Квантовые группы и инварианты узлов

Сужая этот изоморфизм на эндоморфизмы объекта и используя предложение 3.2, получаем теорему 2.3.

4.4. Следствие

Если R Q, то имеет место изоморфизм категорий

T (R) (R).

0 =

Доказательство теоремы 4.3 можно найти в [KT95, Section 6]. Основной ингредиент доказательства — функтор Z из категории T0 в некоторую ленточную категорию (R)[[h]], тесно связанную с категорией (R). Конструкция (R)[[h]] будет описана в главе IX; она основана на придуманной Дринфельдом процедуре квантования (см. параграф 2 главы IX). Сужение функтора Z (он строится в параграфе 3 главы IX) на множество эндоморфизмов единичного объекта — это универсальный инвариант Концевича для зацеплений.

4.5. Упражнение

Докажите непосредственно наличие изоморфизма T (R)/I (R).

0 = 0

ГЛАВА IX

Дополнительные сюжеты

В последней главе мы строим универсальный инвариант зацеплений Концевича, из которого могут быть получены все инварианты Васильева конечной степени. Эта конструкция использует понятие инфинитезимальной симметричной категории (параграф 1) и квантование Дринфельда – Картье таких категорий (параграф 2). Мы также предъявим явную формулу, выражающую квантовые инварианты узла в терминах инварианта Концевича. В последнем параграфе мы опишем весьма неожиданное действие группы Галуа Gal(Q/Q) на пространстве инвариантов Васильева.

1. Инфинитезимальные симметричные категории

Симметричная категория — это косовая категория, сплетение в которой σ является симметрией, т. е. для любых объектов V , W удовлетворяет условию

1.1. Определение

Пусть R — коммутативное кольцо и S — строго симметричная R-линейная категория с симметрией (σV,W )V,W . Инфинитезимальное сплетение в S — это семейство (tV,W )V,W эндоморфизмов V W , определенное для всех объектов V , W из S и удовлетворяющее соотношениям

для всех объектов U , V , W , V , W и всех морфизмов f : V → V , g : W → W в S.

где {xi}i I — ортонормальный базис в g по отношению к форме Киллинга (правая часть (1.6) независима от ортонормального базиса). Тензор t симметричен и g-инвариантен. По упражнению 1.2, действие t определяет инфинитезимальное сплетение на симметричной категории g-модулей.

1.4. Моноидальная структура на (R)

Покажем, что категория (R), определенная в параграфе 4 главы VIII является стогой инфинитезимальной симметричной категорией. Сначала мы вводим на (R) тензорное произведение. Тензорное произведение двух объектов s и s есть их конкатенация ss . Тензорное произведение двух хордовых диаграмм D, D есть их дизъюнктное объединение, где входы (соотв., выходы) D предшествуют входам (соотв., выходам) D (в терминах картинок: D D получается приставлением D слева к D ). По R-линейности это продолжается до тензорного произведения для всех морфизмов. Таким образом, (R) приобретает структуру строгой моноидальной категории, единичный объект которой — пустая последовательность .

Далее мы определяем симметрию. Для непустых последовательностей s и s рассмотрим морфизм

σs,s : s s −→ s s,

представленный хордовой диаграммой без хорд с вычетами 0, показанной на рис. 1.1.

ss

Рис. 1.1. Симметрия σs,s

Мы также положим σs, = σ ,s = ids. Хордовые диаграммы, представляющие левые части соотношений (3.2), (3.3) и (3.4) главы II и (1.1) гомеоморфны хордовым диаграммам, представляющим правые части. Поэтому (σs,s )s,s является симметрией в (R). Мы оснащаем (R) двойственностью следующим образом Для непустой последовательности s = = (ε1, . . . , εk ), состоящей из ±, двойственная последовательность s

определяется как

s = (−εk , . . . , −ε1).

Пустая последовательность двойственна сама себе по определению. Морфизмы bs : → s s и ds : s s → показаны картинка-

ми на рис. 1.2, которые мы рассматриваем как хордовые диаграммы без хорд с вычетами, равными 0.

s

s

Рис. 1.2. Морфизмы bs и ds

Далее мы определяем инфинитезимальное сплетение. Для непустой последовательности s = (ε1, . . . , εn) и всякой пары (i, j) разных целых чисел от 1 до n обозначим через Tsi,j хордовую диаграмму, полученную из ids добавлением единственной хорды, связывающей i-й и j-й интервалы (см. рис. 1.3).

