Математика. Дифференциальное исчисление. Часть II. Функции нескольких независимых переменных. Учебное пособие

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство f(x0, y0, …) ≥f(x, y, …), а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек

верно неравенство f(x01, y01, …) ≤ f(x, y, …), тогда f(x0, y0, …) = = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m [m, M] существует точка

N0(x0, y0, …), такая, что f(x0, y0, …) = m.

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число K, что для всех точек области верно неравенство f(x,y,...) < K .

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии меньше D, выполнено неравенство

f(x1,y1) −f(x2,y2 ) <ε .

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке.

11

3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f(x + + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Тогда можно записать

это называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Аналогично определяется частная производная функции по у:

Геометрическим смыслом частной производной (допустим,

∂∂xz ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Решение: при вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные рассматриваются как константы:

12

Пример 5. Найти значение частных производных функции

13

4.ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ

ИПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f(x + + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные произво-

дные, то

Dz =f(x +Dx,y +Dy) −f(x,y) +

+f(x,y +Dy) −f(x,y +Dy) =

=[f(x +Dx,y +Dy) −f(x,y +Dy)]+

+[f(x,y +Dy) −f(x,y)].

Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим

называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх → 0 и Dу → 0 соответственно.

Определение. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная часть относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у):

14

dz =fx′(x,y)dx +fy′(x,y)dy .

Для функции f(x,y,z,...,t) произвольного числа переменных

df(x,y,z,...,t) = ∂∂xf dx + ∂∂yf dy + ∂∂fz dz +...+ ∂∂ft dt .

Если функция z =f (x,y) дифференцируема в точке M0 (x0,y0 ), то при малых Dx =h и Dy =t справедливо приближенное равенство (формула линеаризации):

f (x0 +h,y0 +t) f (x0,y0 )+ ∂f (x0,y0 )h + ∂f (x0,y0 )t .

∂x ∂y

Пример 6. Найти полный дифференциал функции u =xy2z .

Решение: так как du = ∂∂xu dx + ∂∂uy dy + ∂∂uz dz , то

du = y2zxy2z−1dx +2xy2zyzlnxdy +y2xy2z lnxdz .

15

z =f(x,y) .

16

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Нормаль

N

ϕN0

Касательная плоскость

Рис. 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0 (рис. 3).

Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности (см. рис. 3).

В какой-либо точке поверхность или имеет только одну касательную плоскость, или не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет урав­ нение

z −f(x0,y0 ) =fx′(x0,y0 )(x −x0 ) +fy′(x0,y0 )(y −y0 ) .

17

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх,

у0+Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной (см. рис. 3).

Пример 9. Найти уравнения касательной плоскости и нор- мали к поверхности z =x2 −2xy +y2 −x +2y в точке М(1, 1, 1).

Решение: найдем частные производные

и вычислим их в точке М(1, 1, 1):

– уравнение касательной плоскости: z −1 = −(x −1) +2(y −1)

Пример 10. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z =2x2 +y2 в точке M0 (1, −1, 3).

Решение: вычислим значения частных производных функ-

18

Получим:

– уравнение касательной плоскости: z −3 =4(x −1)−2(y +1) или 4x −2y −z −3 =0 ;

19

– уравнения нормали: x4−1 = y−+21 = z−−13 .

Задача 5. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке M0 (x0, y0, z0 ).

1. z =x2 +y2, M0 (1, 2, 5).

2. z =ln(x2 +y2 ), M0 (1, 0, 0).

3. z = x2 −y2, M0 (2, −1, 1). 2

4.z = x2 2−y2 , M0 (3, 1, 4).

5.z =sinx cosy, M0 π, π, 1 .

4 4 2

20