Квантовые группы и инварианты узлов

дизъюнктного объединения конечного числа ориентированных окружностей. Мы полагаем, что число особых точек иммерсии конечно и все они являются двойными точками c трансверсальными ветвями.

Если особое зацепление снабжено оснащением (соотв. ориентацией), то мы говорим, что это — оснащенное особое (соотв. ориентированное особое) зацепление. Мы всегда предполагаем, что в любой двойной точке ветви имеют одинаковое оснащение, т. е. общее нормальное векторное поле. Есть очевидное понятие изотопии (оснащенных) особых зацеплений, обобщающее понятие изотопии (оснащенных) зацеплений. Такая изотопия переводит двойные точки в двойные точки. В последующем мы будем представлять особые ориентированные зацепления диаграммами на плоскости с оснащением, заданным полем векторов, перпендикулярных плоскости и указывающих на читателя. Мы представляем двойную точку фрагментом диаграммы, как на рисунке 1.1.

Рис. 1.1. Двойная точка

Всякая двойная точка особого оснащенного ориентированного зацепления K может быть разрешена двумя способами, что порождает два новых особых оснащенных ориентированных зацепления K− и K+ с числом особых точек, уменьшенным на единицу. Зацепления K− и K+ получаются заменой окрестности двойной точки (рис. 1.1) картинками рис. 1.2.

Рис. 1.2. Зацепления K− и K+

Определим модуль L (R) как R-модуль порожденный классами изотопии особых оснащенных зацеплений в R3 по модулю соотношений вида

102 ГЛАВА VIII

записанных для всех особых зацеплений K и их десингуляризаций в двойных точках K+, K−. Повторно применяя (1.1), мы убеждаемся, что в L (R) класс любого особого зацепления является целочисленной линейной комбинацией классов неособых зацеплений. Тем самым, естественное отображение L(R) → L (R) сюръективно. В действительности, это изоморфизм, позволяющий использовать определение L (R) в качестве копредставления модуля L(R).

Теперь имеет смысл следующее определение. Для всякого целого числа m 0 обозначим через Lm(R) фактор-модуль модуля L(R) по подмодулю, порожденному всеми особыми зацеплениями с числом двойных точек, большим m.

1.1. Определение

Пусть P — некоторый инвариант оснащенных ориентированных зацеплений со значениями в некотором R-модуле M . Инвариант P называется инвариантом Васильева степени m, если индуцированное отображение R-модулей L(R) → M пропускается через Lm(R).

Другими словами, это означает, что P имеет степень m, если P оказывается равен нулю на всех особых узлах с более чем m двойными точками при продолжении на особые оснащенные зацепления по правилу (1.1), т. е.

P (K) = P (K+) − P (K−).

Класс зацепления K в Lm(R) — это его универсальный инвариант Васильева степени m с коэффициентами в R-модуле. В следующей главе мы сформулируем теорему Концевича, дающую совершенно отличное описание Lm(R). Эта теорема позволит нам в параграфе 1.7 главы IX привести систематическую конструкцию инвариантов Васильева.

Заметим, что что инвариант степени m является инвариантом степени k при всех k m. На уровне R-модулей мы получаем проективную систему

· · · −→ Lm(R) −→ Lm−1(R) −→ · · · −→ L0(R).

Обозначим предел этой системы модулей через .

L(R)

1.2. Пример

Многочлен Джонса V со значениями в кольце многочленов Лорана Z[q, q−1] следующим образом порождает некоторые инварианты Васильева. Напомним, что по теореме 2.6 главы V

2.1. Определение

Пусть C1, . . . , Cn — ориентированные окружности, причем каждая оснащена элементом из Z/2, называемым вычетом соответствующей окружности. Хордовая диаграмма — это конечный (возможно, пустой) набор неупорядоченных пар точек на C1, . . . , Cn, причем все точки различны. Под гомеоморфизмом хордовых диаграмм мы понимаем сохраняющий ориентацию гомеоморфизм объединения окружностей, сохраняющий выделенные пары точек и вычеты.

На картинках мы будем рисовать пунктирную линию, называемую хордой, соединяющую точки выделенной пары.

Пусть D есть хордовая диаграмма и пусть a, b, c — три различные точки окружностей, не принадлежащие выделенным парам точек на D. Пусть a , b — точки, полученные из a, b смещением на маленькое расстояние вдоль окружностей по направлениям, заданным ориентациями. Пусть D1 и D2 — хордовые диаграммы, полученные из из D добавлением пар точек {a, b}, {a , c} и {a, c}, {a , b}, соответственно. Пусть D3

иD4 — хордовые диаграммы, полученные из D добавлением пар точек {a, b}, {b , c} и {a, b }, {b, c}, соответственно. Диаграммы D1, D2, D3, D4 схематически представлены на рис. 2.1. Подразумевается, что они одинаковы везде кроме части, показанной на рисунке, причем левые отрезки имеют одинаковые вычеты, средние отрезки имеют одинаковые вычеты,

иправые отрезки также имеют одинаковые вычеты.

Рис. 2.1. Хордовые диаграммы D1, D2, D3, D4

Пусть R — коммутативное кольцо. Мы определяем R-модуль Am(r) как R-модуль, порожденный всеми хордовыми диаграммами, имеющими ровно m хорд, и всеми соотношениями вида

из D, как описано выше. Соотношение (2.1) называется четырехчленным соотношением между хордовыми диаграммами.

106 ГЛАВА VIII

параграфа — во-первых, ввести понятие проунипотентного пополнения косовой категории, затем показать, как проунипотентное пополнение категории оснащенных связок T0 естественным образом приводит к моду-

лям и , определенным в параграфе 1. Для начала мы дадим

Lm(R) L(R)

несколько определений. Пусть R — коммутативное кольцо. Мы говорим, что моноидальная категория R-линейна, если множества морфизмов между объектами наделены структурой R-модулей и если композиция и тензорное произведение морфизмов R-билинейны.

Под идеалом в R-линейной моноидальной категории мы понимаем класс морфизмов в , I, удовлетворяющий следующему условию: для любых морфизмов f , g в если хотя бы один из них принадлежит I, то морфизм f ◦ g (если он определен) и морфизм f g принадлежат I. Мы также предполагаем, что I(V, W ), множество морфизмов из V в W , принадлежащих I, является R-подмодулем в Hom (V, W ). Мы говорим, что идеал I в порожден некоторым множеством морфизмов в , если I — наименьший идеал, содержащий это множество. Пусть есть целое число m 0. Мы определяем Im+1 как идеал, порожденный морфизмами вида f1 · · · fn, где — либо композиция, либо тензорное произведение морфизмов и по крайней мере m + 1 морфизмов из f1, . . . , fn принадлежат I.

Пусть I — идеал в . Мы определяем факторкатегорию /I как категорию, объекты которой — те же, что и в , а морфизмы выглядят следующим образом:

Hom(V, W ) = Hom(V, W )/I(V, W )

/I

для всех объектов V , W из . Ясно, что /I есть R-линейная моноидальная категория.

Теперь мы подходим к главному понятию в этом параграфе.

3.1. Определение

Пусть — R-линейная косовая категория. Идеал аугментации в — это идеал I, порожденный морфизмами вида cW,V cV,W −idV W для всех объектов V , W . Мы называем проунипотентным пополнением проективный предел проективной системы категорий

· · · −→ /Im+1 −→ /Im −→ · · · −→ /I.

Рассмотрим категорию оснащенных ориентированных связок T0. Возьмем ее R-линеаризацию T0(R), которая с теми же объектами, что

и T0 и морфизмы которой свободно порождены морфизмами T0, т. е.

для всех объектов s и s . Это R-линейная косовая категория и мы можем рассмотреть ее идеал аугментации I, фактор-категории T0(R)/Im+1 и

проунипотентное пополнение T0(R).

Свяжем эти категории с универсальными модулями Васильева Lm(R) из параграфа 1. Мы знаем, что пустая последовательность является единичным объектом в моноидальных категориях T0, T0(R),

T0(R)/Im+1 и T0(R). Мы также знаем, что множество эндоморфизмов объекта в категории T0 есть множество изотопических классов оснащенных ориентированных зацеплений в R3. После линеаризации, как мы видим, множество эндоморфизмов того же объекта в линеаризованной категории T0(R) становится R-модулем L(R) из параграфа 1. То же

самое обобщается и на категории T0(R)/Im+1 и T0(R), как это показывает следующий результат, который мы оставляем в качестве упражнения читателю.

3.2. Предложение

Множества эндоморфизмов единичного объекта в категориях

3.3. Доказательство предложения 1.3

Напомним из параграфа 4 главы VII, что квантовый инвариант

Fg,V (K) = Fg,V,m(K) hm m 0

получается как сужение на множество эндоморфизмов единичного объекта функтора F : T0 → h, такого что F ((+)) = V . Покажем, что F

пропускается через T0(C). Понятно, что он пропускается через C-лине- аризацию T0(C), так как категория h C-линейна.

Мы знаем, что сплетение c в h дается универсальной R-матри- цей Rh, такой что Rh ≡ 1 1 mod h, откуда следует, что c − c−1 ≡ 0

mod h. Другими словами, идеал аугментации I в h принадлежит идеалу (h), порожденному теми морфизмами из Ch, которые делятся на h. После пополнения мы получаем функтор

Так как квантовая обертывающая алгебра Uh(g) является h-адически полной, мы имеем

,(R)

4. Другое описание T0

4.1. Хордовые диаграммы на кривых

Теорема 2.2 и следствие 2.3 имеют категорный аналог, который мы представляем в этом параграфе. Сначала мы опишем категорную версию хордовых диаграмм из параграфа 2.

Пусть k, — неотрицательные целые числа. Назовем (k, )-кривой Γ компактное ориентированное одномерное многообразие (т. е. дизъюнктное объединение конечного числа ориентированных отрезков и ориентированных окружностей), такое что каждая его связная компонента оснащена элементом группы Z/2, называемым вычетом соответствующей компоненты, и такое, что граница ∂Γ есть дизъюнктное объединение двух вполне упорядоченных множеств U и V с card(U ) = k

и card(V ) = . Элементы U называются нижними свободными концами или входами Γ. Заданный порядок в U позволяет нам пронумеровать эти свободные концы числами 1, . . . , k. Поэтому мы можем говорить о первом, втором и т. д. входах Γ. Аналогичные замечания относятся к элементам V , которые называются верхними свободными концами или выходами Γ.

Под гомеоморфизмом кривых мы понимаем сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, который не меняет вычетов, разбиения границы на входы и выходы и порядка во множествах входов и выходов. Начало s(Γ) (k, )-кривой Γ — это последовательность (ε1, . . . , εk), где εi соответствует ориентации отрезка, отходящего от i-го входа, т. е. εi = +, если этот интервал ориентирован к i-му входу и εi = − в противном случае. Если k = 0, то начало Γ — пустая последовательность.

Мы определяем конец t(Γ) кривой Γ как последовательность (η1, . . . , η ), где ηj = −, если отрезок, подходящий к j-му выходу, ориентирован к нему и ηj = + в противном случае. Если = 0, то конец Γ

— пустая последовательность.

Хордовая диаграмма на кривой Γ — это конечное (возможно, пустое) множество неупорядоченных пар точек на Γ \ ∂Γ, причем все точки различны. Под гомеоморфизмом хордовых диаграмм мы понимаем гомеоморфизм подлежащих кривых, сохраняющий выделенные пары точек. Мы определяем начало и конец хордовой диаграммы как начало и конец подлежащей кривой соответственно.

На наших картинках (таких, как рис. 2.1) (k, )-кривые нарисованы внутри горизонтальной полосы, причем k входов лежат на нижней границе прямой полосы с порядком, возрастающим слева направо, а выходов лежат на верхней границе прямой полосы с порядком, также возрастающим слева направо. Мы рисуем пунктирную линию, называемую хордой, между точками выделенной пары.

4.2. Категория (R)

Фиксируем коммутативное кольцо R. Мы строим категорию (R) из классов гомеоморфности хордовых диаграмм следующим образом. Объекты (R) — те же самые, что и объекты категории оснащенных ориентированных связок T0, а именно, конечные последовательности из знаков + и −. Морфизм из s в s в (R) — это элемент R-модуля, порожденного классами гомеоморфности хордовых диаграмм с началом s и концом s , по модулю четырехчленных соотношений (2.1), которые также имеют смысл в нашем контексте.

Тождественные морфизмы в (R) представляются диаграммами без хорд, состоящими из отрезков с вычетом 0, таких что для каждого от-

110 ГЛАВА VIII

резка одна граничная точка — вход, а другая — выход с тем же номером. Тождественный изоморфизм пустой последовательности представляется пустой кривой. Композиция двух хордовых диаграмм D и D получается склеиванием D с D вдоль (единственного) сохраняющего порядок гомеоморфизма множества входов D на множество выходов D. (На картинках D ◦ D получается приставлением D сверху к D и склеиванием соответствующих концов, как в случае категории связок.) Вычет r Z/2 связной компоненты C композиции D ◦ D определяется формулой

где αi (соотв., βj ) — компоненты D (соотв., D ), содержащиеся в C,

а r(αi) и r(βi) — их вычеты; имеем r(αi, αi ) = 0, если αi и αi могут быть вложены без пересечений в горизонтальную полосу с сохранением

порядка их верхних и нижних концов, и r(αi, αi ) = 1 в противном случае. Мы продолжаем композицию на все морфизмы по линейности. Читатель может проверить, что она ассоциативна.

Заметим, что композиция хордовой диаграммы с m хордами и хордовой диаграммы с n хордами есть хордовая диаграмма с m+ n хордами. Для всякого m 0 мы рассматриваем категорию m(R), объекты которой — те же, что и в (R), а морфизмы — морфизмы (R), профакторизованные по морфизмам, представленных хордовыми диаграммами с > m хордами. Есть функтор

pm : m(R) −→ m−1(R),

который действует тождественно на объектах и как каноническая проекция на морфизмах. Тем самым, у нас есть проективная система кате-

горий. Обозначим ее предел за (R).

Теперь мы можем сформулировать обещанное обобщение теоремы 2.2.

коммутативна при всех m = 0, 1, 2, . . ..