1 i j n

Рис. 1.3. Хордовая диаграмма Tsi,j

Пусть ti,js : s → s — морфизм в (R), представленный εiεj Tsi,j . Нетрудно проверить следующие соотношения в (R): для разных целых чисел i, j, k, l = 1, . . . , n имеем (используя обозначение [f, g] = f g − gf )

Для непустых последовательностей s, s , состоящих из ±, мы определяем эндоморфизм s ts,s следующим образом:

=1 j=1

где r и r — длины s и s . Положим ts, = t ,s = t , = 0.

1.5. Предложение

Семейство морфизмов (ts,s )s,s является инфинитезимальным сплетением в (R).

Доказательство не сложно, см. [KT95], параграф 5. Мы теперь сформулируем важное свойство (R) (доказательство см. в [KT95], параграф 8.9). Функтор G ниже является аналогом функтора F параграфа 2 главы VI.

1.6. Теорема

Для всякой строгой R-линейной инфинитезимальной симметричной категории с двойственностью и для всякого объекта V в существует единственный R-линейный функтор G : (R) → , сохраняющий тензорное произведение и удовлетворяющий следующим условиям:

где id(+) есть хордовая диаграмма, полученная из id(+) заменой вычета 0 на 1.

1.7. Линейные формы на модулях Am(R)

Из определения категории (R) следует, что множество эндоморфизмов единичного объекта совпадает с R-модулем A(R), определенным, как прямая сумма модулей Am(R) из параграфа 2 главы VIII:

$

A(R) = Am(R).

m 0

Мы теперь используем теорему 1.6, чтобы построить линейные формы на модулях Am(R) в случае, когда R = C — поле комплексных чисел.

Чтобы определить такую линейную форму, нам нужны те же данные, что и для построения квантовых инвариантов, представленных в параграфе 4 главы VII, а именно, комплексная полупростая алгебра Ли g и конечномерный g-модуль V . Мы предполагаем здесь, что модуль V простой. Рассмотрим инфинитезимальную симметричную категорию g-мо- дулей с инфинитезимальным сплетением, описанным в примере 1.3. По теореме 1.6 мы имеем функтор G : (C) → , такой что G((+)) = V

и G((−)) = V . Ограничивая функтор на множество всех эндоморфизмов единичного объекта в (C), мы получаем линейное отображение

wg,V : A(C) = End (C)( ) −→ End (C) = C,

т. е. линейную форму на A(C).

Линейная форма wg,W имеет простую интерпретацию для всякого элемента Am(C), представленного хордовой диаграммой D с m хордами на одной окружности. Будем смотреть на эту окружность как на вертикальную линию, ориентированную сверху вниз с отождествленными обоими концами. Тогда D становится хордовой диаграммой на этой линии. Возьмем ортонормальный по отношению к форме Киллинга базис {xi}i в g. Пометим каждую выделенную точку D как xik следующим образом: высшая из выделенных точек получает метку xi1 ; ее же получает точка, связанная с ней хордой. Пометим следующую непомеченную пару меткой xi2 и т. д. Читая метки сверху вниз, мы получаем слово, которое рассматриваем как элемент обертывающей алгебры g U g и которое зависит от индексов i1, . . . , im. Суммируя по всем возможным индексам, мы получаем элемент CD из U g. Далее проверяется, что элемент CD зависит только от класса D в Am(C) и является центральным элементом в обертывающей алгебре. Так как модуль V простой, по лемме Шура, CD действует как скаляр на V . Этот скаляр есть в точности значение линейной формы wg,V на классе хордовой диаграммы D в Am(C). Детали и доказательство см. в [Bar95], [Kas95, Prop. XX.8.2].

2.Квантование инфинитезимальной симметричной категории

Цель этого параграфа — построить косовую моноидальную категорию [[h]] для всякой инфинитезимальной симметричной категории . Как мы увидим в параграфе 3, эта конструкция имеет очень важные следствия. Перед тем как представить ее, нам требуются понятие нестрогой косовой моноидальной категории и понятие ассоциатора Дринфельда.

2.1. Общие косовые категории

Мы сначала определим моноидальные категории в общем случае. Так же, как мы делали, когда определяли строгие моноидальные категории (см. параграф 2.1 главы II), мы начинаем с категории вместе с функтором : × → . Структура ассоциирования на — это

семейство естественных изоморфизмов

a = aU,V,W : (U V ) W → U (V W ),

определенных для всех троек (U, V, W ) объектов из , т. е. семейство изоморфизмов, таких что диаграмма

коммутативна для любых морфизмов f , g, h.

Пусть V1, . . . , Vn — объекты категории . Есть много способов определить тензорное произведение V1 · · · Vn в зависимости от выбора скобок в этом выражении. Если фиксирована структура ассоциирования a, то разные выборы скобок в V1 · · · Vn приводят к изоморфным объектам. Например, есть пять способов расставления скобок в тензорном произведении четырех объектов U , V , W , X. Следующая диаграмма изображает все пять вариантов вместе со связывающими морфизмами, которые выражаются через тождественные морфизмы и структуру ассоциирования a.

В частности, мы видим, что есть два разных изоморфизма из

( ) ( )

(U V ) W X в U V (W X) .

Естественно потребовать, чтобы эти два изоморфизма совпадали или, что то же самое, чтобы диаграмма (2.1) была коммутативной. Когда структура ассоциирования a удовлетворяет этому условию — мы говорим, что она удовлетворяет аксиоме пятиугольника Маклейна, — тогда между двумя способами расставить скобки в U V W X есть единственный естественный изоморфизм, выражающийся через a. Маклейн

показал, что из аксиомы пятиугольника следует то же заключение, когда мы образуем тензорное произведение любого конечного набора объектов из (см. [Mac71]).

Теперь фиксируем объект 1 в категории. Структура левых единиц (соотв. структура правых единиц) по отношению к 1 есть семейство естественных изоморфизмов

lV : 1 V → V (соотв. rV : V 1 → V ),

определенных для всех объектов V из , т. е. семейство изоморфизмов, таких что диаграммы

коммутативны для всякого морфизма f . Мы говорим, что структура ассоциирования a и структуры единиц l, r удовлетворяют аксиоме треугольника, если диаграмма

коммутирует для всех пар объектов (V, W ).

Мы определяем моноидальную категорию как категорию , оснащенную функтором

: × −→

вместе со структурой ассоциирования a, структурой левых единиц l и структурой правых единиц r по отношению к некоторому объекту 1, который называется единицей моноидальной категории, причем должны выполняться аксиома пятиугольника (2.2) и аксиома треугольника (2.4).

Ясно, что понятие строгой моноидальной категории параграфа 1 мы получим, если вдобавок потребуем, чтобы структуры a, l, r были единичными морфизмами.

Теперь мы расширим понятие сплетения, данное в параграфе 3 главы II, на нестрогие моноидальные категории. Пусть у нас есть структура коммутирования

cV,W : V W −→ V W,

как в параграфе 3.1 главы II. Уравнения (3.3) – (3.4) главы II эквивалентны коммутативности двух треугольников, включающих тройки объектов (U, V, W ). С учетом структуры ассоциирования a эти треугольники превращаются в шестиугольники. Первый из них выглядит следующим образом:

Второй шестиугольник получается из первого заменой изоморфизма c на обратный c−1. Далее мы определяем сплетение в моноидальной категории как структуру коммутирования, удовлетворяющую аксиоме шестиугольника, т. е. такую, что два описанных шестиугольника коммутируют для любых объектов U , V , W . Так же, как в параграфе 3, косовая моноидальная категория — это моноидальная категория со сплетением.

2.2. Ассоциаторы Дринфельда

Формальный ряд Φ(A, B) по двум некоммутирующим переменным A и B называется ассоциатором Дринфельда, если он является решением следующей системы четырех уравнений:

Φ(0, 0) = 1,

Φ(t12, t23 + t24)Φ(t13 + t23, t34) =

когда i, j, k, — различные целые числа и где [f, g] = f g − gf .

У этих нелинейных уравнений нет тривиального решения. Обратите внимание, что постоянный формальный ряд Φ(A, B) = 1 не является