Математика. Дифференциальное исчисление. Часть II. Функции нескольких независимых переменных. Учебное пособие

окрестность, содержащая точку (x0,y0 ) , в которой уравнение F(x,y) =0 определяет однозначную функцию y =j(x) .

Аналогичная теорема имеет место и для условий существования неявной функции, определяемой уравнением F(x,y,z) =0 .

Замечание. При выводе правил дифференцирования неявных функций мы пользовались условиями, которые и определяют существование неявных функций.

Пример 27. Вычислить частные производные ∂∂xz и ∂∂yz сложной функции z =u2 +ln(u +v2 ), где u =sin y cosx, v =ex2 −y2 .

Задача 10. Найти частные производные сложных функций.

1.z =u3v −v2u, где u =x tgy, v =ctg(x +y).

2.z =arcsin vu2 , где u =ex2 −y2 , v =arctgxy.

3.z = u3 +v2 −3, где u =arcsin(3x −y), v =5x2 −y3.

41

4.z =ln(uv2 −u +1), где u =cosx y2, v =3xy −5.

5.z =arctg(3uv −5u), где u = xy , v =5−2x +y.

6.z = wu+v1; где u =x2 sin y, v =ln(x +y); w =arctgxy.

7.z =cosu sinv +v w2, где u =e2x+y, v =ln x −1 ; w =x2 +y2.

y

Найти ∂∂xz :

10.z =ln(u2 +2u +1), где u =5sinx −3cosx, v =x2 −4.

11.z =arctg y2 , где y =ln(x2 +x +1).

x

12.z =sin(ex +ey ), где y =arctg x.

13.z =uv, где u =ctgx +1, v =x ex.

14.z = uv2 , где y =cos x −sin x, v =arctg(x2 +1).

15.z = x2 +y3 −3, где y =ln(x3 −1)+5x.

Пример 28. Вычислить значение частных производных

∂∂xz и ∂∂yz неявно заданной функции 3x −2y +z =xz +5 в точке

M(2; 1; −1).

Решение: приведем функцию к виду F(x,y,z)=0 и воспользуемся формулами

∂∂xz = − FF′′xz ; ∂∂yz = − FF′′yz ;

42

11.xyz +ey−z − x +z y =0; M(2,1,1).

12.x +y −z −z2x −2 =0; M(1,1,−1). x +yz

13.2x2 −y2 +z2 −4z +y −13 =0; M(2,1,−1).

43

Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

44

Du = ∂∂xu Dx + ∂∂uy Dy + ∂∂uz Dz +ε1Dx +ε2Dy +ε3Dz ,

где величины ε1, ε2, ε3 – бесконечно малые при Ds →0 . Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

DDus = ∂∂xu cosa+ ∂∂uy cosb+ ∂∂uz cosγ +ε1 cosa+ε2 cosb+ε2 cosγ ;

Заметим, что величина S является скалярной. Она лишь определяет направление вектора S .

Из этого уравнения следует следующее определение.

Определение. Предел lim Du называется производной

DS→0 DS

функции u(x, y, z) по направлению вектора S в точке с координатами (x, y, z).

Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

Пример 29. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора АВ . В (3, 0).

Решение: прежде всего необходимо определить координаты вектора АВ :

АВ =(3–1; 0–2) = (2; –2) = 2 i −2j .

Далее определяем модуль этого вектора: AB = 8 =22 .

Находим частные производные функции z в общем виде:

45

Значения этих величин в точке А:

Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ

За величину S принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ :

производной заданной функции по направлению вектора АВ .

46

12. ГРАДИЕНТ

Определение. Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке:

∂∂xu; ∂∂uy ; ∂∂uz ,

то этот вектор называется градиентом функции u: gradu = ∂∂xu i + dy∂u j + ∂∂uz k .

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов. Для иллюстрации геометрического и физического смысла

градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой-либо точке. В физике существуют такие понятия, как градиент температуры, градиент давления и т.п. То есть направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

С точки зрения геометрического представления – градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

47

13. СВЯЗЬ ГРАДИЕНТА С ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Теорема. Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

gradu = ∂∂xu i + dy∂u j + ∂∂uz k .

Выражение, стоящее в правой части этого равенства,

значить через j, то скалярное произведение можно записать

в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла

между ними. С учетом того, что вектор S единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать

gradu cosj= ∂∂us .

48

и их значения в точке М:

Следовательно, имеем gradz(M)=i + j. Величина градиента равна gradz(M) = 12 +12 = 2.

Пример 31. Найти производную функции z = x2 +y2 в точке M(3, 4) по направлению l, заданному вектором a(4, −3).

Решение: находим частные производные функции z и вычисляем их значения в точке М:

Задача 12. Найти величину и направление градиента функции в точке М.

1.z =ln(x tg y); M 1, π .

4

2.z =x2 +y2 +z2 −2xyz; M(1, −1, 2).

3.z =x3 +y3 +z3 −3xyz; M(2, 1,−1).

4.z =x2 +2xy +3y2 +4x −2y +5; M(7, 4).

5.u =x2y +y2z +z2x; M(1, 1, 1).

6.u =x2 +3y2 +4z2 −xy −2yz +5xz; M(1, 0, 1).

7.z =lnx2 +y2 , M(1, 1).

49

8.u =x3 +y3 +z3; M(1, −1,1).

9.z =ln x − 1 , M(1, 3).

y

10. u =x3 +y3 +z3 −6xyz; M(2, −1,−3).

Задача 13. Найти производную функции в точке М по направлению вектора MN .

1. z =x2 −xy +y2; M(1, 1), N(7, 9).

2.u =xyz; M(5, 1, 2), N(9, 4, 14).

3.u =xy +yz +1; M(0,−2,−1), MN(12,−3,−4).

4.z =x2y −3xy +xy2; M(1, 2), N(−1, 0).

5.z =x4 +y4 −x2 −2xy −y2; M(−1, 1), N(1, 1).

6.u =xy +xz +yz; M(2, 3, 4), N(3, 10, 6).

7.u =x3 +y3 +z3; M(1, −1, 1), N(0, −2, −3).

8.z =x3 −3xy +y3; M(0, −1), N(1, 1).

9.u =x2 +y2 −4yz; M(0, 1, 2), N(2, 1, 1).

10.u =5x2yz −7xy2z +5xyz2; M(1, 1, 0), N(9, 1, 8).

Задание 14. Найти величину и направление градиента

50