Квантовые группы и инварианты узлов

42 ГЛАВА III

хопфово спаривание × → индуцирует хопфово спаривание

ϕ : A B k

A × B → k в том и только том случае, если ϕ(ri, bj ) = 0 при всех i = 1, . . . , n и j = 1, . . . , q, и ϕ(ai, sj ) = 0 при всех i = 1, . . . , p и j = = 1, . . . , m.

3.5. Алгебра Хопфа, получаемая из конструкции двойного дубля, имеет каноническую билинейную форму, инвариантную относительно присоединенного действия. Чтобы описать эту форму, напомним сначала определение присоединенного действия алгебры Хопфа H. Присоединенное представление (левое) ad алгебры Хопфа H в самой себе определя-

ется следующим образом:

ad(x)(y) = x(1)yS(x(2)),

при x, y H. Этим обобщаются обычные понятия действия группы на самой себе сопряжением и присоединенного действия алгебры Ли. Другое действие может быть получено, если заменить S на S−1. Можно также получить два правых присоединенных действия.

С помощью коумножения в H мы можем продолжить присоединенное действие на H H. По двойственности получаем присоединенное действие H на билинейных формах в H.

Пусть ρ — представление алгебры Хопфа H над векторным пространством V . Говорят, что элемент v V ρ-инвариантен, если ρ(h)v = = ε(h)v при всех h H. В частности, можно говорить о билинейных формах на H, инвариантных относительно присоединенного действия, или, более коротко, об ad-инвариантных билинейных формах. Нетрудно проверить, что билинейная форма K на H ad-инвариантна в том и только том случае, если она удовлетворяет одному из следующих двух

эквивалентных условий при всех h, h , h H:

(i)K(ad(h(1))h , ad(h(2))h ) = ε(h)K(h , h ),

(ii)K(ad(h)h , h ) = K(h , ad(S(h))h ).

3.6. Пример

Пусть H — косовая алгебра Хопфа и пусть u H такое, что

S2(x) = uxu−1 при всех x H.

Если ρ : H → End(V ) — конечномерное представление, то следующая формула определяет ad-инвариантную билинейную форму на H:

K(x, y) = Tr(ρ(u)ρ(x)ρ(y)),

где Tr — обычный след.

В контексте алгебр Хопфа ad-инвариантные билинейные формы являются естественным обобщением формы Киллинга на алгебре Ли. Поэтому важно знать, существует ли такая форма, и если да, то невырожденная ли она. Для обобщенных дублей мы можем дать следующий простой ответ.

3.7. Теорема

Пусть A и B — алгебры Хопфа над полем k и ϕ : A×B → k — хопфово спаривание. Пусть Dϕ(A, B) есть соответствующий обобщенный дубль. Тогда следующая формула определяет ad-инвариантную билинейную форму K на Dϕ(A, B) :

K(a b, a b ) = ϕ(a, b )ϕ(S−2(a ), b),

где a, a A и b, b B. Более того, форма K невырожденная в том и только том случае, когда ϕ невырождено.

Эта теорема будет использована в следующей главе, чтобы строить ad-инвариантные билинейные формы на квантовых обертывающих алгебрах.

ГЛАВА IV

Квантовая обертывающая алгебра

Uqsl(N + 1)

В этой главе мы строим квантовые группы, ассоциированные с алгебрами Ли sl(N + 1), используя конструкцию обобщенного дубля параграфа 3 главы III.

1. Алгебра Ли sl(N + 1)

1.1. Рассмотрим алгебру Ли sl(N + 1) комплексных матриц (N + 1)× ×(N + 1) со следом 0. Пусть Eij — элементарные матрицы, у которых элемент на позиции (i, j) равен 1, а все остальные равны 0. Как известно,

элементы Eij при i = j и Eii − Ei+1,i+1 образуют базис sl(N + 1). При 1 i N положим

Ei = Ei,i+1, Fi = Ei+1,i, Hi = Eii − Ei+1,i+1 .

Рассмотрим коммутативную подалгебру Ли h, порожденную элементами

H1, . . . , HN .

Зафиксируем линейные формы ε1, . . . , εN +1, заданные на простран-

место равенства

[H, Eij ] = (αi + αi+1 + · · · + αj−1)(H) Eij ,

[H, Eji] = −(αi + αi+1 + · · · + αj−1)(H) Eji.

