Квантовые группы и инварианты узлов

τV,V Aut(V V ) оператор перестановки сомножителей, переставляющий две копии V . Он определяется соотношением

τV,V (v1 v2) = v2 v1 для любых v1, v2 V.

Оператор перестановки удовлетворяет уравнению Янга – Бакстера, поскольку в симметрической группе выполнено соотношение Кокстера

(12)(23)(12) = (23)(12)(23),

где (ij) обозначает транспозицию, меняющую i и j.

1.3. Пример

Пусть V — конечномерное векторное пространство с базисом (e1, . . . , eN ). Для всякого обратимого скаляра q мы определяем автоморфизм c пространства V V следующим образом:

1.4. Предложение

Автоморфизм c является решением уравнения Янга – Бакстера. Кроме того, выполняется соотношение

(c − q idV V )(c + q−1 idV V ) = 0.

Доказательство мы оставляем в качестве упражнения.

Заметим, что пример 1.3 является однопараметрической деформацией автоморфизма τV,V из примера 1.2. Чтобы восстановить последний, достаточно положить в (1.3) q = 1. Заметим также, что при N = 2 матрица автоморфизма c в базисе (v1 v1, v2 v2, v1 v2, v2 v1) есть

1.5.Упражнения

(a)Вернемся к предположениям и обозначениям примера 1.3. Мы обобщим его, используя два обратимых скаляра p, q и семейство ска-

ляров {rij }1 i,j N , такое что rii = q и rij rji = p при i = j. Определим автоморфизм c пространства V V следующим образом:

Проверьте, что автоморфизм c является R-матрицей, причем

(c − q idV V )(c + pq−1 idV V ) = 0.

(b) Рассмотрим матрицу вида

Докажите, что это — R-матрица тогда и только тогда, когда имеют место следующие соотношения:

adb = adc = ad(a − d) = 0,

p2a = pa2 + abc, q2a = qa2 + abc, p2d = pd2 + dbc, q2d = qd2 + dbc.

2. Группы кос

2.1. Определение

Пусть n — целое число, n 3. Мы определяем группу кос с n нитями как группу Bn, порожденную n − 1 образующими σ1, . . . , σn−1 и соотношениями

При n = 2 мы определяем B2 как свободную группу с единственной образующей σ1. Удобно считать также, что B0 = B1 = {1}.

Существует естественное отображение группы Bn на симметрическую группу Sn, то есть группу всех перестановок множества {1, . . . , n}. Действительно, рассмотрим n − 1 транспозиций

si = (i, i + 1) (i = 1, . . . , n − 1).

Они, очевидно, удовлетворяют соотношениям (2.1), (2.2). Следовательно, существует единственный гомоморфизм групп π : Bn → Sn, такой что π(σi) = si для всех i. Этот гомоморфизм сюръективен, поскольку транспозиции si порождают Sn. В действительности, чтобы перейти от копредставления группы Bn к копредставлению Sn, достаточно лишь добавить новые соотношения

σi2 = 1 (i = 1, . . . , n − 1).

Существенное отличие симметрических групп от групп кос состоит в том, что симметрические группы конечны, а группы кос бесконечны. Более того, группа Bn не имеет кручения, то есть все элементы = 1 имеют бесконечный порядок.

2.2. От уравнения Янга – Бакстера к представлениям групп кос

Пусть V — векторное пространство и c — автоморфизм V V , являющийся R-матрицей, определенной в пункте 1. Для 1 i n − 1 построим линейный автоморфизм ci n-кратного тензорного произведения V n следующим образом:

Мы утверждаем, что соотношения (2.1), (2.2) выполняются для автоморфизмов c1, . . . , cn−1. Это сразу видно в случае (2.1). В случае (2.2) достаточно проверить, что равенство c1c2c1 = c2c1c2 выполнено в Aut(V V V ), но это лишь другой способ записи уравнения Янга – Бакстера.

Тем самым доказано следующее

2.3. Предложение

Пусть c Aut(V V ) — решение уравнения Янга – Бакстера.

Тогда для любого n > 0 существует единственный гомоморфизм ρcn :

Bn → Aut(V n), такой что ρcn(σi) = ci при i = 1, . . . , n − 1.

3.Альтернативное описание B

Впараграфе 2 мы привели алгебраическое определение группы кос. Теперь мы приведем первоначальное геометрическое определение Арти-

на и объясним происхождение термина «коса».

Рассмотрим произведение n экземпляров комплексной прямой Cn.

В этом произведении мы выделяем подмножество Yn, состоящее из всех упорядоченных наборов (z1, . . . , zn) точек из C, таких что zi = zj при i = j. Отметим точку p = (1, . . . , n) в Yn. Симметрическая группа Sn действует на Yn перестановками координат.

Фактор-простанство Xn = Yn/Sn называется конфигурационным пространством n точек в C.

3.1. Теорема

Фундаментальная группа π1(Xn, p) конфигурационного пространства Xn изоморфна группе кос Bn.

Эта теорема восходит к Э. Артину. Мы ограничимся тем, что предъявим гомоморфизм из Bn в π1(Xn, p). Образующей σi в Bn мы сопоставим непрерывное отображение f = (f1, . . . , fn) : [0, 1] → Cn, определенное для s [0, 1] и для всех j следующим образом:

fj (s) = j при j = i, i + 1.

Нетрудно проверить, что f является петлей с базовой точкой p в конфигурационном пространстве Xn. Обозначим класс этой петли в π1(Xn, p) через σi. Элементы фундаментальной группы σ1, . . . , σn−1 удовлетворяют соотношениям (2.1) и (2.2). Следовательно, по определению Bn, существует единственный гомоморфизм Bn → π1(Xn, p), посылающий σi в σi при всех i = 1, . . . , n − 1. Этот гомоморфизм является, на самом деле, изоморфизмом. Более подробно см. в [Bir74] или [BZ85]. Теперь мы хотим привести более привычное описание группы кос. Пусть

f= (f1, . . . , fn) : [0, 1] → Yn Cn

—непрерывное отображение, представляющее элемент π1(Xn, p), а значит, и Bn. Рассмотрим подмножество Lf в C × [0, 1]

n

Lf = {(fi(s), s)|s [0, 1]}.

i=1

Подмножество Lf есть дизъюнктное объединение n штук интервалов, непрерывно вложенных в C ×[0, 1]. Мы называем его косой с n нитями. Заметьте, что

(i)граница Lf — это множество {1, . . . , n} × {0, 1} и

(ii)при всех s [0, 1] пересечение Lf с C × {s} состоит ровно из n точек.

Наоборот, всякое дизъюнктное объединение n интервалов, непрерывно вложенных в C × [0, 1], и такое что условия (i), (ii) выполняются, является подмножеством Lf для некоторой петли f в Xn.

Отсюда следует, что на косах с n нитями есть отношение эквива-

лентности, такое что элементы Bn π1(Xn, p) находятся во взаимно

=

однозначном соответствии с классами эквивалентности кос с n нитями. Это отношение эквивалентности называется изотопией. Мы вновь повстречаемся с изотопией в параграфе 1 главы V, когда введем понятие связки, обобщающее одновременно и косы и узлы.

3.2. Упражнение

Опишите групповую структуру, индуцированную из Bn на множестве всех изотопических классов кос с n нитями.

ГЛАВА II

Алгебры Хопфа и моноидальные категории

В этой главе мы хотим определить класс алгебр, модули над которыми несут решения уравнения Янга – Бакстера. Для этого необходимо ввести понятия алгебр Хопфа и моноидальных категорий.

1. Алгебры Хопфа

Пусть k — поле. Напомним, что алгеброй называется тройка (A, μ, η), где A — векторное пространство над k, μ : A A → A и η : k → A суть k-линейные отображения, удовлетворяющие следующим свойствам:

(i)(Ассоциативность) μ(μ idA) = μ(idA μ) и

(ii)(Свойство единицы) μ(η idA) = μ(idA η) = idA.

Здесь мы отождествляем k A и A k с A. Первое условие выражает ассоциативность умножения μ, а из второго следует, что элемент η(1) A является правой и левой единицей для умножения μ. Алге-

бра A коммутативна, если, кроме того, μ = μop, где μop = μτA,A и τA,A переставляет сомножители: τA,A(a a ) = a a.

1.1. Определение

Биалгеброй называется алгебра A, снабженная двумя гомоморфизмами алгебр : A → A A и ε : A → k, удовлетворяющими следующим условиям:

биалгебры A. Отображение ε называется коединицей. Пусть A, A — биалгебры. Гомоморфизм алгебр f : A → A является морфизмом биал-

отображения и ε порождают новые линейные отображения

λ

μ : A A −→ (A A) −−→ A

и η = ε : k = k → A , где λ есть отображение, определяемое следующим образом:

λ(α β), a b = α, a β, b ,

при α, β A и a, b A. Из условий (1.1), (1.2) следует, что μ является ассоциативным умножением в двойственном векторном пространстве A с единицей, равной η .

Если A конечномерно, то отображение λ : A A → (A A)

является изоморфизмом. Это дает возможность определить отображение= λ−1μ из A в A A . Нетрудно проверить, что (A , μ , η , , ε =

= η ) — биалгебра.

1.3. Пример (противоположные биалгебры)

Для всякой биалгебры A = (A, μ, η, , ε) можно определить три других биалгебры, а именно

Aop = (A, μop, η, , ε), Acop = (A, μ, η, op, ε) и Aop,cop = (A, μop, η, op, ε).

1.4. Пример (биалгебра группы)

Пусть G — группа с единицей e и пусть A = k[G] — групповая алгебра группы G. Мы вводим на A структуру биалгебры, полагая

для всех x G. Двойственная алгебра A является алгеброй функций на G, принимающих значения в k, причем единица — это постоянная

функция ε. Если, более того, G конечна, мы можем ввести на A структуру биалгебры, как объяснено выше. Отождествляя A A с пространством функций на произведении G × G, мы видим, что коумножение и коединица в A задаются следующим образом:

Δ(f )(g h) = f (gh) и ε(f ) = f (e)

для всякой функции f на G.

Элементы биалгебры, удовлетворяющие уравнению (1.4), называются групповыми элементами. Такие элементы образуют моноид по умножению.

1.5. Пример

Рассмотрим тензорную алгебру T (V ) и симметрическую алгебру S(V ) векторного пространства V . Существует единственная структура биалгебры на T (V ) и на S(V ), такая что

для всякого элемента v из V . Эта биалгебра кокоммутативна и для любых v1, . . . , vn V мы имеем

n−1

где σ пробегает все (p, n − p)-перетасовки симметрической группы Sn, то есть все перестановки σ, такие что σ(1) < σ(2) < · · · < σ(p) и σ(p + + 1) < σ(p + 2) < · · · < σ(n).

Элементы биалгебры, удовлетворяющие уравнению (1.5) называются примитивными элементами. Подпространство Prim(A) примитивных элементов A является подалгеброй Ли в A. Скобка Ли в A задается коммутатором [a, a ] = aa − a a (для всех a, a A).

1.6. Пример

Обертывающая алгебра U (g) алгебры Ли g имеет структуру биалгебры, определенную тем требованием, что каноническая проекция тензорной алгебры T (g) на U (g) должна быть морфизмом биалгебр. Эквивалентным образом, коумножение , заданное (1.6), может быть определено как композиция морфизма из U (g) в U (g g), индуцированного

диагональным отображением x → (x, x) на g, и канонического изомор-

физма U (g g) U (g) U (g).

=

1.7. Упражнения

(a)Покажите, что если поле k имеет нулевую характеристику, то подпространство групповых элементов обертывающей биалгебры алгебры Ли g совпадает с g.

(b)Пусть M (n) = k[x11, . . . , xnn] — алгебра многочленов от n2 переменных xij , 1 i, j n. Для всех i, j положим

n

В этих обозначениях аксиома коассоциативности (1.1) превращается в

x)

цы (1.2) может быть переписано как