f′(x,y) =f′(a,b) +

x −a

f′′ (a,b) +

(x −a)2

f′′′

(ξ

,b) ,

1 2

yxx

где ξ2 =x +θ3 (x −a) , 0 <θ3 <1 ;

f′′	(x,b) =f′′	(a,b) +	x −a	f′′′	(ξ ,b) ,

yy	yy		1	yyx	3

где ξ3 =x +θ4 (x −a) , 0 <θ4 <1.

Подставляя полученные выражения в исходную формулу, получим

f(x,y) =f(a,b) +

x −a

f′(a,b) +

(x −a)2

f′′ (a,b) +

(x −a)3

f′′′

(ξ ,b) +

1 2 3

1 x

1 2

xxx

y −b

f′(a,b) +

x −a

′′

(a,b)

(x −a)2

f′′′

(ξ ,b)

1 2

yxx

(y −b)2

f′′ (a,b)

x −a

′′′

(ξ

,b)

(y −b)3

f′′′ (x,

yyx

1 2

yyy

1 2

Располагая и группируя слагаемые по возрастанию степеней производных, получим формулу указанного в условии вида:

f(x,y) =f(a,b) +(x −a)fx′(a,b) +(y −b)fy′(a,b) +

+2!1 (x −a)2 fxx′′ (a,b) +2(x −a)(y −b)fxy′′ (a,b) +(y −b)2 fyy′′ (a,b) +

(x −a)3 f′′′ (ξ ,b) +3(x −a)2 (y −b)f′′′ (ξ

,b) +

xxx

xxy

+3(x −a)(y −b)2 f′′′

(ξ ,b) +(y −b)3 f′′′ (a,η

)

xyy

yyy

]

Это и есть формула Тейлора при n =2.

Выражение

(x −a)3 f′′′

(ξ ,b) +3(x −a)2 (y −b)f′′′

(ξ

,b) +

xxx

xxy

+3(x −a)(y −b)2 f′′′

(ξ

,b) +(y −b)3 f′′′ (a,η

)

]

xyy

yyy

называется остаточным членом. Обозначим далее x −a = Dx, y −b = Dy, Dρ= (Dx)2 +(Dy)2 . Преобразуем R2 :

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]