Линейные формы αi + αi+1 + · · · + αj при 1 i < j N называются положительными корнями sl(N + 1), и их множество обозначается

через +. Множество всех корней sl(N + 1) есть = + (− +).

46 ГЛАВА IV

при 1 i, j N .

На алгебрах U+ и U− есть структура алгебры Хопфа, задаваемая

Эти алгебры являются Q-градуированными, причем Ei имеет степень αi, Fi — степень −αi, а Ki и Ki — степень 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Это следует из результатов параграфа 3 главы III.

2.3.Примечания

(a)Выбор скаляра −1/(q − q−1) в соотношении (i) теоремы 2.2 дает правильную нормализацию коммутационных соотношений, встречающуюся в литературе. При этом правильное соотношение получается и при q = 1.

(b)Спаривание ϕ Q-градуировано.

По теореме 3.2 главы III спаривание индуцирует на

ϕ U+ U−

структуру алгебры Хопфа, обозначаемую D . Следующий факт мы

(U+)

выводим из теоремы 2.1, (iii) главы III.

2.4. Предложение

q − q−1

Как показывает следующая лемма, хопфово спаривание ϕ — вырождено.

2.5. Лемма

(a) Следующие элементы лежат в аннулирующем идеале IU˜+ : при |i − j| 2 и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

(a)Нетрудно показать, что если x = EiEj − Ej Ei и |i − j| 2, то x = x 1 + KiKj x,

ичто если y = Ei2Ej − (q + q−1)EiEj Ei + Ej Ei2 и |i − j| = 1, то

y = y 1 + Ki2Kj y.

Следовательно, эти элементы ортогональны всем разложимым элемен-

там . Далее, заметим, что спаривание градуировано, и все элемен-

U−

ты U− степени −(αi + αj ) в первом случае и −(2αi + αj ) во втором

Алгебры U+, U− являются алгебрами Хопфа и ϕ индуцирует хопфово спаривание между ними, обозначаемое также ϕ.

Напомним, что классическая теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта использует базис в sl(N + 1), как, например, базис, состоящий из векторов Hi при 1 i N и Eα, где α . Заметим, что если α +

задается как α = αi + αi+1 + · · · + αj , то, полагая β = αi+1 + · · · + αj , имеем Eα = [Ei, Eβ ].

Аналог корневых векторов Eα (α +) в V+ можно построить с помощью присоединенного действия, введенного в параграфе 3.4 главы III.

3.1. Определение

Пусть α = αi + · · · + αj +, где i j. Элемент Eα V+ определяется индукцией по длине α следующим образом: Eαi = Ei

при 1 i N и Eα = ad Ei(Eβ ), где β = αi+1 + · · · + αj .

Можно вычислить коммутационные соотношения между этими элементами.

3.2. Предложение

где γ = αi + · · · + αl и γ = αk + · · · + αj .

Рассмотрим следующее лексикографическое линейное упорядочение на +:

α1 > α1 + α2 > α1 + α2 + α3 > · · · > α1 + α2 + · · · + αN >

>α2 > α2 + α3 > · · · > α2 + · · · + αN >

>α3 > · · · > α3 + · · · + αN > · · · > αN −1 > αN −1 + αN > αN .

Заметим, что если записывать корни, как разности (εi −εj ), то это нечто

иное, как лексикографическое упорядочение. Чтобы упростить обозначения, положим

β1 = αN < β2 = αN −1 + αN < · · · < βs = α1,

где s = card(Δ+).

Из коммутационных соотношений предложения 3.2 мы выводим нижеследующее.

50 ГЛАВА IV

3.3. Предложение

Линейная оболочка множества упорядоченных мономов вида

где (m1, . . . , ms) Ns, совпадает со всем пространством V+.

Для того чтобы доказать, что эти упорядоченные мономы образуют, на самом деле, базис V+, а также чтобы исследовать хопфово спаривание, нам понадобится следующая q-мультиномиальная формула.

3.4. Лемма

Следующее утверждение доказывается индукцией по длине корней.

3.5.Предложение

(a)При α = αi +· · ·+αj , где 1 i < j N справедливо следующее: