Квантовые группы и инварианты узлов

ГЛАВА III

Квантовый дубль Дринфельда

В этой главе мы описываем общий способ получения косовых алгебр Хопфа. Этот способ, восходящий к В. Дринфельду [Dri87], сопоставляет каждой (конечномерной) алгебре Хопфа A косовую алгебру Хопфа D(A), называемую квантовым дублем A. Мы начинаем с двойственной конструкции, которая несколько проще.

1. Двойственная конструкция дубля

Пусть (A, μ, η, , ε, S) — алгебра Хопфа с обратимым антиподом S над полем k. Нетрудно увидеть (ср. пример 1.2 главы II), что (A, μ, η, op, ε, S−1) также является алгеброй Хопфа. Можно спросить, допускает ли алгебра (A, μ, η) другие коумножения? Используя понятие косовой алгебры Хопфа, мы можем пытаться конструировать коумно-

жения в (A, μ, η) следующим образом. Выберем обратимый элемент F в A A и положим F (a) = F Δ(a)F −1 A A для всех a A. Очевидно, что F есть гомоморфизм алгебр; мы хотим подобрать F , при кото-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

(i) Мы хотим, чтобы выполнялось

((ΔF id)ΔF )(a) = ((id F )ΔF )(a)

Так как умножение (коумножение) в A есть транспозиция коумножения (соответственно, умножения) в A, мы имеем тождества

из базисных элементов, а все остальные возьмем из Ker ε.

1.5. Теорема (см. [RS88])

Пусть A — конечномерная алгебра Хопфа с обратимым антипо-

F = (1A S−1ei) (ei 1A),

где (ei) — базис A.

(iii)Аугментация H есть тензорное произведение аугментаций

вA и Aop.

Тогда H является алгеброй Хопфа с обратимым антиподом, задаваемым как

SH (l a) = f (SA (l) SA−1(a))f −1,

где f = ei ei, l A и a A.

i

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Единственное утверждение, которое не вытекает немедленно из лемм 1.1 и 1.4 — это то, что SH — действительно антипод, то есть, что при любых l A и a A мы имеем

(μ ◦ (SH id))ΔF (l a) = (μ ◦ (id SH ))ΔF (l a) = ε(l)ε(a).

Заметим, что

F (l a) = F (l(1) a(1)) (l(2) a(2)) F −1,

где мы используем обозначения Свидлера, введенные в параграфе 1.8

главы II. Имеем

F (l a) = (l(1) S−1eia(1)ej ) (ei l(2)ej a(2)),

(SH id)ΔF (l a) =

=(ek Sl(1)er ek S−1ej S−1a(1)S−2eiS−1er ) (ei l(2)ej a(2)),

(μ(SH id))ΔF (l a) =

=ekSl(1)er ei l(2)ej ekS−1ej S−1a(1)S−2eiS−1era(2).

= ε(l)ε(a) ek ej ek S− ej = ε(l)ε(a)1H .

Соотношение (μ ◦(id SH ))ΔF (l a) = ε(l)ε(a) доказывается так же.

2. Квантовый дубль и его свойства

Двойственная алгебра Хопфа к алгебре Хопфа H, построенной в теореме 1.5, и есть в точности квантовый дубль Дринфельда, как о том говорит следующая теорема.

2.1. Теорема

Структура алгебры Хопфа на двойственной алгебре Хопфа H =

=A A ,cop может быть описана следующим образом:

(i)Как коалгебра, она является тензорным произведением коалгебр A и A ,cop.

(ii)По отношению к естественным вложениям A → H и A ,cop → H , задаваемым как a → a 1 и l → 1 l, соответственно,

Aи A ,cop являются подалгебрами Хопфа в H .

(iii)Для всех l A и a A имеем

(a 1)(1 l) = a l

и

(1 l)(a 1) = l(1), S−1a(1) l(3), a(3) a(2) l(2),

где , означает естественное действие A на A.

Алгебра Хопфа H называется квантовым дублем A и обозначается D(A). Как мы увидим в теореме 2.2, алгебра Хопфа D(A) канонически оснащена сплетением.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

(i) Эта часть понятна.

(ii) Пусть a, a A. Имеем равенства

=(a 1) (a 1), (l(1) S−1eib(1)ej ) (ei l(2)ej b(2)) =

=a, l(1) ε(ei)ε(b(1))ε(ej ) a , ei l(2)ej ε(b(2)).

Выберем базис (ei) в A так, чтобы ε(ek ) = 0 при k = 0, и ε(e0) = 1. Тогда получаем

ε(b) a, l(1) a , l(2) = aa 1, l b .

Следовательно, A является подалгеброй в H . Аналогично доказывается, что A ,cop — тоже подалгебра.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Обратимость R и формула для R−1 доказываются как в лемме 1.4. Соотношения (4.2) – (4.3) главы II вытекают из того, что коумножение в A (соответственно, в A ,cop) есть транспозиция (соответственно, обратное к транспозиции) умножения в A ,cop (соотв. в A).

Проверим соотношение (4.1) главы II. Понятно, что подпространство

{x D(A)|RΔ(x) = op(x)R}

является подалгеброй D(A). Поэтому достаточно лишь проверить соотношение (4.1) при x = a 1, где a A, и при x = 1 l, где l A .

лентно любому из следующих условий, выполненных при всех a H:

(i)R(a 1) = a(2)αi a(1)βiSa(3),

(ii)(a 1)R = αia(2) Sa(1)βia(3),

(iii)R(1 a) = a(3)αiS−1a(1) a(2)βi,

(iv) (1 a)R = S−1a(3)αia(1) βia(2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Мы докажем, что тождество RΔ(a) = op(a)R эквивалентно (i). Эквивалентность остальных условий доказывается таким же образом. Если (i) выполнено, то

38 ГЛАВА III

Следовательно,

R(a(1) a(2)) a(3) = a(2)αi a(1)βi a(3).

Подействуем теперь на обе части равенства оператором id id S и пе-

ремножим два последних члена справа и слева. Получаем R(a 1) =

= a(1)αi a(1)βiSa(3), то есть (i), что и требовалось.

Теперь мы закончим доказательство теоремы 2.2. Достаточно проверить условие (iii) леммы 2.3 для элементов вида a 1, где a A и условие (ii) той же леммы для элементов вида 1 l, где l A .

Левая часть условия (iii) равна

R((1 1) (a 1)) = (ei 1) ((1 ei )(a 1)) =

=(ei 1) (a(2) ei(2)) ei(1), S−1a(1) ei(3), a(3) .

Правая часть преобразуется к следующему виду:

((a(3)eiS−1a(1)) 1) (a(2) ei ).

Далее,

Аналогично, левая часть условия (ii) леммы 2.3 есть

((1 l) (1 1))R = ((1 l)(ei 1)) (1 ei ) =

=l(1), S−1ei(1) l(3), ei(3) (ei(2) l(2)) (1 ei ),

вто время как правая часть (ii) есть

(ei l(2)) (1 S−1l(1)ei l(3)).

Далее находим

S−1l(1)ei l(3) = S−1l(1)ei l(3), ej ej =

=S−1l(1), ej(1) ei , ej(2) l(3), ej(3) ej .

Следовательно, правая часть переписывается в виде

(ei l(2)) (1 ej ) S−1l(1), ej(1) ei , ej(2) l(3), ej(3) .

С учeтом i ei ei , ej(2) = ej(2), выполнение условия (ii) доказано.

2.5. Пример

Пусть G — конечная группа и A = F(G) — алгебра комплекснозначных функций на G. Тогда A ,cop есть групповая алгебра C[G]. Можно проверить, что дубль D(F(G)) изоморфен, как алгебра, скрещенному произведению алгебры F(G) на G, где G действует на F(G) с помощью присоединeнного действия.

3. Хопфовы спаривания и обобщенный дубль

Нетрудно заметить, что конструкция D(A) использует лишь тот факт, что между A и A ,cop имеется спаривание, удовлетворяющее некоторым условиям. Поэтому естественно дать следующее определение.

3.1. Определение

Пусть A и B — алгебры Хопфа с обратимыми антиподами над полем k. Хопфово спаривание между A и B есть билинейная форма

ϕ: A × B → k, такая что

(i)для всех a A и b, b B

ϕ(a, bb ) = ϕ(a(1), b)ϕ(a(2), b ),

(ii) для всех a, a A и b B

ϕ(aa , b) = ϕ(a, b(2))ϕ(a , b(1)),

(iii) для всех a A и b B

ϕ(a, 1B ) = ε(a) и ϕ(1A, b) = ε(b),

(iv) для всех a A и b B

ϕ(Sa, b) = ϕ(a, S−1b).

Мы не требуем, чтобы форма ϕ была невырожденной. Если ϕ вырождена, мы можем получить из неe невырожденное хопфово спаривание, факторизуя по аннулирующим идеалам. Более точно, положим

IA = {a A | ϕ(a, b) = 0 при всех b B},

IB = {b B | ϕ(a, b) = 0 при всех a A}.

Нетрудно проверить, что IA и IB являются хопфовыми идеалами в A и B, соответственно, и что хопфово спаривание ϕ : A/IA × B/IB → k, полученное факторизацией, невырожденное.

Следующая теорема обобщает теорему 2.1

3.2. Теорема

Пусть A и B — алгебры Хопфа над полем k и ϕ : A × B → k — хопфово спаривание между ними. Тогда существует единственная структура алгебры Хопфа на A B, удовлетворяющая условиям (i), (ii) и (iii) теоремы 2.1, где A ,cop нужно заменить на B, а естественное спаривание между A и A ,cop — на ϕ.

Алгебра Хопфа, которая доставляется теоремой 3.2, называется обобщeнным дублем A по отношению к B и ϕ. Она обозначается Dϕ(A, B) или D(A, B) в случае, когда ясно, какое ϕ имеется в виду.

Вообще говоря, алгебра Хопфа Dϕ(A, B) может и не быть косовой. Однако, если A и B конечномерны и ϕ невырождено, то та же конструкция, что и в теореме 2.2, превращает Dϕ(A, B) в косовую алгебру Хопфа. Более общий случай: пусть A и B — градуированные алгебры Хопфа с конечномерными однородными компонентами и пусть ϕ совместимо с градуировками. Тогда хопфовы факторалгебры A/IA и B/IB также градуированы и могут быть отождествлены, с помощью ϕ с двойственными друг к другу. В этом случае алгебра Хопфа Dϕ(A/IA, B/IB ) является косовой по той же самой конструкции теоремы 2.2.